指数函数与对数函数和与差的单调性探究——从2023 年高考全国乙卷理科第16 题谈起

深圳市龙华区教育科学研究院附属外国语学校(518109) 钟文体

一、试题呈现,分析及初步推广

题目1 (2023 年高考全国乙卷理科第16 题)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是____.

试题精巧凝练,朴实干净,给人以清爽的感觉,体现了数学的简洁美,是一道不可多得的好题. 此题既可运用通性通法进行严谨的解答,体现扎实的“本手”;也可以借助导函数的单调性给出精简的解答,体现灵巧的“妙手”.

解法1(本手) 对f(x) 求导得f′(x) =axlna+(1+a)xln(1+a),因此

由f(x)在(0,+∞)上单调递增可知因即-lna≤ln(1+a),也即ln[a(1+a)] ≥ 0, 从而a(1+a) ≥ 1, 解得a∈

解法2(妙手)因f′′(x) =ax(lna)2+(1+a)x[ln(1+a)]2> 0, 故f′(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 因此, 为使f(x)在(0,+∞)上单调递增,只需f′(0)≥0 即可. 因f′(0)=lna+ln(1+a)=ln[a(1+a)],故只需a(1+a)≥1,解得

解法1 看似将问题“做繁了”,但获得了关于函数f(x)的更多信息,即确定了它的单调区间:

著名数学教育家波利亚指出:“没有任何一个题目是可以解决得十全十美的,总剩下些工作要做.”特别是对于一道好题,我们总希望能挖掘出更多的价值. 对于题1,将常数1一般化可得如下变式:

变式1设a∈(0,1), 常数λ> 0, 若函数f(x) =ax+(λ+a)x在(0,+∞)上单调递增, 则a的取值范围是____.

解f(x)的导函数f′(x)=axlna+(λ+a)xln(λ+a)单调递增, 故f(x) 在(0,+∞) 上单调递增⇔f′(0) ≥0⇔_lna+ ln(λ+a) ≥0⇔a(λ+a) ≥1, 解得a∈

评注为保证严谨性,还需证明事实上,移项并两边平方即可证明此不等式. 另外,类似前面还可进一步求出f(x)的单调区间,不再赘述.

二、指数函数和与差的单调性

题目1 及其变式涉及两个指数函数和的单调性,这启发我们进一步探究任意两个指数函数和的单调性问题.

探究2.1设a,b> 0 且不等于1, 探究函数f(x) =ax+bx的单调性.

当a,b∈ (0,1) 时, 易知f(x) 单调递减; 同样, 当a,b∈(1,+∞) 时, 易知f(x) 单调递增. 那么, 对于其他情形,结论如何呢? 当a∈(0,1),b∈(1,+∞)时,对f(x)求导,得f′(x)=axlna+bxlnb,故.

故f(x)在(-∞,γ)上单调递减,在(γ,+∞)上单调递增,其中当a∈(1,+∞),b∈(0,1)时,采用类似的分析可知上述结论也成立. 当f(x)在(0,+∞)上单调递增时,可得如下有趣的结论.

变式2设a,b>0 且不等于1,函数f(x)=ax+bx在(0,+∞)上单调递增当且仅当ab≥1.

证明易知f(x)的导函数单调递增,故f(x)在(0,+∞)上单调递增⇔f′(0)≥0⇔lna+lnb≥0⇔ab≥1.

对于指数函数和的单调性,还可以从两个方面进行一般化: 其一,改变系数;其二,增加项数. 首先,对系数一般化.

探究2.2设a,b> 0 且不等于1,λ,µ> 0, 探究函数f(x)=λax+µbx的单调性.

只考虑a,b不同时在区间(0,1)和(1,+∞)的情形,类似探究2.1 可知f(x) 在(-∞,γ) 上单调递减, 在(γ,+∞)上单调递增,其中

类似变式2,有:

变式3设a,b> 0 且不等于1,λ,µ> 0, 函数f(x) =λax+µbx在(0,+∞) 上单调递增当且仅当aλbµ≥1.

下面,从系数和项数两方面进行一般化.

探究2.3设ai∈ (0,1),λi> 0,i= 1,2,··· ,m,bk∈(1,+∞),µk> 0,k= 1,2,··· ,n, 探究函数f(x) =的单调性.

变式4设ai> 0 且不等于1,λi> 0,i= 1,2,··· ,m,函数在(0,+∞) 上单调递增当且仅当

以上探究的是若干个带正系数的指数函数和的单调性问题,那么,当系数为负数时,结论如何呢? 下面先考虑两项的情形.

探究2.4设a,b>1 且a≠b,λ,µ>0,探究函数f(x)=λax-µbx的单调性.

对f(x)求导,得f′(x)=λaxlna-µbxlnb,故

f′(x)≥0⇔λaxlna≥µbxlnb⇔

评注当a,b∈(0,1)时,令x= -t即可转化为上述情形.

当负系数的项数多于2 时,可否求出单调区间呢? 笔者曾做过尝试,发现此时较难解决,因此,不再深入探讨.

三、对数函数和与差的单调性

我们知道, 同底数的指数函数和对数函数互为反函数.因此,解决指数函数和与差的单调性后,很自然地考虑对数函数和与差的单调性.

探究3.1设ai>0 且不等于1,i=1,2,··· ,m,探究函数的单调性.

对f(x)求导,得于是, 当时,f(x) 在(0,+∞) 上单调递减; 当时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.

评注也可以用换底公式进行证明. 根据换底公式,可见,对数函数和与差的单调性较容易解决.

四、指数函数与对数函数混合型和与差的单调性

上面探究的仅仅是指数函数或对数函数和差的单调性问题. 以下,进一步探究指数函数与对数函数混合型和差的单调性问题.

探究4.1设a∈(0,1),b∈(1,+∞),探究函数f(x) =ax+logbx的单调性.

对f(x)求导,得故

令g(x)=xax,则g′(x)=ax(1+xlna),故

g′(x)≥0⇔1+xlna≥0⇔,于是分以下两种情形讨论.

对于探究4.1, 有一个颇为有趣的现象, 即参数a(0

图1

图2

探究4.2设a∈ (1,+∞),b∈ (0,1), 探究函数f(x)=ax+logbx的单调性.

探究4.3设a∈(0,1),b∈(1,+∞),λ,µ>0,探究函数f(x)=λax+µlogbx的单调性. 因

故此时可转化为探究4.1.

探究4.4设a,b∈(0,1),λ,µ> 0, 探究函数f(x) =λax-µlogbx的单调性. 因

故此时也可转化为探究4.1.

事实上, 对于两项的情形, 都可化归为探究4.1 或探究4.2. 当项数多于2 时,则较为复杂,留作悬念供感兴趣的读者探究.