一道双曲线试题的解法与推广探究

2023-11-30江苏省如东县掘港高级中学226400许卫华

中学数学研究(广东) 2023年21期

关键词：准线平分线过点

江苏省如东县掘港高级中学(226400)许卫华

双曲线是一种重要的圆锥曲线,在近年高考或各地模拟考试中,以双曲线为载体的圆锥曲线解答题考已成为数学命题的一大热点,体现了高考命题者对双曲线内容的青睐.下面对一道高三双曲线联考题的解法和结论推广进行探究,供参考.

1 考题呈现

题目(2023 年2 月浙江省七彩联盟返校联考第21 题)已知点F为双曲线Γ:的右焦点,过F的任一条直线l与Γ 交于A,B两点,直线l1:x=1.

(1)若M(x,y)为曲线Γ 上任一点,且M到直线l1的距离为d,求的值;

(2)若M(-4,6)为曲线Γ 上一点,直线MA、MB分别与直线l1交于D,E两点,问以线段DE为直径的圆是否过定点? 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

图1

2 解法探究

首先看第(1)小题的解法.

分析由Γ 的方程得到F的坐标,计算得出|MF|与d后,代入整体求解.

解易得F(4,0).由得y2=3x2-12,所以d=|x-1|,故

点评由于F是Γ 的右焦点,l1是Γ 的右准线,因此该小题本质上考查双曲线的第二定义.

下面重点来探究第(2)小题的解法.

思路1设出l的横截距式方程,与Γ 的方程联立,消去x得到关于y的一元二次方程,利用韦达定理得到A、B两点纵坐标的和与积,由此得直线MA、MB的方程,将x=1代入方程分别求出点D与点E的坐标.假设以线段DE为直径的圆过定点,由图形对称性可知,定点在x轴上,设定点P(m,0),则依据圆的性质,由得m的值,则以线段DE为直径的圆是过定点;若m的值求不出,则以线段DE为直径的圆不过定点.

解法1设l方程为x=ty+4,将其于双曲线方程联立,消去x得(3t2-1)y2+24ty+36=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

直线MA的方程为令x=1,得所以得同理得

由对称性知,定点在x轴上,设定点P(m,0),则

思路2在第(1) 小题基础上,作辅助线,得,然后利用三角形相似和内角平分线性质得FD⊥FE,由此得到以线段DE为直径的圆过定点F,再由对称性得到另一个定点.

解法2如图2,过点A作AA1⊥l1于A1,过点B作BB1⊥l1于B1,过点M作MN⊥l1于N,连接FE,FD.由(1)结论可知

图2

图3

又ΔAA1D∽ ΔMND,得所以在ΔAFM中,FD是∠AFM的角平分线,∠AFD=∠DFM.同理在ΔBFM中,FE是∠BFM的角平分线,∠BFE=∠MFE.所以所以FD⊥FE.故以线段DE为直径的圆过定点F(4,0),根据对称性可知也过定点(-2,0).

点评该小题考查圆过定点问题.解法1 设出l的方程,通过方程联立得到两交点纵坐标的和与积,利用圆的几何性质,构造向量,利用数量积为0 建立等式,求出定点.其中由对称性猜测定点位置,从而明确方向,简化计算,是求解问题的通性通法.解法2 根据条件作辅助线,利用三角形相似、内角平分线性质推证线段垂直,从而找到圆过的定点,求解过简捷、巧妙,体现了平面几何在简化解析几何计算中的优越性.但解法2 逻辑推理要求高,思维难度大,不易切入.

3 推广探究

我们在这里将目光放到对第(2)问的推广探究上.

3.1 延伸推广

对试题条件和结论的分析看出,F是双曲线Γ 的右焦点,直线l1是双曲线Γ 的右准线,M是双曲线Γ 左支上的一点,其结论是以线段DE为直径的圆过的定点是焦点F和焦点F关于线段DE的对称点.由此,我们来思考下面的两个问题:能否把试题的结论延伸到一般双曲线的情形?若F是双曲线Γ 的左焦点,直线l1是双曲线Γ 的左准线,M是双曲线Γ 右支上的一点,是否可以得到同样的结论? 于是将试题推广为一般情形下双曲线的两个结论:

结论1已知点F(c,0)为双曲线Γ:0,b＞0)的右焦点,直线l1为Γ 的右准线,过F的任一条直线l与Γ 交于A、B两点.若M为曲线Γ 的左支上一点,直线MA、MB分别与直线l1交于D,E两点,则以线段DE为直径的圆过定点(c,0)或

结论2已知点F(-c,0)为双曲线Γ:0,b＞0)的左焦点,直线l1为Γ 的左准线,过F的任一条直线l与Γ 交于A、B两点.若M为曲线Γ 的右支上一点,直线MA、MB分别与直线l1交于D,E两点,则以线段DE为直径的圆过定点(-c,0)或

结论1 和结论2 的证明可按试题第(2)小题证法2 的过程进行,请读者自行完成.