物理图像的渐变与突变——以“单摆模型”为例

张 锐 周 伊

(北京市十一学校 北京 100039)

1 原题呈现

人教版教材高中物理选择性必修第一册《机械振动》“复习与提高”B组中有这样一个问题(60页第5题)[1]:

如图1(a)所示,O点为单摆的固定悬点,将力传感器接在摆球和O点之间.现将摆球拉到A点,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,其中B点为运动中的最低位置.图1(b)表示细线对摆球的拉力大小F随时间t的变化曲线,图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻,重力加速度g取10 m/s2.求:

图1 原题题图

(1)单摆的振动周期和摆长;

(2)摆球的质量;

(3)摆球运动过程中的最大速度.

通过分析图像,将图像中特殊值与振动过程中的状态一一对应,就可以求解这个问题.当t=0、0.4π、0.8π、…时,此时细线对摆球的拉力最小,说明此时摆球处于振动过程中的最高点,即可能是A、C两点处.根据简谐运动的对称性,当t=0.2π、0.6π、…时,此时细线对摆球的拉力最大,摆球处于振动过程的最低点,即B处.

要分析摆球的质量m和运动过程中的最大速度vm,我们需要具体研究摆球在最高点和最低点的受力特点.根据机械能守恒定律,摆球运动至最低点时速度最大.假设摆球振动过程中的最大摆角为θ0,则在最高点,即A或C处时,沿绳方向受力平衡,可知F1=mgcosθ0,其中F1=0.498 N.

由最高点运动至最低点过程中,根据动能定理

将上述方程联立,可以解得摆球质量m=0.05 kg,运动过程中最大摆角满足cosθ0=0.996,最大速度

由此可知,图像问题的处理,学生需要具备基本的力与运动的物理观念、读图与分析图像的能力、模型建构的能力和运用牛顿运动定律分析动力学问题的能力,这都是教学过程中重点落实的相关内容.但仔细观察上述图片,学生可能会产生一个疑问:摆球在振动过程中,受到外界的约束条件并没有发生变化,描述运动的物理量,如位移、速度、加速度均发生顺延性变化,即随时间的变化规律均为连续性函数,为什么摆球提供的拉力F随时间t的变化函数会呈现出不连续、不可导的突变点呢?

这与学生在高中阶段接触的经典力学相关的观念是不相符的,当约束条件不变或者连续变化时,物理量的变化也应是渐变的[2].以运动学中常见的上抛运动的图像问题为例,物体以一定的初速度向上抛出,以竖直向上为正方向.若不考虑空气阻力的影响,则物体速度v随时间t的变化曲线如图2(a)所示,为连续曲线;若物体运动过程中受到大小不变的空气阻力的影响,则物体速度v随时间t的变化曲线如图2((b)所示,由于上升过程和下降过程的阻力在最高点处发生突变(方向突变),图像曲线出现不连续的突变点;再进一步,若考虑物体所受空气阻力大小与物体速率成正比,则物体速度v随时间t的变化曲线如图2(c)所示,由于阻力的变化是连续的,因此v-t关系曲线仍为连续曲线.

图2 竖直上抛运动v-t图像

根据上述分析可知,在经典力学阶段,在约束条件不变或者连续变化的情况下,状态参量的变化应为连续性的.基于这一想法,我们对人教版教材中的上述问题进一步进行分析,方法与上述讨论完全相同.

假设细线偏离竖直方向的夹角为θ,根据题设条件可知,单摆振动的周期T=0.8π s,则角度θ随时间t的变化关系为θ=θ0cos(2.5t),其中,θ0满足

cosθ0=0.996

在某角度θ时,沿绳方向摆球受力分析

根据动能定理有

联立上述两式可得

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

将数据m=0.05 kg、cosθ0=0.996、g=10 m/s2代入可得

F=1.5cosθ-0.996

即拉力F随时间t变化的关系为

F=1.5cos[θ0cos(2.5t)]-0.996

为连续函数.通过数学软件可以画出F-t图像如图3所示,与图1(b)所画图像有很大的差别.

图3 F-t图像

综合上述可知,对于多过程的物理问题,由于约束条件差异,会使得状态参量的变化规律有所不同,但在经典力学的框架下,若约束条件不变或者连续变化,各物理量也应为连续变化.在物理过程的图像中,不连续或不可导的突变点一定对应着物理过程中约束条件的突变.因此,学生在处理图像相关问题时,应慎重对待图像中的不连续或不可导的突变点.图像的信息,不仅仅包括变化趋势、斜率、截距等,更包含着与运动过程的对应关系、约束条件的影响,而我们在教学过程中也应有所关注.