数运算一致性的内涵理解与教学实践

潘香君

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》多次强调感悟运算的一致性。小学数学教学主要从明晰数运算的意义、聚焦数运算的本质、建立数运算的联系、渗透数运算的思想几个方面理解数运算一致性的内涵，通过纵向联结、横向建构、纵横交叉进行单元整体设计，形成融入数学文化、聚焦思维进阶、创意层次练习的实践流程，推进数运算一致性的落实。

关键词：数运算；运算的一致性；内涵理解；小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2023）19-0083-05

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版数学课标”）从学段目标到课程内容、内容要求、教学提示、学业质量评价等，多次强调感悟运算的一致性。同时指出要让学生“经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法”，“感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性”[1]18，“通过小数加减法运算、同分母分数加减法运算，与整数运算进行比较，引导学生初步了解运算的一致性”[1]23。因此，在教学中要理解数运算一致性的内涵，厘清知识之间的内在逻辑，在教学设计与实施中体现一致性。本文以苏教版数学教材三年级上册“简单的分数加减法”为例进行分析。

一、数运算一致性的内涵理解

“数运算”包含了四种运算，即整数、分数、小数的加减乘除，“运算的一致性”是2022年版数学课标的一个重要理念。作为一线教师首先应该理解数运算一致性的内涵，在此基础上充分思考教学设计与实施。

（一）明晰数运算的意义

运算意义是运算教学的核心内容，教学中明晰运算的意义，可以更好地把握运算的一致性。

教材中都是创设具体的情境助力学生理解加减乘除的意义，而数学学习的最终目的是从情境走向数学化，抽象理解知识。不管是在整数领域还是在分数领域，两者或多者合并为加法模型之一，求部分量或两者之间的相差数则为减法模型之一。乘法模型就是求几个相同加数的和；把一个整体平均分成若干部分，这个活动过程就可以用除法来表示。同时明晰加法是所有运算的基础与核心，减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算，这样就从数学化的角度理解了四则运算，理解了运算的意义[2]47。

（二）聚焦数运算的本质

在小学阶段，随着学生对整数、分数、小数的深入认识，相对应的运算也会从简单的加减乘除变得越加复杂；但无论是简单还是复杂，它们都是聚焦“计数单位”的运算，即计数单位累加或累减的过程，这是数运算的本质。如加法运算：整数、小数加法运算都是将“相同数位上的数相加”，分数加法运算是将“相同的分数单位相加”，它们都可以理解为“相同计数单位的个数相加”[3]。由于学段不同，学生对此理解由初步感悟到逐步理解，由具体形象到抽象概括，“计数单位、分数单位”是到第二、第三学段才揭示的。

（三）建立数运算的联系

第一学段只涉及整数的加减乘除运算，而到第二、第三学段将涉及分数、小数的四则运算。数域发生变化，但是运算的意义是一致的，因此需要打通间隔建立联系。

在学完简单的分数加减运算后，引导学生思考分数加减运算与整数加减运算的方法有何相同之处；在学完异分母分数加减法后可以将其与同分母分数加减法联系思考，再与整数、小数加减法的运算建立联系，从而打通运算的关联，感受理法相融，呈现知识结构，体现知识与方法的整体性与一致性。

（四）渗透数运算的思想

数运算的一致性，不仅是意义、算理算法的一致性，还有探究方法的一致性。在探究过程中，帮助学生体会运算算理和算法的一致性，有利于学生体会知识之间的本质联系，并促进有效迁移，探索新的运算方法，从而能够整体把握运算，发展运算能力、推理意识及模型意识。

二、数运算一致性教学的整体思考

“数运算”内容在学段之间是相互关联的，由浅入深，层层递进，螺旋上升，构成相对系统的知识结构。由此，在教学数运算时要进行纵横分析，打通内在关联，关注学生运算能力和推理意识的形成与发展。

（一）纵向联接成脉络

数的运算是一个统一体，整数、分数、小数加减法运算的一致性体现在“相同计数单位的数字相加减，计数单位不变”；整数、分数、小数乘法运算的一致性体现在“计数单位与计数单位相乘，计数单位上的数字与计数单位上的數字相乘”；整数、分数、小数除法的一致性体现在“计数单位与计数单位相除，计数单位上的数字与计数单位上的数字相除”[2]50。因此，在教学中需要瞻前顾后，系统建构教材相关内容的脉络体系。

以加减法运算为例（见表1），梳理教材厘清脉络，有助于教学设计时更好地思考一致性的体现。

表1清晰地显示每一个学段所对应的要求是逐步提升的，从具体到逐步抽象成计数单位，从感悟到理解，体现了数运算的阶段性；在纵向联结比较中又能感受到运算的整体性与一致性。

（二）横向建构有整体

2022年版数学课标提倡单元整体教学，也就是要立足于整个单元设计课时教学，将知识、方法、数学思想等相关的内容整体思考设计，以大概念、大问题、大任务推进课堂教学活动，真正发展学生的学科核心素养。

对于运算的重点应着眼于理解算理、掌握算法，算理的理解最终都要追溯到数的意义上。因此，在设计“简单的分数加减法”教学时，是将其置身于单元内整体解读与思考的。在本单元中，学生新接触“分数”，围绕“认识几分之一”“认识几分之几”“简单的分数加减法”“练习十一”展开学习，“简单的分数加减法”教学需要学生在充分理解分数意义的基础上开展探究。由于是初始学习分数，可以借助直观举例初步感悟“分数单位”，如   中有3个   ，逐步抽象理解“几分之几里就有几个几分之一”，即

中有b个   。在前两课时的渗透感知中学习第三课时，学生可以借助已有经验迁移感悟简单的分数加减法是“用相同的计数单位的个数相加减的”。

（三）纵横交叉显素养

2022年版数学课标重视学科核心素养的落实，在小学阶段，数学的核心素养主要表现为数感、量感、运算能力、推理意识、模型意识等11个方面[1]7。在运算教学中，需要重视运算能力、推理意识以及模型意识的培育。在探究算理算法的过程中，通过举例归纳推理出法则，引导学生掌握探究的方法，促进迁移运用到新的类似的运算中，从而发展推理意识、模型意识，通过运算练习不断提升运算能力。

例如，在“简单的分数加减法”教学设计中，通过纵向、横向梳理分析，先带着学生探究同分母分数的加法，学生通过动手“做一做”用不同方法得到    +    的結果，在“比一比”几组同分母分数加法中发现共同点，再“联一联”整数加法计算，不仅知道怎样计算，还知道了为什么要这样计算，感悟整数加法与同分母分数加法计算的一致性。接着，学生用“做一做、比一比、联一联”的模型自主探究同分母分数减法，体验过程，获得素养的生长。

三、数运算一致性的教学实践

对于数运算一致性内涵的清晰解读与整体剖析，有助于教师在具体设计单元课时教学时进行整体思考。在设计数运算教学活动时，我们不妨从数学文化、数学思维、练习设计这几方面入手，体现运算的一致性。以下主要以“简单的分数加减法”为例，基于以上的理念和思考，设计教学流程（如图1）。

（一）融入数学文化，前后贯通感悟运算一致性

数学承载着思想和文化，数学文化拥有丰富的内涵，引领学生探寻数学知识的源泉，重建数学知识与现实的联系，能够激发学生主动探寻数学问题的本质。在本节课的设计中，始终在思考如何体现运算的意义以及从整数加减法运算的算理算法迁移到同分母分数加减法的运算。在思考与讨论中，最终确定教学旨向为“数学文化”的渗透，唤醒学生对于整数加减法的记忆。

课前通过创设情境设置“古人计数的发展历史”小视频，以“求总数”和“求还剩下多少”唤醒学生对整数加减法的记忆，既是渗透数学文化又是连接整数加减法的桥梁，充分调动学生的学习兴趣与探究欲望。通过问题“为什么有的题目用加法计算？有的题目是用减法呢？”引发学生对于加减法意义的思考，这是促进学生基于前两年数学学习的经验思考与抽象表达，为接下来理解分数加减法的意义做好铺垫。通过在计数器上拨算珠唤醒学生对于整数加减法算理的理解，是“几个一加几个一”“几个十加几个十”“几个百减几个百”这样计算的。学生不仅知其然，更知其所以然，同时也在接下来的学习中形成这样的探究思想。

在新授环节，当引出解决问题的算式时，及时追问“为什么这个（他们一共吃了这块巧克力的几分之几？）用加法，而另一个（大雄比哆啦A梦多吃了这块巧克力的几分之几？）用减法呢？学生立刻想到刚才的整数加减法意义，脱口而出“把两个数合成一个数，用加法；求还剩多少或两个数相差多少用减法”，在迁移运用中已经感悟到整数、分数加减法意义的一致性。

在此，数学文化的渗透巧妙地连接了学生对于整数、分数加减法运算意义的理解，同时也传递了数学文化应有的功能。

（二）聚焦思维进阶，促进对算理算法本质的理解

数学在形成人的理性思维、科学精神和促进人智力发展中发挥着不可替代的作用，数学思维主要表现为：运算能力、推理意识或推理能力。因此，数运算教学是发展学生数学思维的有效载体。

1.“多元表征”促进“由表及里”的理解

本节课中首先是引导学生解决同分母分数加法的计算问题，进而建立探究的模型再解决同分母分数减法计算问题。首先是准确定位目标，定位于虽不用抽象和揭示算法，但需要借助直观操作理解和感悟同分母分数的运算法则“分母不变，分子相加、减”的道理。其次就是思考合理搭好支架，让学生对“计算的道理”有了立体性的认识。

在第一个大任务中，教师通过问题“    和

的和是多少呢？”引发学生思考，同时鼓励他们：能把你的想法在学习单上表示出来吗？可以借助图形画一画、写一写。学生通过独立思考、小组交流，以多元表征的形式呈现自己的想法（图2）。

从可视化的表征方式中，可以看到学生的思维在不断进阶，前面三幅虽然都是图形表征，但是思维层次在螺旋递进，从与巧克力形状相似的长方形表征到圆形表征再到线段图表征，经历了逐步抽象的过程。最后的文字表征是最抽象的，既是对前面几种不同图形表示的概括，也揭示了的计算道理。因此，表达形式多样的解释途径是“由表及里”逐步抵达计算的本质，对算理的追寻应从结果式思维转向过程式思维。

2.“数学化”推进“直观到抽象”的感悟

学生在具体情境与操作中初步感悟同分母分数加法的计算，尚不能归纳计算方法，而且数学的学习最终是要去情境走向“数学化”，用数学的方法观察现实世界、分析研究各种具体现象，并加以组织发现规律。因此，在本节课中还需要充分运用“数学化”的方法引导学生发现同分母分数计算的共通点、相似点、可迁移点，感悟分数加减法与整数加减法的实质相同，运算内在逻辑道理的一致性，从而理解整数和分数的加减法本质上是单位的累加或减少。

教学活动中采用数学中最常用的“比较”的方法推进“数学化”，通过三次比较逐步体验运算的一致性。一是通过三个同分母分数加法的比较，找到了其相同之处；二是通过同分母分数加法和整数加法之间的比较，找到其相通之处；三是通过同分母分数加减法之间的比较，找到其相似之处。把“相同之处”“相似之处”“相通之处”进行比较和沟通，通过解决分数加减法运算与整数加减法运算问题，将新旧知识有机地融合，目的是达成分数加减法的算理算法与整数加减法的一致性，培养学生对知识的类推迁移能力，形成大观念的结构脉络。

（三）创意层次练习，拓展延续中走向深度学习

好的练习设计能够起到“画龙点睛”的作用，尤其是运算练习更要设计有新意、有蕴意的分层次练习，让学生能够在拓展延续中继续走向深度学习。

本节课的练习设计，主要是通过“情境中题组练习、生活中解决问题、游戏中拓展模型”三组对比练习，巩固同分母分数加减法的算理与算法，并感知分数减法是分数加法的逆运算，再次体悟运算意义在整数与分数领域的一致性。其次是应用性练习，通过已知条件自问自答，引导学生经历用所学计算解决问题的过程，感受数学知识在现实生活中的广泛应用。再次是综合性练习，让学生用分数条组成不同的加法算式，从2个加数到4个加数，加深对同分母分数加法算理和算法的理解。学生由此感悟到“无论有几个这样的同分母分数相加，都可以看成几个几分之一相加，也就是‘分母不变，分子相加”。最后在总结中拓展延伸呈现一道异分母分数加法“?+?”，再一次打破学生的认知平衡，有效激发他们的好奇心与求知欲，同时也彰显过程结构的迁移价值。学生自觉将学习和探索活动由课内向课外延伸，体现了“让不同的学生在数学上得到不同发展”的理念。让学生带着问题走进教室，带着更深的思考走出教室，为后续学习做准备。

在小学阶段“数运算”的教学实践中，教师必须立足于对数运算内涵的深刻理解，纵向梳理，横向思考，基于单元整体设计教学，在学生已有经验的基础上，激活新旧知识的联系；让学生充分理解运算的意义以及算理算法，感悟数运算的一致性，提升运算能力，发展推理意识，建构模型思想，促进学生的主动参与和深度学习，推动学生的素养发展。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022．

[2]巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性[J].课程·教材·教法，2022，42（6）.

[3]赵莉，吴正宪，史宁中.小学数学教学数的认识与运算一致性的研究与实践——以“数与运算”总复习为例[J].课程·教材·教法，2022，42（8）：123.

责任编辑：石萍