关联·解析·贯通

崔英梅

复习是学生学习过程中的重要一环，实施复习的阶段、形式、载体十分丰富。复习教学既可在新知学习过程中灵活进行，也可以复习课的形式集中进行。复习的对象可以是课时教学内容、单元教学内容、学期教学内容，也可以突破教材内容编排的限制，专门开发以知识模块组织的专题复习。如何制定指向知识结构化的复习目标？如何设计并实施指向深度学习的复习教学方案？本期我们精选三篇文章，讨论上述问题。

复习作为一种学习方法，其目标不仅指向梳理、巩固旧知，还指向触发新的认知。复习课承载着梳理知识、查漏补缺、易错解析、转化迁移、拓展延伸等功能。从单元整体教学设计角度而言，数学单元复习课应定位于引导学生在整理单元知识的过程中探析单元知识之间的内在逻辑；基于学生认知难点组织变式教学，有意识地培养学生的数学核心素养；运用转化或迁移策略，促进学生构建对未来学习有支撑意义的结构化数学知识体系。这既是数学单元复习课的教学策略，也是数学单元复习课的教学路径。

一、把握逻辑关系，实现单元内容结构化

课程内容结构化是新课程标准倡导的重要理念之一。课程内容结构化落实于教学实践中，需注重教学内容的结构化。对单元复习课而言，“温故”的重点是梳理、巩固单元知识，“知新”的重点是依托单元内容的结构化构建知识网络。

单元是教材编排的基本单位。一个单元的知识点一般不会孤立存在，知识点之间存在一定的内在逻辑关系。然而，学生是通过一节又一节课学习单元内容的，其学习过程看似连续，实则缺乏从联系的观点整体把握单元内容之间逻辑关系的过程。因此，单元复习课的第一步是引导学生通过梳理单元知识，构建知识网络，发现单元内看似零散的知识点之间的内在联系。已有研究和实践表明，教师引导学生梳理单元知识、构建知识网络的主要策略是，借助表格、樹状图、网状图、思维导图等图示化工具呈现单元内容。然而，我们看到的多数知识网络图主要描绘的是表层的单元内容结构，缺少对单元内容之间逻辑关系的刻画。在小学数学中，有的单元内容之间的逻辑关系是显性的，其内容结构本身就是内容的逻辑关系，一般常见于学生首次学习的某一类主题内容的单元，如人教版数学三年级上册《分数的初步认识》；而有的单元内容之间的逻辑关系是隐性的，其内容结构背后有更深层次的内在联系，需要教师引导学生探析和发现。以下案例就属于单元内容之间存在隐性逻辑关系的教学案例。北京第二实验小学大兴实验学校陈士宁老师在北京版数学三年级《除法》（除数是一位数的除法）单元复习课中，借助习题组引导学生发现口算、估算、笔算的联结点——“表内除法”，进而引导学生借助“表内除法”实现口算、估算、笔算之间的转化。例如，口算“560÷8”时，先不看被除数560末尾的0，将其转化成“56÷8”后借助乘法口诀计算，再在计算结果的末尾添上0；估算“562÷8”时，借助“56÷8”将估算问题转化为口算“560÷8”的问题；笔算“984÷5”时，先比较被除数的首位和除数，由9>5确定商的首位写在百位上，除的过程中从高数位到低数位不断平均分计数单位的个数，每一步的余数必须小于除数，而每一步“除的过程”本质上都是转化为表内除法后用乘法口诀求商。如此，陈士宁老师引导学生深度理解了除法计算的主要策略是用乘法口诀求商，构建了结构化的单元知识网络。

小学数学单元复习课中，梳理单元知识、构建知识网络是第一步，目的是实现单元内容的结构化，而单元内容结构化的关键在于用联系的眼光发现单元内容之间的内在联系，而这又是“理解具体学习内容的学科本质，使学生深刻理解和掌握学习内容，并在此基础上实现知识与方法的迁移，从而促进学生核心素养的形成”（马云鹏，《课程·教材·教法》2022年第6期）的重要途径。

二、依托变式练习，完善已有认知结构

复习课不是习题课，单元复习课中的练习不需要对照单元知识点面面俱到地设计。教师在单元复习课中应基于学生的认知难点设计变式练习，引导学生查缺补漏，完善认知结构，实现举一反三、触类旁通，并有意识地培养学生的数学核心素养。

设计复习课中的练习，关键是教师对学生认知难点的判定。准确判定学生认知难点的前提是准确分析单元新授课、练习课的学习效果。若要设计精准的单元复习题，教师就要避免凭借经验判断学生的认知难点，而要通过单元作业分析、单元后测学情分析等获取反映学习效果的证据，依托证据判定学生的认知难点。如陈士宁老师通过单元后测，发现学生的易错点是“商出错”和“余数出错”。其中，“商出错”的主要原因是算法不明，表现为三位数除以一位数中商的判断出错，如商的位数不对、商中漏写0等，这是学生理解除法算理的认知难点；而“余数出错”的主要原因是学生对乘法口诀和减法计算不熟练，这不是学生理解除法算理的认知难点。鉴于此，陈士宁老师基于学生“商的判断出错”认知难点，设计了一组对比变式习题（①984÷5＝196……4 ②396÷9＝44  ③918÷3＝306  ④562÷8=70……2），先让学生对题组中的4道算式进行分类，然后用问题1“按商的位数分类，这些题目都是三位数除以一位数，为什么①③的商是三位数，②④的商是两位数”引导学生讨论如何判断商的位数；最后用问题2“按商中有无0分类，③④的商中为什么会出现0”引导学生说理，解释“商中为什么会出现0”。这样教学帮助学生突破了上述易错点，加深了对算理的理解，完善了除法算理的认知结构。

单元复习课教学中，除了对比变式习题，教师还可以结合教材内容，引入问题变式、方法变式、情境变式、结构变式（将原问题转变为结构不良的问题等）的习题。无论采用何种变式方式，教师都要注意引导学生举一反三、触类旁通，有意识地培养学生的数学核心素养。上述教学情境中，陈士宁老师针对“商的位数判断”（问题1）和“商中有0的解析”（问题2），分别安排了迁移应用练习，检验学生能否举一反三、触类旁通。讨论问题的过程中，陈士宁老师借助问题链培养学生的推理意识。如提问“按商的位数分类，这些题目都是三位数除以一位数，为什么①③的商是三位数，②④的商是两位数”后，陈士宁老师先说明“计算时，先比较被除数的首位和除数就可以确定商的首位在哪一位上”，接着追问“商可能是一位数吗”，然后追问“如果是四位数除以一位数，商可能是几位数？五位数除以一位数呢”。学生将已掌握的三位数除以一位数的商的位数判断方法迁移到四位数、五位数除以一位数的情境中，通过类比推理，构建了整数除以一位数的商的位数判断方法。

对小学数学单元复习课而言，学情是教学设计的起点，精准判定学生的认知难点可以提升复习课的教学效果，基于学生认知难点的变式练习是单元易错内容解析的重要媒介。

三、形成贯通理解，实现主题内容结构化

义务教育数学课程内容是按照螺旋式上升方式编排的，“同一类”学习内容（主题）分散在不同的教材分册中，构成隐形的纵向大单元即主题大单元。因此，教师要在复习课中引导学生运用转化或迁移策略，将知识和方法拓展、延伸到主题大单元，让学生感悟到散落在不同分册中的“同一类”数学知识共同的学科本质，为学生形成核心概念（大观念、大概念）积淀活动经验。

对主题大单元而言，教材单元内容学习的结束只是主题内容学习过程中一个学习阶段的结束，教师需要借助一条逻辑主线将不同阶段的学习内容联系起来，这条逻辑主线应聚焦于该主题内容的学科本质。在建立同主题内容单元之间联系的过程中，教师可以运用转化策略将本单元内容与已经学习的同主题单元内容联系起来，也可以运用迁移策略将本单元内容与后续同主题单元内容联系起来。例如，北京版数学四年级上册《乘法》单元复习课中，教师可以将“三位数乘两位数”的算法转化为“计算三位数乘一位数与三位数乘整十数的和”，使“三位数乘两位数”的内容与前面已经学习的《乘法》单元内容建立联系，实现整数乘法算法一体化。在《除法》单元复习课中，学生笔算并板演“984÷5＝196……4”后，陈士宁老师提出关键问题“还能继续分吗”，引导学生发现“只要能将余数细化为更小的计数单位，就还能继续分”，将学生的思维从“有余数”向“可以继续除”迁移，引导学生感悟除法算理的本质——“从高数位到低数位不断平均分计数单位的个数”，从而理解整数除法和小数除法算理的一致性。

在小学数学单元复习课中实施转化迁移、拓展延伸教学策略的目的是使主题内容结构化，而主题内容结构化的关键在于对学科本质的贯通理解。教師作为教学设计者，虽然掌握了指向内容结构化的学科本质或核心概念，但单元复习课的教学主旨并不是将教师建构的结构“转送”给学生，而是引导学生通过主动构建内容结构，感悟到学科本质或核心概念的存在。学生在不同学习阶段对学科本质或核心概念可以有不同程度的理解，可以在同主题内容学习进阶过程中，通过转化或迁移，不断感知、建构主题内容结构，进而获得对未来学习有支撑意义的结构化数学知识体系。

（作者单位：北京教育学院数学与科学教育学院）

（本文系北京教育学院2020年重点关注课题“基于数学项目学习的课程综合化实施路径研究”的成果。课题编号：ZDGZ2020-20）