永磁同步电动机位置跟踪系统的连续终端滑模控制优化设计与实验

2023-12-11王会明韦永成赵振华

实验室研究与探索 2023年9期

王会明，万谦，韦永成，赵振华

（1.重庆邮电大学自动化学院，重庆 400065；2.南京航空航天大学自动化学院，南京 211106）

0 引言

PMSM由于具有结构简单，磁通密度大，机械特性好，维护方便等优点，因此在航空航天、机器人、数控机床等领域得到了广泛的应用。然而PMSM 是一个多变量、非线性、强耦合的复杂对象，传统的PID 控制很难使系统获得高的控制性能。因此，许多专家使用多种非线性控制算法设计控制器来提高系统的动态性能，例如自适应控制［1-2］；模型预测控制［3-4］；模糊控制［5-6］；滑模控制［7-9］等。

上述滑模控制由于具有鲁棒性强且容易实现等优势在机电系统中受到更多关注［10］。然而在传统滑模控制中，由高频开关函数引起的抖振现象会影响系统的动态性能。因此，学者们提出了许多改进传统滑模控制的方法来解决此问题。文献［11］中提出了连续滑模控制方法，可以有效地抑制抖振现象，但由于采用了线性滑模面，系统状态不能在有限时间内收敛到零。针对这一问题，文献［12］中设计了CTSMC 器，能够加快系统状态的收敛时间，而且系统具有较高的稳态精度。但存在系统受到强扰动时稳态波动较大的问题。

针对上述现象，基于观测器的控制方法被广泛应用以降低扰动对系统稳态精度的影响。文献［13］中提出了一种基于扩张状态观测器的控制策略，实时观测系统受到的扰动并加以前馈补偿，提高系统抗扰能力。文献［14］中设计了一种SMO，用饱和函数代替传统的开关函数，将反电势估计值反馈到电流观测器，解决了滤波后反电势值难以精确补偿的问题。

本文采用基于SMO的CTSMC方法设计复合位置控制器，使PMSM 系统在该控制器的作用下，其位置输出可以准确地跟踪上参考轨迹，同时能够有效时变扰动对系统性能的影响，并使用Lyapunov 稳定判据分析系统的稳定性。

1 PMSM模型

为了便于分析，假设磁路是不饱和的，不计涡流和磁滞损耗，三相绕组对称，电枢绕组在定子表面均匀连续分布，转子磁链在气隙中呈正弦分布。PMSM 系统模型可写为如下形式［1］：

式中：θ 为电动机转子位置；ω 为电角速度；iq和id为d-q轴的定子电流；uq和ud为d-q轴的定子电压；L为定子电感；Rs为定子电阻；np为极对数；Kt＝3npψf／2为转矩常数；ψf为转子永久磁铁产生的磁势；B为黏滞摩擦因数；TL为负载转矩；J为转动惯量。

通常，设计d轴的参考电流＝0。在电流环PI控制器的作用下，并引入虚拟控制量，电动机模型可以简化为：

本文通过设计复合位置控制器来提高PMSM 系统的抗干扰能力和跟踪精度。

2 复合控制器设计与稳定性分析

定义变量x1＝θ，x2＝ω，为式（2）建立如下扩张状态空间模型：

2.1 SMO的设计

SMO能够将非线性系统的集总扰动（包括系统内部参数的不确定性和外部的干扰）视为系统的一种新的状态，该观测器可以同时估计状态和扰动。通过对扰动估计进行前馈补偿，设计复合位置控制器来实现本文所期望的控制性能。

基于式（3），SMO设计为：

其根轨迹全部位于复平面s的左半平面。

式（3）与式（4）作差，可得SMO误差方程为：

2.2 复合位置控制器的设计

基于SMO估计系统的状态和受到的扰动。取m＝3，对式（3）设计如下终端滑模面：

式中：θr为电动机转子参考位置；β1、β2为中间变量，且0 ＜β1，β2＜1，β1、β2的选取满足β1＝β2／（2 -β2）；c1、c2为控制器的参数，且c1，c2＞0，c1、c2的选取满足使特征多项式

其根轨迹全部位于复平面s的左半平面。

基于CTSMC和SMO的复合位置控制器设计为

式中：τ为时间变量；k＞0 为控制器参数。

基于复合位置控制算法的PMSM 控制系统结构框图如图1 所示。其中Generalized PMSM表示集总的PMSM，包括可加载的PMSM、三相电压源逆变器、空间矢量调制模块、矢量控制框架和2 个电流控制器。

图1 基于连续终端滑模和SMO的控制结构框图

2.3 稳定性分析

整个闭环系统的稳定性分析如下：

（1）系统状态在有限时间内有界。结合式（4）和（7），式（6）可写为如下形式：

对式（8）求导可得

由式（5）和（6）可得导数方程为：

定义Lyapunov函数

（2）滑模变量在有限时间内收敛。由上述分析式（9）可写为

定义Lyapunov函数

并对其求导可得：

因此当k＞0 时，滑模变量将在有限时间内收敛到零。

（3）跟踪误差在有限时间收敛。将式（5）代入式（6）中可得

当滑模面s有限时间收敛到零时，上式可化为

则式（15）在有限时间内稳定［16］。位置跟踪误差将在有限时间内收敛到零，即轨迹将在有限时间内跟踪上参考轨迹。

3 实验分析

为验证所提复合控制方案的有效性和可行性，本文在如图2 所示的PMSM平台进行实验验证。实验由一台测试电动机用于运行控制算法；另一台电动机用于产生负载转矩。硬件平台主要由控制电路和功率电路组成，控制电路采用MatSimBox M660 数据采集卡，集成了包括ADC模块、PWM模块、编码器模块等。功率电路采用TI 的DRV8305 芯片，由电压和电流采样模块分别对电动机的电压、电流进行采样并送入控制电路。控制电路产生的控制脉冲经驱动模块后输入到三相逆变器，从而使电动机稳定运行。

图2 PMSM实验平台

复合位置控制器的参数设置为：m＝3，c1＝1 500，c2＝4 500，k＝200，β2＝0.75，λ1＝υξ4，λ2＝ξ4＋4υφξ3，λ3＝4φξ3＋4υφ2ξ2＋2υξ2，λ4＝4ξ2φ2＋2ξ2＋4υφξ，λ5＝υ ＋4υφ，φ ＝1，υ、ξ 为大于零的常数，选取υ ＝ξ ＝100，p＝2，q＝15。

PMSM系统参数为：np＝4，L＝0.4 mH，ψf＝6.4 mWb，J＝7.06 kg·cm2。

为验证CTSMC ＋SMO控制方法的有效性，分别采用PID和CTSMC两种控制方法来对比分析PMSM 系统的位置跟踪性能。采用3 组实验：①给定位置信号θr为方波；②给定位置信号为θr＝sint；③在第2 组实验基础上分别对给定位置信号频率和幅值加倍。

同时，为验证PMSM系统在所推荐方法控制下的抗扰特性，3 组实验施加负载转矩为：

在控制器参数相同的前提下，位置输出反馈信号θ由增量式编码器测量所得，q轴实际电流iq由ADC模块采集的电流经空间坐标变化后所得，为控制器的输出，error ＝θr-θ 为系统位置跟踪误差，θr为给定位置信号。同时，对于3 组实验结果，采用平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）和标准差（Standard Deviation，SD）两指标来量化分析PMSM系统在3 种控制方法下的性能表现。

3.1 给定位置为方波时响应曲线和稳态性能分析

图3 所示为给定方波的实验结果。由图3（a）可知，3 种控制方案都能跟踪上参考轨迹。当系统启动时，与传统的PID以及CTSMC 相比，所推荐的控制方案CTSMC ＋SMO具有超调量更小，收敛速度更快的优点。在5 ～10 s内，系统到达稳态后，在CTSMC ＋SMO的控制下，系统位置跟踪的MAE ＝0.047 和SD ＝0.287均比传统PID控制和CTSMC要小（见表1）。由此可知，推荐控制方案系统有更小的稳态位置波动。由图3（b）和表1 可知，分别在10 和15 s施加常值扰动和时变扰动后，系统在所推荐方案的控制下能够更快的恢复到稳态，到达稳态后跟踪误差和稳态波动更小，表明所设计的复合位置控制器对常值扰动和时变扰动有明显的抑制作用。由图3（d）～（e）可知，3 种方案的控制器输出与电动机q轴实际电流iq都较为吻合。

表1 稳态性能对比与分析（第1 组）

图3 给定位置为方波时响应曲线

3.2 给定位置为θr ＝sin t 时响应曲线和稳态性能分析

给定位置为θr＝sint的响应曲线如图4 所示。由图4（a）和4（b）可知，CTSMC ＋SMO 方法在上升时间和超调量等方面要优于另外2 种对比方法，表明系统在推荐策略的控制下有着良好的动态性能。由表2 可知，系统到达稳态后，所推荐方案的位置跟踪精度要远远高于传统的PID控制方法和普通的CTSMC方法。