从浅层整理走向深度复习

谢姣

单元复习往往涉及数学知识的结构化，是学生形成与发展数学核心素养的有效手段。如何让单元复习从浅层整理走向深度复习呢？笔者以人教版数学五年级上册《“多边形的面积”整理和复习》教学为例，谈一谈单元复习课的教学策略。

一、精准前测，理清复习目标

课前，笔者让学生自主整理“多边形的面积”相关知识，完成单元思维导图，进而了解到学生对单元知识的掌握情况：95%的学生能正确写出已学习的平面图形面积公式；87%的学生能用图示或文字表述面积公式的推导过程；50%的学生作品呈现了面积公式的变式，即已知面积求高或底的公式；45%的学生作品整理了相关结论或规律，如“等底等高的平行四边形，面积一定相等，形状不一定相同”“三角形的面积是等底等高的平行四边形面积的一半”等。这说明平面图形的面积公式及公式推导不是复习重点。

本单元的复习重点是什么？需要突破的难点又是什么呢？笔者设计以下前测题，要求全班45名学生在8分钟内完成。

如图1，先圈出图中你认为有用的信息，再计算各图形的面积。（单位：dm）

分析前测题作答情况，笔者发现以下4种错误情况：①计算结果不写面积单位的有6人；②算式正确，计算出错的有2人；③三角形的面积公式写错即没有“除以2”的有1人；④公式用对，但对应的高或底选错的人最多，有6人（8题）。可见，学生最大的知识漏洞是对平面图形特征以及对应的底与高的理解不深入。具体到每道题，学生因数据选择失误而导致错误的情况如下：3人次做错第②题，1人次做错第③题，2人次做错第④题，2人次做错第⑤题。由此，笔者认为本单元的复习目标不能停留在对面积公式的浅层回顾和重复练习上，而应放在面积公式的应用及平面图形面积之间的内在联系上，帮助学生构建平面图形面积的知识体系。

鉴于此，笔者确立以下复习目标：①通过复习多边形面积公式，进一步掌握面积计算方法，提高解决实际问题的能力；②通过整理平行四边形、三角形和梯形面积公式的推导过程，进一步理解多边形面积公式之间的联系，感悟转化的数学思想方法；③通过进一步认识梯形面积公式，构建平面图形面积的知识体系，感知函数思想，发展空间观念。其中，第3条是单元复习的难点。

二、以学定教，挖掘复习深度

良好的认知结构有利于学生及时提取知识，解决问题。如何帮助学生在整理与复习中构建平面图形面积的知识体系，形成良好的认识结构呢？

课堂上，笔者先引导学生关注课前梳理的思维导图，让学生说一说思维导图中整理了哪些平面图形的面积公式，并呈现长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形，以及它们的面积公式。接着，笔者引导学生从中选择一个图形，说出该图形面积公式的推导过程，并用课件同步呈现图形转化的动态过程，如根据长方形面积公式推导出正方形和平行四边形面积公式的过程等。在回顾与整理的过程中，零散的知识点被有序联结起来，学生再次感悟到转化思想方法的应用。

然后，笔者提出关键问题：“如果从中选择一个图形，你认为哪个图形最重要？为什么？”稍加思考后，一名学生回答：“我认为平行四边形最重要。因为三角形和梯形的面积公式都是通过转化成平行四边形推导出来的。”另一名学生说：“我选长方形。虽然平行四边形很重要，但它也是先转化成长方形才推导出面积公式的，所以长方形是推导其他几种图形面积公式的基础。”笔者引导：“大家说的都有道理，但老师选择了梯形，因为梯形面积公式可以用来计算另外4种图形的面积。”面对学生疑惑的神色，笔者引导学生通过以下三个步骤展开探究。

第一步，动画演示，初步发现。笔者用动画演示方格图中梯形上底变化而形成新图形的过程，学生观察发现：当上底为0时，梯形变身为三角形；当上底和下底相等时，梯形变身为平行四边形；当上底和下底相等且两腰垂直于底时，梯形变身为长方形。

第二步，代入数据，初步验证。笔者在变动梯形上底的同时代入相应的数据，用梯形面积公式计算每一次变化后的图形面积，引导学生初步感知梯形面积公式的通用性。

第三步，梳理联结，对比优化。如图2所示，笔者以梯形为基础，引导学生根据长方形、正方形等平面图形的边的特征，分别用字母表示边长并代入梯形面积公式中，使学生通过观察、对比，进一步理解梯形面积公式的通用性。

最后，笔者提问：“既然梯形面积公式是通用的，为什么还要推导三角形、平行四边形各自的面积公式呢？学生讨论后发现，上图中代入字母的4个公式经过化简就转化成常用的图形面积公式，从而使表达更简便。

以上教学，教师基于梯形、三角形和平行四边形的本质联系，引导学生借助梯形面积公式，重新整理各平面图形的面积公式，使学生对平面图形面积公式形成了整体认知，构建了平面图形面积的知识体系。

三、以练促思，拓宽思维广度

练习环节，笔者将前测情况反馈给学生，引导学生分析典型错例并订正。在“化错”的过程中，学生认识到要正确解决平面图形面积的问题，仅仅记住公式是不够的，还要理解平面图形底与高的对应关系，选择合理的数据，并且要认真计算，养成良好的作答习慣。

之后，笔者借助动画调整前测中各图形的位置（如图3）。通过对比，学生惊奇地发现：原来这些图形都是等高的，而且前5个图形面积相等。

为什么会这样呢？它们的底又有什么关系呢？笔者引导学生进一步观察，学生发现：这些图形等高时，因为上底与下底的和相等，所以面积也相等。不仅如此，学生还验证了之前在思维导图中呈现的规律：等底等高时，三角形的面积是平行四边形面积的一半；等积等高时，三角形的底是平行四边形底的2倍。

理解几种平面图形面积间的内在联系后，学生解决“在格子图中画与给定平行四边形等积等高的梯形和三角形”的问题变得容易多了，因为他们已经理解了“要满足面积相等，可以在保证等高的前提下，使梯形上底与下底的和等于平行四边形上底与下底的和”。对三角形而言，如果三角形的底是8厘米，与之面积相等的平行四边形或梯形的上底与下底之和也应该是8厘米。随后，笔者借助教材中计算组合图形面积的习题（第101页第2题），帮助学生巩固平面图形的面积公式，应用转化思想解决问题。通过计算和多样化方法的交流，学生明确：不论是将组合图形分割成多个已经学习的图形后计算面积和，还是将组合图形添补成已经学习的图形后计算面积差，都要把组合图形转化成面积公式已知的规则图形。

（作者单位：武汉市光谷第十七小学）

责任编辑  刘佳