指数函数与对数函数核心考点综合演练

■刘中亮(特级教师)

一、选择题

1.已知0

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

A.a

C.a

3.函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的关系是( )。

A.f(-4)=f(1) B.f(-4)>f(1)

C.f(-4)

5.设a=50.4,b=log0.40.5,c=log40.4,则a,b,c的大小关系是( )。

A.a

C.c

6.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )。

A.(-∞,4] B.(-∞,2]

C.[-4,4] D.(-4,4]

A.(0,+∞) B.(2,+∞)

C.(1,+∞) D.(3,+∞)

8.关于x的方程有解,则a的取值范围是( )。

A.0≤a<1 B.1≤a<2

C.a≥1 D.a>2

9.已知a=5log23.4,b=5log43.6,c=,则( )。

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

10.已知a=log20.3,b=20.1,c=0.21.3,则a,b,c的大小关系是( )。

A.a

C.b

A.(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,1)

D.(-1,0)∪(0,1)

13.(多选题)已知正实数x,y满足,则下列结论正确的是( )。

14.(多选题)对于0

15.已知函数f(x)=x2-2x+b在区间(2,4)内有唯一零点,则b的取值范围是( )。A.R B.(-∞,0)C.(-8,+∞) D.(-8,0)

二、填空题

17.已知m≤2x+1在x∈[0,+∞)上恒成立,则实数m的最大值是____。

18.已知函数f(x)=lnx+ex-m,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递_____;若函数f(x)在区间(1,e)上有零点,则m的取值范围是____。

19.已知二次函数y=x2-4x+m,m为实数。若此函数有两个不同的零点,一个在(-∞,1)内,另一个在(2,+∞)内,则m的取值范围是____;若此函数的两个不同的零点都在区间(1,+∞)内,则m的取值范围是____。

三、解答题

20.已知定义域为R 的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时

(1)求f(x)的解析式。

(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围。

21.已知函数f(x)=2-x。

(2)若函数h(x)=f(x)+g(x),且h(x),g(x)满足下列条件:①h(x)为偶函数;②h(x)≥2 且∃x∈R,使得h(x)=2;③g(x)>0且g(x)恒过(0,1)点。写出一个符合题意的函数g(x),并说明理由。

22.已知函数f(x)=4x+a·2x+3,a∈R。

(1)当a=-4 时,x∈[0,2],求函数f(x)的值域。

(2)若 对 于 任 意 的x∈(0,+ ∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围。

23.已知函数f(x)=-4x+k·2x+1-2k,x∈[0,1]。

(1)当k=-1时,求f(x)的值域。(2)若f(x)的最大值为,求实数k的值。

(1)若a=-1,求f(x)的单调区间。

(2)若f(x)有最大值3,求a的值。

(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的取值范围。

25.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R。

(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值。

(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围。

26.已知m>0,函数f(x)=lg(2xm)。

(1)当m=1时,解不等式f(x)≤0。(2)若对于任意在区间[t,2t]上的最大值与最小值的和不大于1,求m的取值范围。

27.已知函数f(x)=2x-2-x。

(1)判断并证明f(x)的奇偶性。

(2)求函数g(x)=22x+2-2x-f(x)在区间[0,1]上的最小值和最大值。

28.设函数f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212。

(1)求a,b的值。

(2)求函数f(x)的零点。

(3)设g(x)=ax-bx,求g(x)在[0,4]上的值域。

29.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过15 万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过15万元时,若超过部分为A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励,没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励。记奖金总额为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元)。

(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式。

(2)如果业务员老张获得5.5 万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?

30.已知函数f(x)=log4(4x-1)。

(1)求f(x)的定义域。

(2)证明:f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数。

(3)求f(x)在区间上的值域。

31.已知函数f(x)=lg(x2-2ax+1)。

(1)若函数f(x)的定义域为R,求a的取值范围。

(2)若函数f(x)的值域为R,求a的取值范围。

32.已知函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1)。

(1)当a=2时,求f(2)。

(2)解关于x的不等式f(x)>0。

(3)若∀x∈[2,4],f(x)≥4恒成立,求实数a的取值范围。

33.某地区今年1月,2月,3月患某种传染病的人数分别为52,54,58,为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型f(x)=ax2+bx+c,乙选择了模型y=p·qx+r,其中y为 患 病 人 数,x为 月 份 数,a,b,c,p,q,r都是常数,结果4月,5月,6月份的患病人数分别为66,82,115。

(1)你认为谁选择的模型较好? (需说明理由)

(2)至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000? 试用你选择的较好模型解决上述问题。

一、选择题

1.提示:由指数函数y=ax(0

3.提示:因为函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1。又函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的图像关于直线x=-1 对称,所以f(-4)>f(1)。应选B。

4.提示:结合分段函数自变量的取值区间求值。因为log23∈(1,2),所以f(log23)=f(log23+1)=f(log26)=f(log26+1)=f(log212)=f(log212+1)=f(log224)=应选D。

5.提示:利用指数函数的性质与对数函数的性质分别判断a,b,c与0 和1 的大小,即可得结果。因为a=50.4>50=1,0

6.提示:函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+ ∞)上单调递增,所以解得-4

10.提示:由对数函数和指数函数的性质知a=log20.3<0,b=20.1>20=1,0

二、填空题

16.提示:本题等价于y=2x2+mx-3在(-1,1)上单调递增。因为对称轴为x=,所以,可得m≥4,即实数m的取值范围是[4,+∞)。

17.提示:由指数函数的性质,可得y=2x在[0,+∞)上为单调递增函数,所以2x≥1,可得2x+1≥2,即2x+1 的最小值为2。因为m≤2x+1在x∈[0,+∞)上恒成立,所以m≤2,即实数m的最大值为2。

18.提示:因为在区间(0,+∞)上随着x增大,lnx,ex均增大,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增。由题意知(e-m)(1+ee-m)<0,解得e

19.提示:设y=f(x)=x2-4x+m,则f(x)的图像开口向上,对称轴为直线x=2。若f(x)有两个不同的零点,一个在(-∞,1)内,另 一 个 在 (2,+ ∞)内,则 满 足即解得m<3。若f(x)的两个不同的零点都在区间(1,+∞)内,则解得3

三、解答题

20.提示:(1)因为定义域为R 的函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0。当x<0时,-x>0,所以。因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以

由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,可得f(t2-2t)<-f(2t2-k)。因为函数f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)k-2t2,即3t2-2t-k>0对任意t∈R 恒成立,所以Δ=4+12k<0,解得故实数k的取值范围是

(2)满足题意的函数g(x)=2x(答案不唯一)。

理由如下:①因为h(x)=2x+2-x,所以h(-x)=2-x+2-(-x)=2-x+2x=h(x),所以h(x)=2x+2-x为偶函数。

③g(x)=2x>0,g(x)恒过(0,1)点。

22.提示:(1)当a=-4时,令t=2x,由x∈[0,2],可得t∈[1,4],所以原函数等价于y=t2-4t+3=(t-2)2-1。

当t=2时,ymin=-1;当t=4时,ymax=3。故函数f(x)的值域为[-1,3]。

23.提示:(1)当k=-1时,f(x)=-4x-2x+1+2在[0,1]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=-1,f(x)min=f(1)=-6,所以f(x)的值域为[-6,-1]。

(2)f(x)=-(2x)2+2k·2x-2k,令2x=t,t∈[1,2],则原函数等价于g(t)=-t2+2kt-2k,t∈[1,2],其对称轴为t=k。

①当k≤1时,g(t)在[1,2]上单调递减,可得这时无解;

②当1

(3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+∞),需要h(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能有a=0。若a≠0,则h(x)为二次函数,其值域不可能为R。故a的取值范围是{0}。

25.提示:(1)因为f(x)=2x+k·2-x是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),所以(1+k)·2-x+(k+1)·2x=0对一切x∈R 恒成立,所以1+k=0,即k=-1。

(2)因为x∈[0,+∞),都有f(x)>2-x,即2x+k·2-x>2-x成立,所以1-k<22x对x≥0恒成立,所以1-k<(22x)min。因为y=22x在[0,+ ∞)上单调递增,所以(22x)min=1,所以1-k<1,即k>0。

26.提示:(1)因为m=1,所以f(x)=lg(2x-1)≤0,所以解得x≤1,所以不等式的解集为

27.提示:(1)函数f(x)=2x-2-x的定义域为R,且定义域关于原点对称。因为f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),所以f(x)=2x-2-x为奇函数。

(2)设u=f(x),因为函数y1=2x为增函数,函数y2=2-x为减函数,所以函数u=2x-2-x=f(x)为增函数。

(2)由(1)知f(x)=log2(4x-2x)。令f(x)=0得4x-2x=1,即(2x)2-2x-1=0,

29.提示:(1)由题意得奖金总额y=

(2)当x∈(0,15]时,0.1x≤1.5,由y=5.5>1.5,可得x>15,所以1.5+2log5(x-14)=5.5,解得x=39,即老张的销售利润是39万元。

30.提示:(1)因为f(x)=log4(4x-1),所以4x-1>0,所以x>0,所以f(x)的定义域为(0,+∞)。

(2)函数t=4x-1在(0,+∞)上为增函数,y=log4t在(0,+∞)上也为增函数,根据复合函数的单调性,可知f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数。

31.提示:(1)因为函数f(x)的定义域为R,所以x2-2ax+1>0对任意的x∈R 都成立,所以Δ=4a2-4<0,解得-1

(2)若函数f(x)的值域为R,则函数y=x2-2ax+1的值域包含(0,+∞),所以Δ=4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1。

32.提示:(1)当a=2时,f(x)=(log2x)2-log2x-2,所以f(2)=1-1-2=-2。

(2)由f(x)>0 得(logax)2-logax-2=(logax-2)(logax+1)>0,所以logax<-1或logax>2。

当a>1时,解不等式可得或x>a2;当0

综上所述,当a>1时,f(x)>0的解集为当00的解集为

(3)由f(x)≥4 得(logax)2-logax-6=(logax-3)(logax+2)≥0,所以logax≤-2或logax≥3。

①当a>1 时,(logax)max=loga4,(logax)min=loga2,所以loga4≤-2=logaa-2或loga2≥3=logaa3,解得

②当0

因为g(4),g(5),g(6)更接近真实值,所以应将y=2x+50作为模拟函数。

(2)令2x+50>2000,解得x>log21950≈10.9,所以至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000。