基于值和左、右偏离度的模糊数排序

徐晨晨，叶国菊，刘 尉*，史芳芳，赵大方

（1.河海大学理学院,江苏 南京 210098；2.湖北师范大学数学与统计学院,湖北 黄石 435002）

模糊集理论在许多研究领域都发挥着重大的作用，如决策、模糊信息的处理等。模糊环境下的风险分析，又称模糊风险分析，越来越受到研究者的欢迎。文献[1]首先在生产系统中引入了模糊风险分析，其中涉及的参数是发生故障的概率和损失的严重程度。不同时期的研究人员提出了各种解决风险分析的方法[2-6]，一般情况下，将这些风险分析问题所涉及的参数表示为语言术语，通常用模糊数来表示。这就需要对这些模糊数进行排序，以便更适当地进行决策。文献研究[2-6]表明，随着时代的发展，各种排序方法层出不穷。不幸的是，没有公认的模糊数的排序方法。人们发现，现有的方法有时无法解释模糊数的排序顺序，因此，需要合乎逻辑的排序方法是极其重要的。许多研究者在模糊数的排序方面做出了巨大的贡献，提出了越来越多有效的方法。自1976 年以来，已有30 多个模糊数的排序指标被提出[3-19]。

这里，本文对已有的一些排名方法进行简单的回顾，不同的模糊数的排序方法是基于不同的概念和定义。Yager[7]采用了模糊数质心的概念。Wang 等[8]对质心公式进行了修正，提出了一种广义的模糊数排序方法。但是文献[8]中的方法无法区分具有面积补偿的模糊数，因此，Yu 等[9]改进了文献[8]中的方法。此外，该方法已被推广用于不同类型的模糊数进行排序。Chen 等[10]提出了一种考虑正边面积、负边面积和广义模糊数高度的方法。然而，当模糊数对称且核相同时，该方法无法区分这些模糊数。Chen 等[11]又提出了一种考虑模糊数的高度和支撑，对不同高度和不同支撑的广义模糊数排序的方法。然而，该方法无法区分具有面积补偿的模糊数。文献[12]提出了一种基于参考函数角度的模糊数排序方法。然而，具有精确值的模糊数不具有角度的概念；因此，该方法在这种情况下无法区分。Rezvani 等[13]提出了一种利用模糊数Mellin 变换得到的方差指数对梯形模糊数排序的方法。由于具有精确值的模糊数不存在方差，因此，该方法在这类模糊数中无法区分它们。Wang 等[8]首次提出了L-R 偏离度的思想，之后Asady[14]重新定义了L-R 偏离度，但是保留了Wang等[8]方法中的所有缺陷。因此，需要新的方法克服现有方法的这些局限性和缺点。最近，Cheng 等[16]使用了Yager[7]提出的黄金法则代表值的概念并对它进行了推广，提出了一种新的模糊数排序方法。Barazandeh 等[17]利用模糊数的左、右高度不同，提出了一种对广义模糊数进行排序的新方法。之后，Patra[18]借助广义梯形模糊数的均值、面积和周长，提出了一种广义梯形模糊数的排序方法。此外，在模糊数的排序指标中引入模糊数的值的计算公式能够产生良好的结果，如Chutia 等[19]利用模糊数的值和模糊度的计算公式，对区间2 型模糊数进行了排序。但是当模糊数的值计算结果相等时，该方法就无法对这些模糊数和它们所对应的像进行正确的排序。

鉴于以上情况，本文提出了一种基于模糊数的值以及左、右偏离度的排序方法，并引入了一个参数λ来衡量排序指标是否包含偏离度。接着，利用模糊数和它们的像之间的各种关系，讨论了所提出方法的自反性、反对称性和传递性等性质，从而验证了该方法的合理性。最后，通过数值例子与其他排序方法进行比较表明，该方法在所有情况下优于其他方法，克服了传统的排序方法无法对某些模糊数排序的局限性。

1 预备知识

定义1[2]设 R是实数集。若A:R →[0,1]满足以下条件：

1)A是正规的模糊集，即∃x0∈R 使得A(x0)=1；

2)A是凸模糊集，即对任意的x＞y＞z，有A(y)≥A(x)∧A(z)；

3)A是上半连续函数，即对 ∀x0∈R，∀ε ＞0，∃δ ＞0使得当 |x-x0|＜δ 时，有A(x)＜A(x0)+ε；

定义2[4]设A=(a,b,c,d;ω)∈E1是一个广义的模糊数，其隶属函数定义为

定义3[4]设A=(a,b,c,d;ω)∈E1是一个广义的梯形模糊数，其隶属函数定义为

其中，0 ≤ω ≤1。

如果 ω=1，则A=(a,b,c,d;1)是正规梯形模糊数。如果ω=1并且b=c，则是正规三角模糊数。

定义4[5]设A=(a,b,c,d;ω)∈E1，则称-A=(-d,-c,-b,-a;ω) 是A的像。

定义5[6]设A=(a,b,c,d;ω)∈E1，s:[0,1]→[0,1]是关于y的函数，则A的值定义为

定义6[5]设Ai=(ai,bi,ci,di;ωi)，i=1,2,···,n，ϵ1是非常小的正数，则Ai的传递系数定义为

定义7[4]设Ai=(ai,bi,ci,di;ωi)，i=1,2,···,n，则Ai关于amin和dmax的左、右偏离度定义为

2 主要结论

本节提出了一种利用值和左、右偏离度对模糊数排序的新方法，并给出了一些重要的引理和定理来验证该方法的合理性。

定义8设Ai=(ai,bi,ci,di;ωi)，i=1,2,···,n，则Ai的排序指标定义为

其中，

定义9设Ai,Aj∈E1，定义以下序关系

引理 1设A=(a,b,c,d;ω)∈E1，则VA=-V-A。

证明：由式子(3)可知

证明：由定义 6 可知

将x代替为-y得，

证明：设Ai≻Aj，则

由引理 1、引理 2 和引理3 可得

因此，可以分3 种情况讨论。

定理 2设A，B，C是任意3 个模糊数，有以下结论成立：

1）A≽A。(自反性)

2）A≽B，B≽C，则A≽C。(传递性)

3）如果A≽B，B≽A，当且仅当A～B。(反对称性)

证明：1）结论显然。

2）设A≽B，B≽C，其中A，B排序指标中的参数λ 记为λ1，B，C排序指标中的参数 λ 记为λ2，证明可以分为以下4 种情况进行讨论。

①当 λ1=λ2=0 时，DA≥DB且DB≥DC。因为λ1=λ2=0，所以VA≥VB，VB≥VC，VA≥VC。因此，DA≥DC，A≽C。

②当 λ1=λ2=±1时，DA≥DB且DB≥DC。因为λ1=λ2=±1，所以VA=VB，VB=VC，可以得到

则有

因此，DA≥DC，A≽C。

③当 λ1=±1，λ2=0时，DA≥DB且DB≥DC。因为λ1=±1，λ2=0，所以V(A)=V(B)，V(B)≠V(C)，可以得到V(B)≥V(C)，V(A)≥V(C)。因此，DA≥DC，A≽C。

④当 λ1=0，λ2=±1时，DA≥DB且DB≥DC。因为λ1=0，λ2=±1，所以V(A)≠V(B)，V(B)=V(C)，可以得到V(A)≥V(B)，V(A)≥V(C)。因此，DA≥DC，A≽C。

3）设A≽B，B≽A，则DA≥DB，DB≥DA。因此，DA=DB，A～B。

3 数值例子

例1：假设有一个正规模糊数A=(0.1,0.2,0.2,0.3;1.0)和一个非正规的模糊数B=(0.1,0.2,0.2,0.3;0.8)。很显然，从人类的直觉角度来说，由于这两个模糊数具有相同的支撑，并且B的高度为0.8，所以人们更认为A大于B。通过各种方法对这两个模糊数进行排序，如表1。从表中可以看出文献[7]、文献[14]和文献[15]的方法无法区分它们。文献[8]、文献[9]和文献[13] 可以得到A≻B，但是无法区分它们的像。而利用本文提出的方法，由于DA=0.200 0，DB=0.128 0以及根据定理1 可知，对这两个模糊数及其像进行排序的顺序分别为A≻B，-A≺-B，这是符合人类直觉的。此外，这与文献[10]、文献[11]和文献[12]的结果一致。

表1 例1 中的模糊数排序Tab.1 Ranking of fuzzy numbers in Example 1。

例2：假设有两个具有面积补偿的模糊数A=(0.1,0.4,0.4,0.5;1.0)和B=(0.2,0.3,0.3,0.6;1.0)，通过各种方法对两个模糊数进行排序，如表2。从表中可以看出文献[10]、文献[11]和文献[12]的方法无法区分它们。文献[8]和文献[13]可以得到A≺B，但是无法区分它们的像。而利用本文提出的方法，由于DA=0.366 7，DB=1.6667以及根据定理 1 可知，对这两个模糊数及其像进行排序的顺序分别为A≺B，-A≻-B，这与文献[7]和文献[9]的结果一致。

表2 例2 中的模糊数排序Tab.2 Ranking of fuzzy numbers in Example 2。

例3：假设模糊数A=(0.1,0.2,0.2,0.6;1.0)，B=(0.25,0.275,0.275,0.3;1.0)和C=(0.2,0.3,0.3,0.4;1.0)。通过各种方式对这3 个模糊数进行排序，如表3。文献[7]和文献[8]根据模糊数的质心进行推断，当A和C的质心相等时，导致A和C之间的决策难以区分，这是一种错误的排序。此外，文献[8]和[9]的方法表明图像的排序与这些模糊数不一致。文献[10]无法区分完全不同的模糊数A和B。虽然，[12]对这些模糊数进行了排序，但他们未能对其图像进行排序。文献[13]的排序准则只依赖于模糊数的方差。从模糊数来看，我们可以说A的方差大于C，C的方差大于B，因此得出B≺C≺A的结论是不正确的。因此，当模糊数具有相同的质心和不同的支撑时，这些方法无法做出正确的决策。然而利用本文提出的方法，由于DA=0.250 0，DB=0.275 0，DC=0.300 0以及定理1 可知，对这些模糊数及其图像的排序分别为A≺B≺C，-A≻-B≻-C，这种方法得到的结果是更符合逻辑的并且与文献[11]、[14]和[15]结果一致。

表3 例3 中的模糊数排序Tab.3 Ranking of fuzzy numbers in Example 3。

例4：假设有另一组简单的例子A=(1.0,1.0,1.0,1.0;1.0)，B=(1.0,1.0,1.0,1.0;0.8)和C=(1.0,1.0,1.0,1.0;0.5)。直观上，这些模糊数的排序应该是A≻B≻C，通过各种方法对这3 个模糊数进行排序，如表4。从表中可以看出，文献[7]、文献[8]和文献[13]的方法无法区分这些模糊数。文献[9]、文献[14]和文献[15]的方法认为这些模糊数及其图像是相同的，这是不合逻辑的。此外，即使这些模糊数不同，但决策者的偏好水平也认为这些模糊数是相同的。因此，表中的大多数方法不能区分具有相同支撑的不同高度的精确值模糊数。由于质心点的期望不受模糊数高度的影响，所以产生了这种限制。然而，本文提出的方法可以克服这些限制，对这些模糊数及其图像的排序分别为A≻B≻C和-C≻-B≻-A，这是符合人类直觉，是合乎逻辑的并且与文献[10]和文献[11]结果一致。

表4 例4 中的模糊数排序Tab.4 Ranking of fuzzy numbers in Example 4 。

4 结论

通过回顾可以看出，现有的排序方法大都不能对某些模糊数进行排序。因此，提出了一种基于模糊数的值以及左、右偏离度的新排序方法。在第4 节中描述的数值例子展示了所提出的方法如何在各种情况下优于其他方法。在例1 中，该方法可以清晰地对具有相同支撑和不同核的模糊数进行排序。从例2 中我们可以看出，现有的大多数方法无法对两个具有面积补偿的模糊数进行排序，而本文中提到的方法可以对这两个模糊数以及它们的图像作出正确的排序。在例3 中，当模糊数具有相同的质心和不同的支撑时，大多数方法无法对其做出正确的排序，但是利用本文的方法可以得到合乎逻辑的排序。此外，在例4 中该方法还可以对不同高度且具有精确值的模糊数进行排序，这些模糊数在大多数的研究中常常被忽略。从以上例子可以看出，在排序方法中引入模糊数的值和左、右偏离度是非常合理的，并且得到的结果也完全符合人类的直觉，克服了传统的排序方法无法对某些模糊数进行排序的局限性。