对一道高考题的分析与拓展

洪秀成

1.试题呈现

（2022年高考数学新高考Ⅰ卷第22题）已知函数f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

本题主要考察了函數的单调性和极值、等差数列、函数的零点存在定理、函数的同构等知识；考察了分类讨论、数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想；考察了推理论证、运算求解、抽象概括等关键能力；考察了逻辑推理、数学运算等核心素养.本题在知识层面、能力立意、创新要求等方面都有所体现，能很好的发挥数学试卷在高考中的选拔功能.