对一道解析几何最值问题的深入探究

安徽省合肥市肥东县城关中学(231600)王东海

高中新课标突出对学生数学核心素养的考查,而圆锥曲线成为考查逻辑推理能力和数学运算的重要载体.其中关于代数式最值的问题在高考和模考中频繁出现.此类问题的处理手段主要有几何法与代数法两种,圆锥曲线压轴题通常以代数手段为主,但在构造函数时往往思维量和运算量较大,学生不太容易掌握.本文以一道开学考试题的探究为例,谈谈其内涵与外延:

1 考题呈现

题目(2024 届高三江苏省南京市开学考) 已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为焦距为2,过E的左焦点F的直线l与E相交于A,B两点,与直线x=-2 相交于点M.

(1)若M(-2,-1),求证:|MA|·|BF|=|MB|·|AF|;

(2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C,D两点,与直线x=-2 相交于点N.求的最大值.

利用弦长公式易证得第(1)问等式成立.第(2)问可以设线用直曲联立、直线参数方程、极坐标方程等手段解决该题.可得所求的最大值为试题简洁但内容丰富,具有较大的探究空间.

2 背景探究

近年来,命题者开始挖掘高等几何中一些素材来命制高考和模考中的圆锥曲线试题.本文探讨的模考题的命题背景是高等几何中的极点和极线模块的内容.为了能够阐述清楚,先来探讨一下本题涉及到的概念和性质.

定义1给出线段AB的内分点C和外分点D,若则称C,D调和分割线段AB(或线段AB被C,D调和分割),也称点列A,B,C,D为调和点列.

定义2设两点C,D的连线与圆锥曲线Γ 相交于A,B,若线段AB被C,D调和分割,则称C,D是关于圆锥曲线Γ的一对调和共轭点.

定义3一点P关于圆锥曲线Γ 的所有调和共轭点的轨迹为一条直线p,此时称直线p为点P(关于Γ)的极线,点P称为直线p(关于Γ)的极点.简称极点.

如图1,由极点极线定义知,以点F(-1,0) 为极点所对应的极线的方程为从而M(-2,-1) 是其上一点,故由定义2 知,线段AB被F,M调和分割,也即A,B,F,M四点成调和点列,即故而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

图1

3 拓展探究

教师在讲解典型试题时应引导学生对问题进行深层次的探究及引申,充分挖掘题目的内涵和外延.反思此题,第(2)小题的结论能否推广到一般的椭圆? 经推理得下面一般性结论:

结论1已知椭圆C:过左焦点F的直线l与椭圆相交于A,B两点,与准线相交于点M,过点F作直线l的垂线m与椭圆相交于C,D两点,且与准线x=相交于点N,则的最大值为

证明以点F点为极点,以x轴正方向为极轴的方向建立极坐标系,则椭圆C的方程为所以从而

若将左焦点F拓展到一般的x轴上的定点,则上式是否仍具有最值?

结论2已知椭圆C:过定点S(s,0)(s∈(-a,0)) 的直线l与椭圆相交于A,B两点,与其极线相交于点M,过点F作直线l的垂线m与椭圆相交于C,D两点,且与相交于点N,则的最大值为

证明设l的参数方程为(t为参数).将其代入=1 并整理得:

4 类比推理

我们还可尝试将结论进一步类比到双曲线和抛物线中:

结论3已知双曲线= 1(a＞0,b＞0),过左焦点F的直线l与双曲线相交于A,B两点,与准线相交于点M,过点F作直线l的垂线m与双曲线相交于C,D两点,且与准线相交于点N,则的最大值为

结论4已知双曲线C:=1(a＞0,b＞0),过定点S(s,0)(s∈(-∞,-a))的直线l与C交于A,B两点,与其极线x=交于点M,过点F作直线l的垂线m与双曲线C相交于C,D两点,且与x=相交于点N,则的最大值为

结论5已知抛物线y2=2px(x＞0),过焦点F的直线l与抛物线相交于A,B两点,与准线相交于点M,过点F作直线l的垂线m与抛物线相交于C,D两点,且与准线相交于点N,则的最大值为

证明以点F点为极点,以x轴正方向为极轴的方向建立极坐标系,则抛物线的方程为

|MF|=,故

结论6已知抛物线C:y2=2px(p＞0),过定点S(s,0)(s∈(0,+∞))的直线l与抛物线交于A,B两点,与其准线x=-s相交于点M,过点F作直线l的垂线m与抛物线相交于C,D两点,且与x=-s相交于点N,则的最大值为

结论3、4、6 证明方法类似于结论1、2,从略.

5 拓展探究

针对此题,还可以进行进一步拓展:

结论7已知椭圆Γ:=1(a＞b＞0),过左焦点F的直线l与Γ 相交于A,B两点,过点F作l的垂线m与椭圆相交于C,D两点,则为定值

证明以点F点为极点,以x轴正方向为极轴的方向建立极坐标系,则椭圆C方程为设B(ρ,θ),C(ρ,π+θ),所以

对于双曲线与抛物线,亦有同样的结果.

结论8已知椭圆Γ:=1(a＞b＞0),过左焦点F的直线l与Γ 相交于A,B两点,过点F作l的垂线m与椭圆相交于C,D两点,则为定值

证明以点F点为极点,以x轴正方向为极轴的方向建立极坐标系,则椭圆C方程为设B(ρ,θ),C(ρ,π+θ),所以

从而得:|AB|=|AF|+|BF|=同理设所以|CD|=|CF|+|DF|=

对于双曲线与抛物线,亦有同样的结果.