小学数学教学中数学思想的渗透策略

☉王 霞

数学教学中，对数学思想的提炼与渗透，有助于拓展学生的数学思维，提高学生的数学综合应用能力。例如数学分类思想、模型思想、转化思想、数形结合思想等。通过探究数学思想，结合数学问题，逐步拓展学生的数学解题思路，灵活掌握和运用数学思想，来解决问题，为发展学生数学核心素养奠定基础。本文以模型思想为例，结合学生学情，增进数学与现实生活的关联，促进学生用数学语言来描述现实问题，提升数学思维品质。

一、梳理数学模型分类，增强学生建模意识

对数学模型思想的讨论，旨在通过数学语言来描述数量关系，帮助学生全面认识数学问题。模型思想，拉近数学与现实的距离，增进学生对数学本质的理解。［1］

（一）构建量化模型，发展学生抽象意识

从数学课程中，量化可以表示为用数来讲述现实世界中量的关系。数学量化模型，体现了对现实世界的精确定量。量化的过程，帮助学生从形象思维向抽象思维过渡。例如，在学习《认识图形》时，对于平面图形的认识、理解与抽象，可以通过学生玩积木的方式，认识积木的几何结构，把握这些图形的特点，促进学生在头脑中建立不同几何图形的模型表象。再例如，对于“三角形”，根据其定义，让学生回归生活情境，自己动手去“画一个三角形”，观察“三角形”需要满足什么条件？即三角形需要有三条边，三个角，三个顶点等。可见，对于数学模型中的量化方法，通过有形的物来揭示数学的抽象本质，帮助学生体认数学概念、定理，感悟模型思想的应用价值，增强数学建模意识。

（二）利用等价模型，感知等式内涵

对于“等价”，可以表述为“相等关系”。在数学中，“相等”用“=”来表示，即“=”号两边是相互等价的两件事情。在认识“等式”关系时，无论是已知量，还是未知量，无论是一个数，还是多个数，只要能够满足“相等关系”，在数学中都可以用“=”来表示。例如在低年级学习“1＋3 ＝4”，再到中年级“a ＋b＝b ＋a”，以及计算面积时所用公式：“S ＝ab”，还有高年级将学到的方程、函数等问题，都要涉及与“等式”相关的数学模型。由此，在描述“等价模型”时，着重让学生运用数学符号来建构等式关系，提升学生的代数思想。如在学习《小数乘法》时，对于小数乘以整数的计算，要让学生认识到小数点的位置变化。某题中，一斤西瓜0.8元，问3 斤西瓜需要付多少元？通过分析，1 斤西瓜为0.8 元，3 斤就是3 个0.8 元，可以表示为“0.8 ＋0.8 ＋0.8”。对于三个0.8 的和，可以用小数乘以整数即“0.8×3 ＝2.4（元）”来表示。也就是说，“0.8 ＋0.8 ＋0.8 ＝0.8×3”。由此，利用等价模型，来简化数学计算。

（三）引入数轴模型，探究数与形的结合

在数学中，数轴是刻画一维空间的数学模型。数轴可以实现数与形的衔接。从数轴的概念来看，数轴包括原点、正方向、单位长度。数轴模型，利用数轴上的不同点的相对位置关系，来表示数学中的数。由此，可以从一维空间延伸到二维空间、三维空间的直角坐标系模型、球面空间的黎曼几何模型等等。数轴思想，还体现了图形与几何的关系。如在教学近似数、小数、负数等知识点时，也会运用数轴模型，来帮助学生建构数理。如某题中，有一筐鸡蛋，第一次拿走1/2，第二次又拿走剩下的1/2，最后筐里剩4 个鸡蛋。问原来有多少个鸡蛋？对该题的解决，可以将整个筐里的鸡蛋看作“1”，第一次取走后，再将剩下的鸡蛋看作“1”，利用数与形关系，第二次拿走鸡蛋时，所剩鸡蛋为4的2 倍，即8 个；第一次拿走鸡蛋时，鸡蛋应该是8 的2 倍。利用数与形的关系，让数学问题直观化。

二、把握模型思想价值，有序融入数学教学

模型思想在融入数学实践中，要突出数学问题与现实生活的内在联系，全面梳理小学数学教材，增强学生对数学模型的感性认识，开放数学活动空间，让学生体会建模过程。

（一）细化阶段性目标，分步渗透模型思想

对数学模型思想的认识，要立足小学数学，从阶段性目标设计中，让学生渐进感悟模型思想。［2］低年级要初步感知模型思想，中高年级参与模型思想的抽象、概括过程。例如，在认识《10 以内的数》时，我们可以融入数轴模型，通过观察数轴上的点，让学生感知点与对应数的关系。在进行两个数比较大小时，可以依托数轴上的点，观察哪个点代表的数大，哪个点代表的数小。在求近似数时，可以结合数轴，让学生对比“哪个数最接近某数”。由此，从数到数轴上的点之间，学生感知数与形的关系。同样，在后续学习小数、分数时，也可以延伸数轴，让学生透过数轴上的点，来辨析数的概念。在学习《数对确定位置》时，通过观察教室里学生的座位次序，让学生将座位抽象成数轴上的点，感受数轴中原点和正方向的重要性。在拓展平面二维坐标中，对于学生的座位，可以从“行”与“列”中确立。如某学生的座位位于“第几排”“第几列”，与对应的横向、纵向数轴上的点形成对应关系，从而透析“数对”的内涵，发展学生用数来描述不同空间相对位置的意识。

（二）引入结构性材料，感知模型思想的数学意义

认识模型思想，重在感知和体验。小学阶段，对数学概念的讲解，教师可以利用结构性材料，让学生从观察、触摸中体认数学模型，帮助学生感悟模型思想。如对于“等价”模型的学习，小学低年级简单加法的运算，可以借助于“天平”模型，让学生观察“左边”与“右边”之间的平衡关系，来体会加法的意义。天平的左边我们用“□”表示，右边用“□＋□”表示。要想实现平衡，需要“左边＝右边”，即满足“□＝□＋□”的关系。举例来讲，8 ＋△＝□＝5，请同学们观察等式两边的△与□，请思考并列举符合等式的数。由此，教师借助于“天平”模型，让学生展开问题探究，从结构性认知中，深入感知“等价模型”的数学意义。同样，在学习《方程》时，对于“方程”的理解，一些学生搞不清楚。我们结合“等价模型”，让学生展开探讨。“30 ＋30 ＝60”观察这个等式，如果“30 ＋x ＝60”，则请思考，等式中的x 应该是多少？再者，对比“30 ＝60 － 30”与“30 ＋x ＝60”的关系，引导学生辨析等式成立的条件，进而求解出x 的值。在这个过程中，学生体认到“方程”的意义。由此我们延伸方程问题，某班，男生有17 人，女生有15 人，一共有多少人？如果男生有17 人，女生有a 人，全班共有30 人；如果男生有b 人，女生有17 人，共有30人。请求出a、b 的值是多少。学生从模型建构中，深化对模型思想的理解。

（三）重视课堂活动，给予学生建模体验

在小学数学模型思想渗透中，要顺应小学生好玩爱动的天性，通过开展课堂活动，鼓励学生认识、体认数学模型思想。课堂活动的组织，要突出开放性、自主性，让学生从建模活动中积累数学经验。如在学习《角的度量》时，对于“度”与“量”的理解，我们指导学生利用量角器，去量化角的大小。借助于“比角”活动，去观察“单位小角”（10 度角），激发学生去合并“单位小角”，得到18 个“单位小角”，正好为半圆度量模型。对“量角器”的认识，由“单位小角”进行平分为10 份，每份所代表的刻度为“1 度”。在这个过程中，学生深刻认识“量角器”的结构与度量特点。再例如，对于“植树”问题的探讨，有一条小路长20 米，每隔5 米栽一棵树，请同学们尝试提炼数学模型。由此得到三种类型，两端都种树，可以栽5 棵；两端都不种，可以栽3 棵；只种一端，可以栽4 棵。将种树问题转换为三条线段图，让学生从线段总长、间距、间隔数之间，归纳、计算间隔数的模型，即间隔数=总长÷间距。

三、注重思想方法采用，养成数学核心素养

思想方法可以分为数形结合思想方法、集合思想方法、对应思想方法、划归思想方法等，教师要注意思想方法的分类，并注重、注意方法在课程教学中的采用，促使学生形成数学思想的同时养成核心素养。［3］

（一）数形结合思想方法

数学教学主要研究的对象是“数”和“形”，从几何、函数、统计这些数学知识点可以得知数形结合在数学领域无处不在。数形结合是一种思想方法，也是核心素养元素之一，而数形结合思想就是要求学生能够将数量关系与空间形式结合起来去分析问题、解决问题。在分析和解决的过程中，还需要具备画图能力，利用图形、表格、符号、线条、文字等绘画示意图，从而找出了关键知识点，梳理问题与关键知识点的关系。为此，小学数学教师在教学过程中可以渗透数形结合思想方法，利用“数形结合”的方法将抽象的数学知识和问题简单化，降低理解难度，培养学生数形结合思想。如在学习“长方体和正方体”知识时，教师就可以利用数形结合的思想去教学，活跃学生思维。用橡皮泥或小圆木棒制作成不同的正方体和长方体，并让学生思考，如何选取木棒才能又快又好地做出物体？之后学生开始实践，最终选取合适的长方形和正方形将框架围起来。接下来教师利用学生做出来的物体引出知识点——用棱、面和顶点去总结长方体和正方体的特征，从而得出表面积就是长方体和正方体六个面的总面积，通过这种方法来活跃学生思维，培养学生数形结合思想。

（二）集合思想方法

小学数学主要学习了点、数、线这些抽象的数学知识，将这些知识放在一起研究需要运用到集合思想。集合思想是将一组研究对象放在一起，一起讨论范围，并用画集合图的方法来养成集合思想。为此，小学数学教师可以采用集合思想教学，渗透集合知识概念，提高学生空间观，培养学生逻辑思维。［4］如在学习《平行四边形》时，教师可以给学生分析平行四边形的集合。平行四边形的集合主要分为长方形的集合，通过这种方法直观地向学生渗透集合概念，引导学生将拥有共同属性的物体或知识看成一个整体，渐渐形成集合思想。

（三）对应思想方法

对应思想是把握两个集合的问题联系，从小学数学教材编排中可以看出是存在对应的，常见的有箭头、虚线、实线、计数器等，为此，小学数学可以采用对应思想方法去教学，将元素与元素、数与算式、实物与实物、量与量联系起来，培养学生对应思维。重点是一年级教学，将知识主人公、关键词相互对应，开展比较学习，引导学生了解事物间对应关系，通过这种方法培养学生对应思想方法。

（四）划归思想方法

数学具有矛盾性特点，知识的复杂与简单、问题的已知与未知、学习的困难与容易，这都需要根据学生自身特点进行矛盾转化。所谓划归思想就是数学问题解决思想，将需要解决的数学问题进行转化，归结成已经解决或比较容易解决的问题中去从而解决。［5］为此，小学数学教师可以采用划归思想方法来将数学的矛盾性进行转化，化难为易、化曲为直。如在学习《小数除法》这节课，教师可以利用“商不变性质”将小数除法划归为整数除法，将异分母分数比较大小转化利用“通分”原理划归同分母分数比较大小，通过这种方法，构建完善学生数学认知结构，降低了学生学习难度。

综上所述，数学知识具有抽象性，小学生正处于形象化思维阶段，对数学的理解，很大程度上依赖于具体的形象。数学思想是解决数学问题的重要参考，教师在平时要重视数学思想的渗透，引领学生参与感知、体验数学思想，让数学学习更有效。