借助图式辨析，促进概念融通——以人教版教材三年级上册“倍的认识”单元复习为例

□吴梦媛

单元复习课既要整理、回顾单元知识，关联数学概念，使学生形成知识结构，又要通过练习查漏补缺，使学生完善认知结构。然而，“理”容易枯燥，“练”容易细碎。如何让数学概念的复习既不枯燥又整体关联呢？笔者以人教版教材三年级上册“倍的认识”的单元复习为例，借助图式设置任务，进行复习教学的尝试。

一、解读概念，明晰单元核心内容

以复习数学概念为主的单元复习课一般包括两个层面：一是理解数学概念的内涵本质，二是明晰数学概念的外延关联。“倍”是一种比较关系，与乘除法概念有关联，“倍”的概念直接关联后续学习的“分数”“百分数”“比”等知识。

人教版教材把“倍的认识”作为独立的教学单元进行编排，其意图是让学生在理解“倍”的概念后，运用“倍”的关系解决问题，主要包括“求一个数是另一个数的几倍”和“求一个数的几倍是多少”两种情况。此外，教材还在期末“总复习”中，以图式填空的形式，补充了逆向的“已知一个数的几倍，求这个数是多少”的解决问题。笔者查阅了其他不同版本的教材，发现这些教材也同样凸显了“倍”与乘除法之间的关系，体现了“两个量的倍比”与“两个量相差”的区别。

因此，“倍的认识”单元复习的核心内容，应是深入理解“倍”的概念，凸显基于乘除法概念的比较关系，明晰量与量之间的联系。复习路径为：借助几何直观，抽象概念，把“两个量数的抽象关系”转化为“两个量图的具象关系”。由此，让学生明晰倍数的三个量之间的内部联系，辨析相差关系，延伸包含的倍比关系。

二、分析学情，找准单元知识难点

单元复习课的任务要针对学生的易错点和单元知识的难点设置。学生在学习“倍的认识”单元时，哪些题目容易出现错误？这个单元知识的难点在哪里？针对这些问题，笔者设置了前置式任务，调研了不同班级共247名同学，并对学生的解答情况进行了分析统计。

此次调研中，第一题主要考查学生能否准确描述两个量之间的倍数关系，第二题考查学生能否根据倍数关系准确画出“标准量”和“比较量”，第三题考查学生能否在比较多个量时，排除多余信息，准确写出两个量的倍数关系。调研结果显示，第一题约有87.04%的学生能准确描述两个量之间的倍数关系；第二题第1小题约有87.04%的学生能用图式表示倍数关系，第2小题约有70.04%的学生能用图式表示倍数关系；第三题约有76.92%的学生能正确描述倍数关系。此外，此次前置式任务调研也发现了学生存在的一些典型错误（如图1）。

根据学生的具体解答可以发现，在学完“倍的认识”单元后，学生仍然存在以下问题：（1）对于“倍”的概念的理解不够深入，容易混淆“标准量”和“比较量”；（2）简单认为图式中一共有几份，两个量就是几倍关系；（3）存在见“倍”就“乘”的现象；（4）遇到多个量比较时，难以判断以谁为“标准量”。

三、图式辨析，递推单元核心任务

建立关联是单元复习课的目标之一。基于任务驱动的复习，要把零碎的知识点整合在核心任务中，以图式的形式组建系列任务，改变“提问—回答”的单一互动模式。

（一）再现：借思辨性图式，理解概念本质

在单元复习教学中，教师要借助适切的学习材料，帮助学生再现单元内知识点，梳理知识结构，避免抽象枯燥的重复回顾。用于再现知识的任务情境要能涵盖全单元相关知识，突出教学重难点，帮助学生逐步抽象理解概念本质。

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任务一是一组思辨性的图式（如图2），借助该图式能帮助学生进一步理解“倍”的概念。其中，①号图根据学生的易错点区分“标准量”；②号图通过随意摆放，让学生聚焦图形数量，以数量关系理解“倍”的概念；③号图具有思维递进关系，需要学生借助规律得出结论；④号图用线段图来表征“倍”的概念。

图2 理解“倍”的思辨性的图式

学生先独立思考完成任务，然后进行教学反馈。教学反馈时，先反馈正确的图式，概括概念的共性，再辨析错误的图式，强调“标准量”和“比较量”的关系。

“哪些图能表示圆的个数是三角形个数的3倍？”教师先以正确的②号图为例，引导学生回顾“倍”的概念，让学生通过圈一圈、画一画，得出：2个三角形为1份，圆有这样的3份，就可以说圆的个数是三角形个数的3倍。

教师提问：“③号图后面的珠子被盒子挡住了，你是怎么看出圆的个数是三角形个数的3 倍的？”启发学生在思辨中理解“△○○○”为一组重复出现的图形，只要观察其中一组就可以推测出倍数关系。

教师追问：“④号图只有两条线段，没有对应的数量，为什么也能表示‘圆的个数是三角形个数的3 倍’？”引导学生思考：如果三角形表示1，圆有几个？如果三角形有2个、3个、5个……a个，圆分别是几个呢？从而渗透函数思想：虽然不知道三角形和圆分别有几个，但圆的个数始终是三角形个数的3倍。比较归纳“倍”概念的本质：正确表示的这三幅图，有什么相同点？

在此基础上，教师提出质疑：“①号图中有9个和3个，为什么不能表示圆的个数是三角形个数的3 倍？怎样改就可以了呢？”从而让学生感悟到要找对标准量。由此可知，教学反馈的重点是通过思辨感悟“倍”的概念，从“关注具体数量”走向“关注两个量的关系”。

思辨性图式材料可以帮助学生梳理单元知识，形象化地突破难点，抽象出数学模型。单元复习教学如果用思辨性图式导入，起点较低，学生就会有话可讲。在学生分析图式的过程中，教师要关注学生的语言表述，引导学生先分析标准量，再分析两个量的倍数关系。数学概念的学习过程就是先将具体情境抽象成数学模型，再用自己的语言描述数学模型的过程。在单元复习课中再现知识，有助于学生内化知识，形成自己的认知结构。

（二）关联：借对比性图式，构建知识结构

如图3 所示，这是一组对比性图式，用于帮助学生理解“倍”的比较关系。教师呈现图式后，让学生自主列式，然后通过四幅图的两次分类，递进式地展开教学反馈。第一次分类聚焦比较关系。教师提问：“①号图、②号图和④号图都是用乘法或除法表示，③号图为什么是用减法呢？”学生发现，③号图虽然呈现的也是两个量之间的比较关系，但却是“求一个量比另一个量多几”的相差关系，而“倍”是描述乘法的数学模型。第二次分类聚焦“倍”的三个量之间的关系。①号图、②号图、④号图分别对应“求几倍数”“求倍数”和“求一倍数”，从而完善学生对“倍”的理解，帮助学生构建完整的知识结构。

图3 理解“倍”的对比性图示

在上述比较的基础上，教师删去表示相差关系的题目，只留下表示倍数关系的三道题目，并提问：“同样是表示倍数关系的三道题，为什么有的用乘法计算，有的却用除法计算呢？”学生比较三道题的对应图式，发现“求几倍数”用乘法，“求倍数”和“一倍数”用除法。接着教师进一步引导学生用“几个几”的乘除法模型进行理解，如④号图是把27平均分成3 份，求1 份是多少，这“1 份数”就是“标准量”，用除法解决。

将对比性图式进行比较，有助于学生以“类”的思想统领概念，促进对概念的理解和迁移。因此，单元复习教学要将新旧知识进行关联，梳理知识脉络，且这种梳理不仅仅是知识的再现，还要在知识再现的基础上进行关联与拓展。

（三）进阶：借综合性图式，促进思维提升

单元复习教学不仅要明晰概念的内涵，还要辨析概念的外延。借助综合性图式关联后续知识，可以延伸知识，促进思维的进阶。

1.选择包含关系的图式，延伸后续知识

“倍”是描述“率”和“比”的基础。如“甲是乙的2倍”还可以说成“乙是甲的”“甲和乙的比是2∶1”“乙是甲的50%”等。人教版教材在“倍的认识”这一单元研究的均是两个独立量之间的倍数关系。但实际上，存在包含关系的两个量之间也存在倍数关系，比较常见的是在扇形统计图中用百分数描述倍数关系。

任务三是一组包含性图式（如图4）。教师出示任务三，意图通过变式，帮助学生理解“倍”的比较关系。

教师提问：“你能在图中找到哪些倍数关系？”针对这样的开放性问题，学生会有不同的说法，如“桃树的棵数是梨树棵数的3倍”“男生人数是女生人数的1 倍”“女生人数是男生人数的1 倍”等。也有一些学生会关注部分与整体的关系，感受到图式的包含关系，发现“果树的总棵数是梨树的4倍，全班人数是女（男）生人数的2倍”。于是教师进一步追问：“反过来，女生人数是全班人数的多少？”学生会想到“一半”或“”。这种“一半”或“”的表达，表示学生对标准量的理解更进一步，突破了整数倍，为后续学习“一个数是另一个数的几分之几”做了铺垫。

2.递进多个量比较的图式，综合运用知识

利用开放性的素材，设计综合性和挑战性的任务，可以提升单元复习教学的拓展性，具体可以采用条件的开放、问题的开放和方法的开放等方式。

任务四是一组开放性的图式（如图5），学习材料从两个量的比较过渡到多个量的比较。教师出示任务四，旨在培养学生解决问题的综合能力。

图5 理解“倍”的开放性图式

首先，结合条形的长短猜想倍数关系体现了问题的开放。教师提问：“请你估一估，小猴、天鹅、小鹿的只数可能存在哪些倍数关系？”在此基础上呈现网格和具体数据，引导学生验证猜想，关注多个量的比较，判断标准量，用“谁是谁的几倍”进行描述。其次，条件和解题方法也具有开放性。教师可以引导学生思考：小兔也来凑热闹了，请在横线上补充跟小兔只数有关的信息，并列式计算小兔的只数。这样的学习任务充分激发了学生的学习兴趣，学生既有补充相差关系的，如“小兔比小猴多（少）2只”“小猴比小兔多（少）2只”等，也有补充倍数关系的，如“小兔的只数是天鹅只数的2倍”“小猴的只数是小兔只数的2倍”等。不同学生采用不同的数量关系和表述方式，补充的数据和解题的方法也有不同。他们在这些众多的表达中，发展了综合运用知识的能力。

学习的过程是知识不断同化和顺应的过程，而图式是同化和顺应过程中的重要工具。借助图式设置单元复习课的核心任务，有助于核心任务的整体呈现，契合学生的认知特征，能体现解题的过程化和思维的可视化，从而促进学生对概念的理解和认知结构的建构。