对数函数单调性中的常见错解剖析

■张志远

函数的单调性是函数的重要性质。函数的单调性问题综合性强,难度大,稍有疏忽就可能出现错误,下面就对数函数的单调性中的常见错解进行举例剖析。

一、求单调区间忽视函数的定义域

例1求函数1)的单调区间。

错解剖析:错解中忽视了函数f(x)的定义域,因为单调区间是定义域的子集,在解函数问题时,一定要树立“定义域优先”的意识。

二、求单调区间忽视对底数的分类讨论

例2求函数f(x)=loga(x2-2x-3)的单调区间。

错解:由x2-2x-3>0,可得函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)。令u=x2-2x-3,则y=g(u)=logau。因为u=x2-2x-3=(x-1)2-4在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1),单调递增区间是(3,+∞)。

错解剖析:上述错解没有注意到底数对单调性的影响,当底数不确定时,要对底数分情况进行讨论。

正解:由x2-2x-3>0,可得函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞)。令u=x2-2x-3,则y=g(u)=logau。函数u=x2-2x-3=(x-1)2-4在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增。当01 时,函数g(u)=logau在定义域内为增函数。故当01时,f(x)=loga(x2-2x-3)的单调减区间是(-∞,-1),单调增区间是(3,+∞)。