压电陶瓷非线性对大功率换能器结构参数匹配影响的计算分析

王晨青 马建敏

(复旦大学航空航天系 上海 200433)

0 引言

夹心式压电换能器具有功率容量大、高机电转换效率等优点，被广泛应用于大功率声发射。随着对大功率、高声压级换能器的需求不断增加，设计和开发更高激励电场的换能器成为学界热点。压电陶瓷是压电换能器的核心部件，大多具有铁电性，在高电场下会产生迟滞和非线性，此时经典线性压电理论不适用，换能器各零部件之间存在接触损耗也会加剧换能器非线性特性。压电陶瓷处于非线性工作域的大功率换能器的性能参数往往不同于小电压激励下的测量值，会出现谐振频率漂移、谐波滋生、跳跃等非线性现象，导致换能器性能参数难以确定，使换能器优化设计和电控制变得困难[1]。因而，关于大功率压电换能器的非线性研究受到学者持续关注。

不同学者从换能器材料、结构、工艺，以及温度、驱动电源、负载等多种因素研究了大功率工作状态下压电陶瓷换能器的非线性特性[1-4]。近几年来，Zhang 等[5]通过振速衰减率和共振频率确定换能器振动系统的非线性参数，采用拉格朗日方法和多尺度方法对非线性模型进行分析，并通过实验验证了非线性模型的准确性。Li等[6]研究了用于微创手术螺栓式夹心式换能器，分析了共振频率漂移对换能器负载和电阻抗匹配的影响，探究了不同形状的变幅杆对处于非线性工作域的换能器性能的影响。Ghasemi等[7]建立了用激励电压和共振频率表示换能器阻抗的非线性函数经验关系式，研究了不同频率下的换能器非线性特征随激励电压变化的趋势。Andres 等[8]将换能器与平板辐射器连接，通过设计结构和工作模式使该系统避免出现频移、滞后或模态交互等非线性效应。Li 等[9-10]设计开发了通过双压电换能器V 型连接组合的超声辐射器，通过调谐方法降低了压电材料在高电压下引起的非线性特性对辐射器电流谐波的影响。在夹心式压电换能器的非线性模型方面，Guyomar等[11-12]基于Joshi[13]提出的非线性模型，将夹心式压电换能器视作单自由度的集中参数系统，在压电陶瓷二阶压电本构方程中加入非线性项，得到换能器的非线性振动方程，可用于分析和解释压电陶瓷的弱弹性非线性问题。

对于前盖板较大和辐射端加入匹配层多孔板的换能器，本文在Guyomar 非线性模型基础上，通过机电等效法将晶堆前向负载作为等效质量和阻尼加入振动方程的质量项和阻尼项，得到了换能器振速、辐射声压级和谐振频率偏移率等表达式，计算分析了压电陶瓷处于非线性工作域对换能器声辐射性能和换能器参数匹配的影响。首先，分析了压电陶瓷处于非线性工作域下的换能器结构参数对换能器声辐射性能的影响，研究了压电陶瓷非线性对换能器结构参数匹配的影响，比较了换能器辐射端匹配对换能器谐振频率偏移率及声辐射性能的影响，最后分析了换能器激励源参数对压电陶瓷处于非线性工作域换能器性能和结构参数匹配的影响。得到的结论可以为换能器的设计、性能评价提供理论依据和帮助。

1 夹心式换能器压电陶瓷非线性模型

锥形前盖板夹心式压电换能器示意图如图1 所示，由压电陶瓷片组成的晶堆受激励发射声波，声波自压电陶瓷晶堆向前盖板、匹配层、多孔板和空气传播。理论上纵振换能器存在位移为零的面(节面)可用于固定换能器。晶堆右侧与前盖板的连接面为晶堆前端面，晶堆左侧与后盖板连接为晶堆后端面，压电晶堆节面到后端面和前端面距离分别为lp1和lp2。在保持换能器节面不变的情况下，若波长大于压电叠片长度，换能器压电晶堆可看作是一个以换能器节面为中心的质量-弹簧的集中参数系统。压电晶堆可视作一端固定的有质量的短棒[14]，前盖板、匹配层、多孔板和空气介质为压电晶堆前向负载，后盖板为后向负载。

图1 锥形前盖板的夹心式压电换能器示意图Fig.1 Sandwich piezoelectric transducer with tapered front cover

将压电陶瓷本构方程在静应力状态(T0,D0)扩展到二阶[11-13]，含非线性压电系数α、β、γ、δ，经过简化，应力T和感应系数D可表示为式(1)和式(2)的压电方程。为方便计算分析，在换能器激励动静态不耦合的假设下，不考虑T0和D0项，忽略空气介质换能器在谐振频率下工作时的电场非线性，可得到压电晶堆非线性方程：

其中，S为应变，E为电场，c、e、ε为经典线性压电系数，α、β、γ、δ为非线性系数。

压电晶堆受激励振动可表示为

其中，∑F为晶堆等效质心受力，ξ1为晶堆前端面位移，晶堆等效质量M大小为晶堆质量的1/3。

晶堆前向负载(前盖板、匹配层、多孔板和空气介质)对晶堆前端面作用力可通过图机电等效电路得到。换能器晶堆前向负载等效电路图如图2 表示，˙ξi代表辐射端各部振速，各个阻抗表达式详见文献[15]。将虚线方框内电路代替为圆形活塞辐射阻抗Zfl可以得到无匹配层多孔板的机电等效电路。晶堆前向负载对换能器晶堆前端面的作用力ΔF表达式如下：

图2 换能器晶堆前向负载等效电路Fig.2 Equivalent circuit of the forward load of the transducer stack

式(4)中，ZRa为换能器晶堆前向负载阻抗表示为

其中，Rm为连接层机械损失阻抗，Zf1、Zf2和Zf3为前盖板机械特性阻抗，Zml1和Zml2为匹配层机械特性阻抗，Zcm、Zlm和Zhm为空腔的等效机械阻抗、孔内损失机械阻抗和小孔辐射阻抗。晶堆等效质心总受力为

式(7)中，S0为陶瓷片表面面积。将式(1)的应力T代入，应变S由压电堆前端面位移ξ1与节面与晶堆前端面距离lp2之比代入，得到换能器晶堆前端面的非线性振动方程：

式(8)中，含ZRa项为新加入的前向负载阻抗，相当于系统中加入等效质量和等效阻尼；ω为换能器谐振频率，含λ式为阻尼项(代表换能器前盖板和压电晶堆间的损耗)。式(8)中部分项如下：

对于稳态激励，受激位移和振速仍是周期性的，因此晶堆前端面位移可用傅里叶级数表示为

其中，Ω为扫频激励的频率。电场激励为

其中，E0为电场幅值。将表达式代入式(3)，得到方程：

通过式(14)可求解在频率为Ω的电场激励下Cn幅值和相位，即该频率下换能器晶堆前端面振幅。高次谐波分量(n ＞3)对求解结果影响较小，因此为简化计算只考虑前三阶分量(n≤3)。其中，|C1|为基频幅值，|C2|和|C3|为二次和三次谐波分量的幅值，基频晶堆前端面振速为

换能器辐射面振速为

去掉虚线方框可得未加多孔板和匹配层的换能器辐射面振速：

根据式(2)的压电方程，可得压电晶堆电位移表达式：

压电晶堆电位移方向垂直于晶堆截面。电位移可以用傅里叶级数表示为

则晶堆输入端电流基频分量为

电场强度幅值为

其中，V0为压电晶堆晶片电压。

其中，Zhm和Zfl表达式推导详见文献[15]中式(10)和式(11)；Zis是多孔板小孔之间的互/自辐射阻抗，i和s为孔的序列；J1(x)为一阶Bessel 函数，H1(x)为一阶Struve函数。换能器辐射声功率级为

其中，空气参考声功率W0=10-12Watt，W可由式(24)代入计算加/未加多孔板换能器的声功率级。换能器指向性指数为

空气中换能器轴线上距离换能器x处辐射声压级(Sound pressure level,SPL)可由式(29)计算：

通过电压V0和式(22)晶堆输入端电流I可得换能器输入阻抗Zin=V0/I。令电抗为零，可得换能器偏移谐振频率方程：

若将式(8)中的非线性项去掉，再通过相同方法得到换能器输入阻抗，令电抗为零，可求解线性换能器谐振频率。设线性状态的换能器谐振频率为f1，非线性工作域下的换能器最大偏移谐振频率为f2，则换能器谐振频率偏移率可以表示为

2 压电陶瓷非线性对换能器声辐射性能和参数匹配的影响

通过换能器辐射面SPL 表达式(29)，可以计算分析公式(8)中的非线性系数α和γ对换能器声辐射性能的影响。换能器基本参数如表1 所示，部分非线性参数取自文献[11]，换能器前盖板材料为铝合金，压电晶堆的材料为锆钛酸铅压电陶瓷PZT-4。不考虑换能器附加辐射端的匹配层、空腔和多孔板，将图2 虚线方框的电路替换为圆形活塞辐射阻抗，并将式(16)振速代入式(24) 可以计算换能器声功率、式(27)声功率级和式(29)辐射SPL。计算中，激励电压V0为220 V，电场强度通过式(23)得到。另外，空气中非线性对本文距离换能器1 m 处SPL 计算结果的影响可忽略。

表1 夹心式压电换能器参数Table 1 Sandwich piezoelectric transducer parameters

压电陶瓷处于非线性工作域的换能器频响曲线如图3所示，参数取自表1。换能器驱动电压越大，换能器谐振频率偏移越明显[11]，最终出现图3 中明显的频率偏移。使压电材料以及换能器出现明显非线性的最小驱动电压受到频率偏移系数(压电晶堆质量、纵横向尺寸比、材料特性等)和负载特性多种因素的影响。在换能器激励电压不变的情况下，换能器频响曲线峰值由谐振峰变为向低频偏移谐振峰。图3(a)换能器SPL曲线在点A到C端是不稳定的，当激励源向上扫频时，换能器的工作点自低频移动至点A，随后从点A跃迁到点B；当激励源向下扫频时，换能器的工作点自高频至点C，随后跃迁至点D。图3(b)为输入电抗频响曲线，电抗为零的点C处频率即换能器最大偏移谐振频率。

图3 压电陶瓷处于非线性工作域的换能器频响曲线Fig.3 Transducer frequency curve of piezoelectric ceramics in nonlinear operating domain

2.1 压电陶瓷处于非线性工作域的换能器结构参数对换能器声辐射性能的影响

研究压电晶堆节面位置对换能器声辐射性能的影响。压电晶堆节面到晶堆前盖板距离lp2的改变意味着换能器节面位置的变化。换能器其他参数取自表1，计算结果如图4 所示，横坐标是lp2，纵坐标是换能器声压级和谐振频率偏移率。计算结果表明，随着lp2增大，换能器声压级和谐振频率偏移率有所增加。若节面位置逐渐远离换能器前辐射面，换能器声压级频响曲线频率波峰偏移逐渐增大。这是由于随着晶堆厚度增大，由压电晶堆弹性非线性引起的频率迟滞会随晶堆厚度增大而累积。因此，在非线性参数确定的情况下，换能器节面越靠前，换能器声辐射的频率偏移越小。

图4 压电晶堆节面位置对换能器声辐射性能的影响Fig.4 Influence of piezoelectric crystal stack nodes on acoustic radiation performance of transducer

研究前盖板厚度对换能器声辐射性能的影响。换能器其他参数取自表1，计算结果如图5 所示。计算结果表明，随着前盖板厚度的增加，换能器SPL有所降低，换能器谐振频率偏移率有所增加，这是由于增加前盖板厚度相当于增大了晶堆前向负载，进而增加了换能器非线性损耗。对比图和图可以发现，与晶堆节面位置相比，前盖板厚度对换能器频率偏移的影响较小，晶堆前向负载的等效质量是影响非线性现象的次要因素。

图5 前盖板厚度对换能器声辐射性能的影响Fig.5 Influence of the thickness of the front cover on the acoustic radiation performance of the transducer

分析前盖板大径对换能器声辐射性能的影响。换能器其他参数取自表1，计算结果如图6 所示。计算结果表明，随着前盖板大径的增加，换能器SPL有所增加，换能器谐振频率偏移率有所增加。由于增加前盖板大径相当于增大了晶堆前向负载，进而增加了换能器非线性损耗，换能器谐振频率偏移率因而增大。结合图5 和图6 可以发现，前盖板径向、纵向尺寸越大，换能器谐振频率偏移率越大。

图6 前盖板大径对换能器声辐射性能的影响Fig.6 Influence of the large diameter of the front cover on the acoustic radiation performance of the transducer

讨论换能器径向尺寸对换能器声辐射性能的影响，令径向尺寸d1=d2。换能器其他参数取自表1，计算结果如图7 所示。计算结果表明，随着径向尺寸的减小，换能器谐振频率偏移率增大，在小于40 mm 后急剧增大。这是由于晶片存在内径dp，降低径向尺寸会减小压电晶堆有效面积和等效质量，这就相当于提高了振动系统中换能器晶堆前向负载，从而增加了换能器的谐振频率偏移率。换而言之，降低换能器晶堆前向负载，可以减小换能器谐振频率偏移率。对比图4～7 可知，与换能器径向尺寸相比，换能器的纵向尺寸对换能器谐振偏移率的影响更大。

图7 换能器径向尺寸对换能器声辐射性能的影响Fig.7 Influence of the radial dimension of the transducer on the acoustic radiation performance of the transducer

2.2 压电陶瓷非线性对换能器结构参数匹配的影响

研究压电陶瓷非线性对换能器结构参数匹配的影响。换能器其他参数取自表1，计算不同前盖板大径、压电晶堆节面到晶堆前盖板距离和前盖板厚度对换能器谐振频率的影响。结果如图8 所示，横坐标是各结构参数，纵坐标是频率，圆点连线为理想线性状态的换能器谐振频率结构参数曲线f1，方块连线为压电陶瓷处于非线性工作域下的换能器谐振频率参数曲线结构f2。同一频率下的两条曲线之间尺寸差就代表着该谐振频率换能器结构参数需要调整的尺寸大小。计算结果表明，若换能器设计频率确定，则压电陶瓷处于非线性工作域的压电换能器的结构参数小于线性换能器结构参数，应适当减小以补偿非线性引起的谐振频率偏移；线性换能器结构尺寸越大，压电陶瓷处于非线性工作域的换能器需要调整的结构尺寸越大；相较纵向结构参数，径向结构参数需要调整的尺寸较小。

图8 压电陶瓷非线性对换能器结构参数匹配的影响Fig.8 Influence of piezoelectric ceramic nonlinearity on the matching of transducer structure parameters

2.3 辐射端匹配对压电陶瓷处于非线性工作域换能器声辐射性能的影响

研究换能器辐射端匹配对换能器非线性特性及声辐射性能的影响。晶堆前负载阻抗的等效电路图按图2 表示，匹配层和多孔板参数取自表1。计算结果如表2 所示，相同的非线性系数下，换能器加入辐射端匹配可以降低换能器非线性迟滞，减小谐振频率偏移率。这是由于换能器辐射端加入多孔板和匹配层后提高了辐射端阻抗匹配，改善了压电晶堆前向负载特性，提高了前向负载等效质量，减少了压电陶瓷非线性对换能器性能的影响。

表2 换能器辐射端匹配对换能器谐振频率偏移率及声辐射性能的影响Table 2 Effects of transducer radiating end matching on transducer frequency off-set rate and acoustic radiation performance

2.4 激励源参数对压电陶瓷处于非线性工作域换能器性能及结构参数匹配的影响

首先，探究压电陶瓷非线性参数对换能器激励电流的影响。电压幅值不变，电流通过式(22)计算，换能器其他参数取自表1，计算结果如图9 所示，横坐标是激励频率，纵坐标是激励电流。计算结果表明，换能器激励源电流也会受到非线性迟滞的影响，非线性频率偏移系数α越大，换能器电流非线性频率偏移越明显。在激励电路设计中，应考虑非线性控制补偿以得到更精确稳定的输出信号。

图9 压电陶瓷非线性对换能器激励电流的变化的影响Fig.9 Influence of piezoelectric ceramic nonlinearity on the change of transducer excitation current

分析激励电场强度对换能器非线性和声辐射性能影响。电场强度E0通过式(23)得到，换能器其他参数取自表1，计算结果如图10所示，横坐标是激励频率，纵坐标是SPL，不同颜色曲线对应不同激励电场强度下的换能器SPL 曲线。计算结果表明，激励电场强度和电压越大，强电场下应变和电场的迟滞越大，SPL频响曲线频率漂移越大。

图10 不同电场强度下换能器SPL 频响曲线Fig.10 SPL frequency curve of transducer under different electric field strength

进一步计算电场强度对压电陶瓷处于非线性工作域的换能器结构参数匹配的影响。以前盖板厚度为例，结果如图11 所示，不同颜色的折线表示不同激励电场的计算结果。随着激励电场强度的增加，换能器结构参数的调整幅度非线性增加。因此，在大功率换能器应用中，为了提高换能器功率而增加激励电压时，应考虑压电陶瓷非线性对结构参数匹配的影响，适当减小结构参数。

图11 电场强度对压电陶瓷处于非线性工作域的换能器结构参数匹配的影响Fig.11 Influence of electric field strength on structural parameter matching of transducer working in nonlinear

3 结论

通过计算分析压电陶瓷处于非线性工作域对换能器声辐射性能和参数匹配的影响，得到了一些对换能器设计有意义的结论，主要结论如下：

(1) 非线性参数确定的情况下，换能器节面靠前，前盖板厚度越小，前盖板大径越小，换能器谐振频率偏移率越小。降低换能器晶堆前向负载，可以减小换能器谐振频率偏移率。(2) 对于相同设计频率的换能器，压电陶瓷处于非线性工作域的换能器的结构参数应作适当减小以补偿非线性引起频率偏移；线性换能器结构尺寸越大，非线性工作域换能器需要调整的结构尺寸越大；相较纵向结构参数，径向结构参数需要调整的尺寸较小。(3) 换能器加入辐射端匹配后，提高了压电晶堆前向负载阻抗匹配，可降低换能器谐振频率偏移率。(4) 压电陶瓷处于非线性工作域的换能器激励源电流也会受到非线性迟滞的影响，随着非线性α系数的增大，电流频率曲线的偏移增大。(5) 激励电场或电压越大，压电陶瓷非线性引起的频率漂移越明显。提高大功率换能器的激励电压时，应考虑压电陶瓷非线性引起的结构参数失配问题，适当减小结构参数。