一道椭圆试题的解析与拓展

江苏省南通市海门第一中学(226100)黄丹

在圆锥曲线中,两条焦点弦互相垂直是一种重要的位置关系,2024 届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考试数学第21 题反映的就是椭圆满足这一关系的一道优质试题,本文对该试题的解法、变式及结论推广等进行深入探究.

1 试题呈现

题目(2024 届哈尔滨师大附中高三上学期开学考试第21 题) 如图1,椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD,当直线AB的斜率为0 时,|AB|=4.

图1

(1)求椭圆的方程;

(2)求使|AB|+|CD|取最小值时直线AB的方程.

2 解法探究

以下重点研究第(2)小题的解法.

分析1在对两条直线AB与CD的斜率是否存在或是否为0 讨论的基础上,根据垂直关系分别设出直线方程,然后把直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理分别表示出|AB|,|CD|,最后通过配凑、变形,利用均值不等式求解.

解法1当直线AB与CD中一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件.

当且仅当3+4k2=3k2+4,解得k=1 或k=-1,即AB的方程为x-y-1=0 或x+y-1=0 时上式取等号.

点评解法1 首先设出直线的点斜式方程与椭圆方程联立,然后利用韦达定理“设而不求”,最后运用均值不等式达到求解的目的.这一解法思路清晰,是求解直线与圆锥曲线关系问题的常规思路方法.

分析2由题意知AB与CD是过椭圆右焦点F且互相垂直的两条弦,我们联想到椭圆第二定义,设角利用第二定义转化为三角函数知识求解.

解法2由题意可知椭圆的右焦点为F(1,0),右准线为离心率为设右准线与x轴的交点为K,过点A作右准线的垂线,垂足为A1,过点A作x轴的垂线,垂足为H.设直线AB的倾斜角为α,则

点评解法2 设出直线的倾斜角α,然后应用椭圆第二定义并结合几何图形特征,将问题转化为角α的三角函数,利用三角函数知识求解.

3 变式探究

试题的题设条件和第(1)小题不变,只对第(2)小题进行变式探究.

变式1如图1,椭圆C:的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD,当直线AB的斜率为0 时,|AB|=4.

(1)求椭圆的方程;

(2)求使|AB|·|CD|取最小值时直线AB的方程.

简解由上面解法2 可知下同解法2.

变式2如图1,椭圆C:的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD,当直线AB的斜率为0 时,|AB|=4.

(1)求椭圆的方程;

简解由于AB⊥CD,所以由变式1 简解知,下同解法2.

4 结论推广

对于椭圆而言,两条焦点弦互相垂直是一种重要的位置关系,从试题和两个变式可以看出,当两相互垂直的焦点弦的长度的和或积取最小值时,两弦所在直线的斜率分别为1或-1,于是便可得到弦所在直线的方程.下面主要关注关于椭圆的两条互相垂直的焦点弦的几个“最值”性质,并予以归纳和证明.

结论1过椭圆C:的焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD,则|AB|+|CD|的最小值为最大值为

证法1不妨设F为C的右焦点,设椭圆E的焦距为2c(0 ＜c＜a),则F(c,0).当直线AB、CD的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为x=ty+c(t̸=0),代入1 中整理得设A(x1,y1),B(x2,y2),则

因为AB⊥CD,设直线CD的方程为

令g′(x)=0,得x=1,且当0 ≤x＜1 时,g′(x) ＜0; 当x＞1 时,g′(x)＞0.所以g(x) 在[0,1) 上单调递减,在(1,+∞) 上单调递增,所以g(x) 在x=1 处取得最小值故|AB|+|CD|的最小值为2ab2·

美国纽约电影学院也开设关于“声”和“形”的课程，但是在教学内容上与影视表演人才培养结合的更为紧密也更具有针对性。该学院开设《Voice》课程，准确的含义是《声音》课程，旨在通过科学合理的训练方法挖掘演员自身的嗓音，而不是单纯追求类似于美声演唱浑厚充满共鸣的声音。而在关于“形”的课程设置上，美国纽约电影学院开设的相关课程主要目的是开发演员的肢体语言或者说肢体表情，让演员在表演过程中充分运用自身的肢体语言；而其他与“形”有关的课程则针对职业技能需求，如针对社交场合的交谊舞以及针对动作戏的《格斗技巧》课程。

又由于当t→0 和t→+∞时,|AB|+|CD|的趋势相同,所以由函数g(x)的单调性可知当t=0 时,|AB|+|CD|取得最大值为此时直线AB、CD有一条的斜率不存在.故得证.

证法2不妨设F为椭圆的右焦点(c,0),右准线为离心率为如图1,设右准线与x轴的交点为K,过点A作右准线的垂线,垂足为A1,过点A作x轴的垂线,垂足为H.设直线AB的倾斜角为α,则

因为AB⊥CD,同理可得|CD|=所以

结论2过椭圆C:=1(a＞b＞0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD,则|AB|·|CD|的最小值为最大值为4b2.

简证由结论1 的证法2 可得所以

结论3过椭圆C:=1(a＞b＞0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD,则四边形ACBD的面积S的最小值为最大值为2b2.

简证因为AB⊥CD,所以由于·|AB|·|CD|,结合性质2 易得四边形ACBD的面积S的最小值为最大值为2b2.

5 类比推广

圆锥曲线之间有许多类似的性质,类比上述椭圆的结论,我们可以得到以下双曲线和抛物线的部分结论.

结论4过双曲线C:=1(a＞b＞0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD,则当a̸=b时,|AB|+|CD|的最小值为当a=b时,|AB|+|CD|的最小值为

说明由于双曲线的复杂性,该结论证明的篇幅过长,这里从略.

结论5过抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD,则|AB|+|CD|的最小值为8p.

证明由题意可知直线AB,CD的斜率均存在且不为0.设直线AB的方程为不妨设k＞0,将其与抛物线方程联立,得k2x2-p(k2+2)x+所以判别式

设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据抛物线的定义,得

因为AB⊥CD,所以设直线CD的方程为将其与抛物线方程联立得即x2-p(2k2+1)x+=0.设C(x3,y3),D(x4,y4),则x3+x4=p(2k2+1),根据抛物线定义,得

因此

结论6过抛物线C:y2=2px(p＞0) 的焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD,则|AB|·|CD|的最小值为16p2.

简证由结论5 的证明可知,|AB|=2p(k2+1),所以

结论7过抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD,则四边形ACBD的面积的最小值为8p2.

简证由结论6 可知,|AB|·|CD| 的最小值为16p2.因为AB⊥CD,即四边形ACBD的两条对角线互相垂直.根据结论:“对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半”可知,四边形ACBD的面积为当且仅当即k=±1 时,等号成立.故四边形ACBD的面积的最小值为8p2.得证.