数学建模在企业发展战略规划与管理中的应用＊

常高，韩如成

（1.山西科技学院 通识教育学院 数学教研室，山西 晋城 048011；2.太原科技大学 电子信息工程学院，山西 太原 030024）

0 引言

随着经济全球化的深入发展，以及市场竞争的日益激烈，企业制定科学、合理的发展战略规划对保持市场竞争优势尤为关键。其中，为做出战略性的决策选择，全面评估企业所处的市场环境和自身发展条件尤为重要。数学建模是人类应用定量思维的方式，探讨自然现象、社会规律、经济发展及日常生活中实际问题的有效方法［1］。企业战略规划主要包括战略分析、战略选择和战略实施三大环节［2］，而数学建模在各个环节中都有着广泛且重要的应用。具体而言，市场预测模型能够深入分析市场需求变化趋势，为企业发展战略分析提供有力支持；定位模型和决策模型能够全面评估不同的战略方案，辅助企业做出战略选择；资源优化模型和风险评估模型则可以保障战略计划的顺利执行与风险控制。在数学模型建立方面，市场预测模型可以采用回归分析等统计模型进行预测分析；定位模型可运用群体识别、聚类分析等分析手段找到目标客户群，精准进行企业定位；决策模型通过建立决策树、付费矩阵等模型评估战略方案从而获得最佳方案；资源优化模型采用线性规划、网络规划等方法优化资源配置，降低成本；风险评估模型可应用蒙特卡洛算法、敏感性分析等技术评估战略实施的风险，以更好地控制风险。本文拟通过详细案例，阐明数学建模在支持企业战略中的应用过程与效果，分析存在的问题并提出改进建议，为企业战略规划提供参考［3］。

1 数学模型在企业发展中的应用

数学建模与战略规划相结合，可充分发挥定量分析的优势，使企业在复杂多变的市场中做出更加科学、系统的战略决策。

1.1 市场预测模型的应用

如某服装企业计划开发新品牌，目标客户群体确定为年轻人，需要预测未来3 年内18～30 岁年龄段客户的购买力变化趋势，此时便需要构建相应的预测模型。建模思路如下：首先，收集过去3年该年龄段客户的平均可支配收入数据；其次，建立一元线性回归模型，以年份为自变量，收入为因变量，拟合趋势线，并进行模型检验；最后，根据模型结果预测未来3年该客户群体的购买力，为新品牌定位和产品设计提供依据。在这个预测模型中，本文采用的线性回归模型可以根据现实情况进行改进。建立市场预测模型的步骤如下：①收集历史3年目标客户群体的平均可支配收入数据，整理为一个数据集。②设置自变量x年份，因变量y可支配收入。拟合一元线性回归方程y=a+bx+e。③采用最小二乘法估计回归方程的参数a和b。④进行模型检验，包括用t检验判断回归系数显著性、F检验判断整体回归关系显著性、R2判断自变量解释变异程度等。⑤若通过检验，则带入回归方程，以未来3 年的x值预测目标客户收入y点估计区间。⑥预测结果反映未来收入增长趋势，可为新品牌定位提供依据。

1.2 定位模型的应用

某汽车企业计划推出新车型，因此需要确定目标客户群体，其具体建模思路为收集样本客户数据，包括社会人口统计特征和购车偏好等；使用非层次聚类分析方法，基于购车主要考虑因素将样本客户分割为不同类别，识别出潜在目标群体，如对性价比敏感的实用主义者等。具体步骤如下：①设计购车行为调查问卷，内容包括人口统计变量（如年龄、职业、收入等）和购车偏好（如重视舒适性或性价比、喜好运动型、家用型等）。②抽取样本客户进行问卷调查，收集数据。③对数据进行预处理，如检查样本代表性、处理缺失值等。④选取购车偏好相关变量，使用层次聚类分析方法。通过进行层次聚类得到类属矩阵。⑤根据聚类间的距离和方差大小，确定和选择3类聚类方式。⑥进行非层次K-means 聚类分析，迭代获得最终聚类中心。⑦根据聚类变量的均值，解释不同类别的特征。⑧进行聚类验证，采用ANOVA 分析聚类的区分度。⑨重复进行聚类，进一步得到更细分的子类别，辅助企业定位。运用聚类分析方法可以有效识别企业潜在目标客户群体。

1.3 决策模型的应用

某食品企业计划进行区域扩张，需要决定进入A或B 其中一个新市场，在此问题情境中，本文建模思路如下。建立决策树模型，根据市场调研结果，评估进入不同市场的成本收益，分别计算期望收益，再根据收益概率分布，采用敏感性分析方法，评估方案的稳健性。决策树结果显示，进入A 市场期望收益更高，风险更小。

通过构建相应的数学公式和模型，分析A 市场或B 市场的调研所蕴含的统计学规律和相应的决策树模型，具体思路如下：①评估进入每个市场的投入成本、成功获得市场份额的概率及预期收益。②假设进入A 市场的投入成本为a，获得成功的概率为pa，预期收益为Ra；进入B 市场的投入成本为b，获得成功的概率为pb，预期收益为Rb。③建立决策树模型，包含2 个决策分支（进入A 或进入B）。根据上述参数，2 个方案的期望收益值计算公式为E(Ra)=pa×Ra-(1-pa)×a，E(Rb)=pb×Rb-(1-pb)×b。④比较2 个方案的期望收益大小，选择较大者。⑤进行敏感性分析，改变参数值，观察期望收益变化情况。评估在不同情况下，方案选择的稳健性。⑥重复分析，找到参数取值的临界点，即2 个方案期望收益相等的点。⑦综合结论作出进入A市场或B市场的决策。决策树模型能比较全面地考虑风险因素。

1.4 资源优化模型的应用

某工厂需要优化3个工序的设备投入，以达到最小生产成本。本文建立线性规划模型，以设备投入为决策变量，生产成本函数为目标函数。引入设备容量约束等限制条件，采用单纯形法求解，获得最优生产方案。具体的建模思路如下：①收集工厂各工序的设备使用量和产出数据，建立生产成本函数。②确定决策变量为各工序的设备投入量，目标函数为最小化生产总成本。③根据设备数量限制等，设定线性约束条件。④建立线性规划模型，采用图解法确定最优解的可行域。⑤使用单纯形法进行迭代计算，获得投入的最优设备方案。⑥对最优解进行敏感性分析，评估参数变化对方案的影响。⑦重复优化计算，动态调整投入方案，实现成本最小化。

1.5 风险评估模型的应用

某企业战略实施的成功取决于宏观经济、政策等不确定因素。风险评估模型的建模思想为建立蒙特卡洛模拟风险评估模型，根据各因素的历史数据，确定概率分布，通过重复随机采样，模拟项目多种可能发生的结果，评估战略实施风险，并提出应对方案。相应的建模步骤如下：①识别影响项目的主要风险因素，如市场需求、政策环境等。②收集每种风险因素的历史数据，确定其概率分布函数。③建立蒙特卡罗模拟模型，随机抽样生成各风险因素的数据。④根据不同的参数组合，模拟项目多种可能结果。⑤重复多次模拟，评估项目整体风险水平。⑥识别出高风险情景，提出应对策略。⑦风险评估模型可以预判项目风险，支持决策制定。

通过以上数学模型的构建和企业发展战略规划中的各个环节，本文可以总结出一些能够反映模型思想和商业价值可改进的数学模型。接下来讨论一个可以综合反映企业发展战略规划的商业实例，以便更加全面、深刻地了解数学建模在其中的应用和价值。

2 复合数学模型在企业发展中的综合应用

2.1 复合数学模型的建立

某中国的汽车制造企业主要生产SUV 和轿车，在国内市场的占有率较高。现在该企业计划在东南亚和南亚等新兴市场推出一款全新的中型SUV 车型，其战略规划目标为这款新车定位于价格接受程度较高而配置丰富的紧凑型SUV，目标客户群是有较强性价比意识的年轻家庭。在新兴市场的销量目标为第一年达到5 万辆，第三年达到15 万辆，而其中的战略规划流程如下：①企业收集了近5年新兴市场中型SUV 的历史销量数据，然后建立回归预测模型，预计未来3年的市场需求趋势，验证该车型的市场潜力。②企业进行大规模市场调查，采集了5 000 名潜在客户的人口和购车偏好数据，运用聚类分析明确了最大的目标客户群。③企业考虑在印度和印尼2个国家先行推出产品，但资源有限，需要进行选择。根据成本收益分析，采用决策树模型，确定印度市场更具潜力。④通过建立线性规划模型，优化了车间设备投入配置方案，以达到生产效率最大化。同时，企业使用蒙特卡洛模拟评估实施风险并制定了应急预案。

通过科学规划，该战略规划的结果如下：这款新车备受目标客户群喜爱，在印度市场获得了较高占有率，第一年销量达到预期目标，验证了数学建模的效果。

将数学建模与企业战略规划相结合，运用回归预测模型、聚类分析模型、决策树模型、线性规划模型。其中，各类模型的建模细节如下。

（1）回归预测模型的建模细节。①建模过程。收集历史销量数据，选取年份作为自变量、销量为因变量，假设二者线性相关；建立一元线性回归方程，估计参数。②建模方法。采用Ordinary Least Square（OLS）最小二乘法估计回归方程的参数。③求解过程。构建回归方程，带入各年份，预测未来3年的销量，得到定量Market需求预测。

（2）聚类分析模型的建模细节。①建模过程。选取客户特征变量，使用K-means 聚类算法进行分类。②建模方法。欧几里得距离判定样本间相似度，迭代获得类别中心。③求解过程。获得客户分类，识别重视性价比的目标群体。

（3）决策树模型的建模细节。①建模过程。根据不同市场的成本收益分析，建立决策树结构。②建模方法。预估每种决策的期望收益，比较选择最优方案。③求解过程。确定进入印度市场的决策。

（4）线性规划模型的建立细节。①建模过程。建立目标函数和设备、成本约束，构建线性规划模型。②建模方法。采用图解法和单纯形法求最优解。③求解过程。获得设备优化配置方案。

以上内容通过阐释AHP 决策模型、回归分析模型、数据包络分析模型和风险模拟评估模型在企业战略规划中的具体应用［4］。通过多个典型案例，充分展示数学建模在支持企业战略决策中的重要作用。其中，马尔科夫预测模型能够基于历史数据推算各状态的过渡概率，科学预判市场需求变化趋势。AHP模型则提供了一种多指标决策框架，帮助企业进行战略方案优化选择。回归分析模型利用历史数据拟合趋势，实现对市场趋势的量化预测。数据包络分析通过比较同行业的相对效率，定位企业的最优发展方向。风险模拟评估则可以模拟战略实施过程的各种情况，对企业可能造成的影响进行评估，提供风险防范对策。

2.2 模型的评价与改进

上述模型各有研究重点，但都体现了运用定量方法剖析复杂问题的思想，它们在支持企业战略规划的不同阶段发挥着独特作用，最终构成一个辅助企业科学决策的建模系统。通过对以上数学模型的评价分析可以发现其中的优势：①提供量化分析工具，提高企业决策的科学性。②能模拟复杂的业务过程，全面评估各种方案的优点和缺点。③优化资源配置，协调发展战略与经营实务。④定量预测市场趋势，减少环境不确定性带来的风险。⑤比较行业内企业经营效率，定位最佳实践。⑥评估战略实施风险，提出应对措施。⑦提供动态调整方案的决策框架。

通过定量模型的应用，企业可以实现对内部资源和外部环境的深入分析，制定发展策略，在复杂多变的市场中获得竞争优势［5］，但建模本身也存在局限性，企业仍需要结合定性判断进行综合决策。除此之外，虽然数学建模为企业战略规划提供了重要支持，但是其应用中也存在一些问题，需要改进与完善。①模型假设虽然简化了复杂的业务过程，但是可能导致重要因素被忽略，应加强模型修正，保证其对实际情况的拟合度。②部分参数确定依赖于主观判断，影响结果客观性。应增加实证分析，减少人为因素导致的偏差。③建模需要数据支撑，部分企业数据收集不足，因此应完善信息系统，改进数据采集与处理方式。④模型算法复杂，部分决策者难以理解结果。应加强模型解释，提高管理层信任度。⑤建模需配合软件工具，部分企业技术储备不足，因此应加大IT 基础设施投入力度，提升公司建模与应用的能力。

3 结语

综上所述，将数学建模与战略规划进行有效结合，是企业实现战略目标的重要途径之一。数学建模为企业提供制定科学发展战略的重要手段，能够深入分析环境与资源，支持战略决策优化。但是，建模结果要想被视为重要的参考依据之一，还需要结合企业实际情况进行综合判断。未来，企业应加强模型的修正与完善，并提高自身的建模与应用能力。只有将数学建模与企业战略规划实践有效结合，才能发挥其应有的优势，帮助企业在复杂的竞争环境中立于不败之地。