一类J.Simons型积分不等式

洪涛清,张剑锋

(丽水学院 数学系,浙江 丽水 323000)

随着分析方法的发展,学者们对黎曼几何的研究越来越深刻,关于它的相关结论与证明方法也得到不断更新.近来学者们对常曲率空间中各类子流形几何的研究取得了非常重要的研究成果,特别是球面Sn+p(a)中的极小子流形.J.Simons建立了关于Sn+p(a)中极小子流形的第二基本形式模长平方的积分不等式[1]

(1)

其中:dv表示Mn的体积元素;S是第二基本形式的模长平方,即S=‖B‖2.

J.Simons积分不等式对子流形几何的研究和发展有很大影响.应用J.Simons方法,可以建立各种非空间形式各类子流形的J.Simons型积分不等式[2-4].将J.Simons积分不等式推广到非空间形式中各类子流形,成为子流形几何中重要的研究课题.

Chen[5]提出了拟常曲率空间的概念,它是常曲率空间的推广.对于拟常曲率空间中的极小子流形,Bai[6]建立了J.Simons型积分不等式.宋卫东[7]研究了拟常曲率空间中的2-调和子流形,给出了类似的积分不等式.

Gazi等[8]将拟常曲率空间的概念推广到近拟常曲率空间,并给出了近拟常曲率空间但不是拟常曲率空间的例子,论文给出了这个例子的证明.

Su等[9]利用代数引理和基本方程,建立了近拟常曲率空间中双重卷积子流形关于Ricci曲率和平均曲率的几何不等式.耿杰等[10]建立了近拟常曲率空间具有常平均曲率超曲面的Pinching定理.

论文主要研究近拟常曲率空间中的极小子流形,建立了近拟常曲率空间中的极小子流形关于其第二基本形式模长平方S的J.Simons型积分不等式,主要结果为定理A.

定理A设Mn是近拟常曲率空间中Nn+p紧致极小子流形,则成立下列积分不等式

(2)

其中:a,b为Nn+p上的连续函数;dv为Mn的体积元素;S为Mn第二基本形式的模长平方‖B‖2.

1 定理A的证明

4={(x1,x2,x3,x4)|xi∈},

g=gijdxidxj=(x4)4/3[(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2]+(dx4)2,

在其余情况下,KABCD=0,其黎曼曲率可表示为

KABCD=a(gACgBD-gADgBC)+b(gACfBD+gBDfAC-gADfBC-gBCfAD),

其中

定理A的证明.设(Nn+p,g)表示其黎曼曲率张量,取如下形式

KABCD=a(gACgBD-gADgBC)+b(gACλBλD-gBDλAλC-gADλBλC-gBCλAλD),

(3)

的n+p维单连通完备黎曼流形,称为拟常曲率空间[8].其中:g是Nn+p的黎曼度量;a,b是Nn+p上c∞-函数;{λA}是Nn+p上一个单位向量函数.显然,拟常曲率空间是常曲率空间的推广.

若(Nn+p,g)表示其黎曼曲率张量,取如下形式

KABCD=a(gACgBD-gADgBC)+b(gACfBD+gBDfAC-gADfBC-gBCfAD),

(4)

的n+p维单连通完备的黎曼流形,称为近拟常曲率空间[8].其中:g是Nn+p的黎曼度量;a,b为Nn+p上c∞-函数;{fAB}是Nn+p上一个单位向量函数.

显然,当fAB可解为λAλB,即fAB=λAλB时,近拟常曲率空间就是拟常曲率空间.

设Nn+p是n+p维单连通完备的近拟常曲率空间,Mn是Nn+p上n维的紧致极小子流形,在Nn+p上选取局部正交标架{eA}限制在Mn上,{ei}与Mn相切.

约定各类指标的取值范围

1≤A,B,C…≤n+p,1≤i,j,k,…≤n,n+1≤α,β,γ,…≤n+p,

在此标架下,由式(4)可得Nn+p的曲率张量为

KABCD=a(δACδBD-δADδBC)+b(δACfBD+δBDfAC-δADfBC-δBCfAD),

(5)

显然,有

Kαβjk=0.

(6)

设{ωA}及{ωAB}是{eA}的对偶标架及联络1-形式,限制在Mn上,有

(7)

(8)

Mn的第二基本形式模长‖B‖及Mn的平均曲率H分别记为

(9)

仿文献[1],有

(10)

其中

下面,估计式(10)中A1,A2,A3,A4,A5.

由式(6),有

A5=0.

(11)

有

有

(12)

现在估计A2,由式(5)及Mn为极小子流形H=0,有

由Cauchy不等式,得

有

于是

(13)

(14)

又因为矩阵(trHαHβ)p×p是实对称矩阵,所以可使矩阵对角化,即

从而由文献[11],有

(15)

由(14),(15),有

(16)

结合式(10)～(16)以及Green散度定理,得

(17)

由于Mn的紧致性,对式(20)两边积分,应用Stokes定理,得

即完成了定理A的证明.