Weitzenböck 不等式的新加强

浙江省开化县第二中学(324300) 曹嘉兴

1919 年,著名数学家Weitzenböck 提出了一个仅含三角形边长和面积的不等式[1]:

在∆ABC中, 角A,B,C所对的边长分别为a,b,c, ∆是它的面积,则有

不等式①也曾作为1961 年第3 届国际数学奥林匹克(ⅠMO)试题.

Weitzenböck 不等式是一个很经典的几何不等式, 百余年来,关于它的各种证法、加强和推广的研究一直是初等数学研究和数学竞赛研究的热点,本文再给出几个新的仅含三角形边长和面积的优美不等式,并指出这些新的几何不等式均是Weitzenböck 不等式的加强.

定理1在∆ABC中, 角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,∆是它的面积,则有

证明由海伦公式得

评注显然有所以a2+b2+c2≥因此不等式②强于不等式①. 同理可得:

当然,若利用文[1]的定理12 上述这几个不等式还可以进一步加强为等.

文[1]提到T.R.Curry 在1966 年给出Weitzenböck 不等式的一个加强式[2]:

类比于不等式⑤,我们得到了:

定理2在∆ABC中, 角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,∆是它的面积,则有

证明记则由海伦公式得s(s-a)(sb)(s-c)=∆2. 因为

所以

把以上三式相乘得abc≥8(s-a)(s-b)(s-c),所以

评注由熟知的不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx可得:再令x=ab,y=bc,z=ac代入上式得:故

由此可见不等式⑥强于不等式①.

已知∆ABC的三边长分别为a,b,c, ∆是它的面积,则∆ABC的旁心三角形(以∆ABC的三个旁切圆的圆心为顶点的三角形称为∆ABC的旁心三角形) 的面积为[3]:

设R和r分别表示∆ABC的外接圆半径和内切圆半径, 把abc= 4Rsr,a+b+c= 2s, ∆=sr一起代入不等式⑥得⇔R≥2r(欧拉不等式),也就是说不等式⑥既是Weitzenböck 不等式的加强,又等价于著名的欧拉不等式R≥2r,它建立了这两个著名不等式的内在联系,确实是一个非常漂亮的基本不等式.

定理3在∆ABC中, 角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,∆是它的面积,则有

证明由文[4]知以为边可作一个新的三角形, 记为∆A′B′C′, 其面积记为∆′, 则由本文定理2 得√-两边平方并化简得又因为(见文[4]: 命题5.21), 所以

评注利用基本不等式可得

所以

由此可见不等式⑦强于不等式①.

定理4在∆ABC中, 角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,∆是它的面积,则有

证明不难证明

这只要把该不等式的两边展开, 化简可得a2(b+c) +b2(c+a) +c2(a+b) ≥ 6abc, 再由a2b+bc2≥ 2abc,b2c+ca2≥2abc,c2a+ab2≥2abc, 这三式相加即知a2(b+c) +b2(c+a) +c2(a+b) ≥6abc成立. 由本文定理2 可得abc(a+b+c)≥16∆2,所以

评注由熟知的不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca得2(a2+b2+c2) ≥2(ab+bc+ca),即2(a2+b2+c2) ≥a(b+c)+b(c+a)+c(a+b),再由算术-几何平均不等式得

由此可见不等式⑧强于不等式①.

定理5 在∆ABC中, 角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,∆是它的面积,则有

证明不难知道3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,由本文定理2 得

评注可以证明

最后一个不等式由算术-几何平均不等式可知其成立,因此不等式⑨强于不等式①.

定理6在∆ABC中, 角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,∆是它的面积,则有

证明设∆ABC的外接圆半径为R, 由正弦定理得a+b+c= 2R(sinA+ sinB+ sinC), 由熟知的不等式得a+b+c≤由海伦公式可得

评注由熟知的不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),即