从考研角度浅析教学改革——以“高等代数”为例

何 婧 周潘岳

1.湖南工商大学理学院 湖南长沙 410205;2.湖南理工学院数学学院 湖南岳阳 414006

“高等代数”[1-4]是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业开设的一门重要专业必修基础课,是其他数学课程的主要先修课之一。它延伸到多门后续课,如数值分析、近世代数和数学建模等,是理论性、应用性很强的一门数学基础课。开设“高等代数”课程的目的一方面是对初等代数知识的加深与巩固,另一方面能培养学生的计算能力、逻辑分析能力、独立思维能力和解决实际问题能力,提高学生在数学思想、数学方法方面的修养。“高等代数”学习的主要内容包括多项式理论、线性代数的代数理论(行列式、线性方程组、矩阵、二次型、λ-矩阵)及线性代数的几何理论(线性空间、线性变换、欧氏空间)。更为重要的是这门课程还是数学各专业报考研究生的必考科目(分值150分),也是全国大学生数学竞赛(数学类)初赛和决赛必考内容(分值约占35%)。基于高等代数这门课的重要性,对教学的研究和探讨成为必要。我们从考研角度出发,结合课程自身的特点,通过对一道考研题的分析,提出改进教学的方式,微调课堂教学重点,从而提高课堂教学的质量。

一、一道考研题的剖析

下题选自湖南师范大学2011年和2021年高等代数硕士研究生入学考试试卷,分值15分。

例1:设n阶矩阵A的元素为0或1,且满足AAT=E+2J,其中E是n阶单位矩阵,J是元素全为1的n阶矩阵。

(1)证明:AJ=3J;

(2)证明:n=4和ATA=E+2J.

(1)

在上式中两边同时左乘矩阵J,整理后有:

(2)

由AJ=3J两边取转置可得ATJT=3JT。注意到JT=J,于是有JAT=3J。而J2=nJ,将JAT=3J和J2=nJ代入(2)式,整理后有:

(3)

在上式中两边同时计算矩阵的迹,有:

(4)

另一方面,由已知可计算:

由n=4代入(3)式可得JA=3J。再将JA=3J代入(1)式,整理后得ATA=E+2J。

这道考研试题考查的知识点包括:矩阵乘法的定义、矩阵相等的定义、矩阵的逆、矩阵的迹等知识点,它是一道综合题,融合了很多知识点。这道题的证明是笔者用纯高等代数的知识解决的。当然它也可以利用组合的方法进行证明,但学生并不擅长,需要很强的组合功底才能解决。

通过这道题目的证明来看,此题还可以进行拓展和延伸,众所周知,出题者喜欢用年份进行命名,比如可以改写成如下的例题。

例2:设n阶矩阵A的元素为0或1,且满足AAT=E+2023J,其中E是n阶单位矩阵,J是元素全为1的n阶矩阵。

(1)证明:AJ=2024J;

(2)证明:n=2025和ATA=E+2024J。

证明:证明方法和例1一样,这里省略了。

二、上述考研题引发的教学思考

通过这道考研试题的解答和分析,我们可以发现考研题考查的是对知识的综合运用,一道题目不仅仅只是考查一个知识点的掌握情况,这一点跟课程的期末考试侧重不相同。“高等代数”是高中生入学后最先接触到的用公理化方法处理问题的课程,以较高的抽象性和理论化为特点,对于只有初等数学基础的高中毕业生来说,一时很难适应这种方法,普遍感到很难很抽象且有点“晦涩难懂”的感觉。作为教学工作者应该进行反思和总结,结合学生特点和课程特点,提出一些教学改进方法。

首先,基于该课程的高度抽象性,学生学习起来困难的特点,实施教学过程的教师应准确有效地引入知识。可以从贴近生活的具体例子入手,或者是形象生动的图形引入,抑或是可以迅速激起学生兴趣的问题式引入。例如,我们在讲解矩阵与矩阵乘法的时候,如果直接讲定义学生接受不了,直接讲规则学生只能生硬地记住并不能理解。此时我们用一道跟生活息息相关的应用题引入。设置三个工厂生产三种产品,分别用矩阵表示三个工厂中三种产品的产量、单价和单利润,再要求同学们计算出三个工厂的总收入和总利润矩阵[5]。通过这样逻辑简单又具体的应用题计算既能让学生了解矩阵与矩阵乘法的计算法则,又能理解其计算意义。再如,在学习矩阵的逆的内容之前先带领同学们回顾一下实数中倒数的概念和矩阵是数的推广这一结论,然后提出问题,在矩阵的运算体系中是否也存在类似于倒数的概念呢?我们知道实数中0没有倒数,那么是否也存在一些没有“倒数”的矩阵呢?同时,在实数的定义下判断互为倒数的两个数是否通过数的乘法,但是矩阵的乘法和数的乘法有所不同,那么在定义矩阵“倒数”的时候会与数的倒数的定义有何不同之处呢?通过适当的引入,学生有一个从直观到抽象的思维过程,一个先思考问题再寻求答案的过程,这样不仅能使学生更好地掌握基本概念,同时也能提高学生的抽象思维能力和独立解决问题的能力。

其次,针对部分同学反映上课能听懂,但课后作业不知从何下手这一情况,教师应该注重改进传授掌握知识的方法,使用单一的教学方式在当今电子科技高速发展的时代往往不能满足教学的需要,仅仅使用PPT教学对于“高等代数”这门高度抽象化、对数学思维要求高的课程来说很容易让学生跟不上节奏,或是仅仅表面上接受了但实际上却还没理解[6]。因此,在教学过程中教师应注重教学模式上的多样化,例如教学方式上我们可以采用启发式、问题教学法。讲授之前先让学生有所疑惑,使学生产生主动寻求问题答案的兴趣,发挥学生的主观能动性。教学模式上我们可以在适当的时候将课堂交给学生,形成互助式课堂模式,让学生教学生,在教与学的状态下随时切换。一方面,让学生站在教的角度体验如何传授知识,另一方面让学生在学的角度体验如何获取知识。不同的身份互换更有助于学生理解内容的重点和难点。教学辅助工具上我们还可采用MATLAB、画图等工具,动态演示变化的过程,将原本枯燥抽象的数学知识以更具体的形象展示,有助于学生更好理解。

再次,可以适当增加习题课的次数,减少习题课规模。以往传统的习题课模式都是讲完一章内容之后针对本章内容讲解习题,知识点相对集中且专一的,这一点与我们前面总结的考研题特点不同。但平时的教学中我们确实也应该将每一个小知识点练好。针对这种情况,我们建议推广分级式习题课。具体可分为基础知识习题课、综合运用习题课和考研题习题课。不同的习题课讲授题目的侧重点不同,基础习题课侧重于巩固基础知识;综合习题课可有意将联系较紧密的习题放在一起,分析每个习题所涉及的知识点,从这些知识点之间的联系中寻求解题思路,注重讲解解题方法,归纳解题思路;考研题课可讲解历年考研真题,与学生一起分析考研题的重难点。鉴于课时的限制,我们在增加习题课次数的同时也要减少习题课规模。还可进行公开答疑,收集学生的问题后教师公开解答,使所有学生受益。

最后,穿插数学史的讲解,了解数学定理背后的故事,培养学生探索求真的科学精神,帮助学生树立正确的世界观人生观和价值观。数学是一个不断创新、不断发展的庞大的知识体系,无数数学前辈和学者刻苦研究,形成了如今完整的数学知识体系。但是,如果只是被动地接受前人的成果,忽视数学知识概念和内容的历史发展过程,就会导致学生成为只会计算和解题的“机器”。数学史知识中蕴含着丰富的数学思想和数学精神,学习数学史知识能够让人们摆脱学习数学的枯燥和困难,避免人们产生“只见树木不见森林”的迷失感,提高学习者的学习质量。在学习数学知识的过程中,如果能够了解对应数学知识的起源和发展历史,学习者就能够自然而然地接受和理解数学知识,更进一步地了解数学知识中的概念和原理[7]。例如,我们在讲解行列式和矩阵的之前会介绍它们出现的原因,让学生明白行列式和矩阵是解线性方程组的两大工具。而中国最早开始有记载解线性方程组是出自《九章算术》之中。同学们普遍只知道《九章算术》是中国最早的数学著作,可却不了解里面已经有记载关于解方程的内容。由于现在我们接触到的方程大都是含有英文字母或者希腊字母的等式,导致学生普遍认为解方程最早应该是从西方引入。通过讲解《九章算术》中解方程的方法,介绍古代算筹的用法,既让学生明白了解方程的由来,知晓行列式和矩阵的作用,又让学生了解了中国数学历史,增强了民族自信心。

对于数学专业的学生来说,如果教师们仅仅教课本的知识,远远不足以应对这些考研试题,更不用说利用高等代数知识来解决现实生活中的实际问题。结合笔者多年来的教学经验来看,应该立足教材,把知识点进行拓展和延伸,将高等代数知识从现实生活中引出来再应用到现实生活中去,以激发学生的学习兴趣,让他们知其然,更知其所以然。结合学科的特点,精心撰写教学案例,设计教学环节,增强教学过程的趣味性,引入时下社会关心热点问题,适当融入思政元素,从而完成立德树人的根本任务。与此同时,也能结合线上线下的一些精品课程、翻转课堂的教学模式等增强教学效果,促进学生的全面发展。