基于数学史的STEAM项目式课程设计与实施——以“折纸与古希腊三大作图问题”为例

◎ 吴子昊 吴茎洁

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中强调信息化环境下数学多样性教学的重要性，在教学中要精选课程内容，处理好学科核心素养与知识技能之间的关系，强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，注重数学文化的渗透。［1］有研究指出，STEAM教育以数学为基础，将科学、技术、工程与艺术整合为一体进而实现多学科融合，可有效发展学生核心素养，渗透人文底蕴，促进学生深度学习。［2］基于此，本文旨在设计并实施STEAM项目式课程，以古希腊三大作图问题为主线，融合STEAM教育理念与数学文化，通过项目式学习模式重构教学过程，发展学生高阶思维品质。

一、数学史融入数学教学的价值

数学史料是数学漫长发展过程中沉淀的文化资源与精神文明，是数学学科育人的重要资源。［3］将数学史融入数学教学，学生能沿着数学发展的脉络，经历数学知识发生、探究过程，了解数学知识原貌，揭示诸多现象本质，感悟数学中的人文艺术，从而培育学生坚持真理、追求创新的精神，实现知、情、意、行统一发展，落实立德树人根本任务。

（一）以史促教

数学知识抽象、逻辑性强，教师要帮助学生在短时间内掌握几千年来人类发展史中创造的数学精华，如果教师仅将数学看作结论，那么学生便只会机械记忆，数学学科将难以蓬勃发展。教师要以更高的观点来看待数学知识、重构数学教学，通过梳理分析数学史，深入了解数学理论来源、形成、发展、完善的过程，将孤立的点串联起来，把握数学与科学、数学与生活的联系［3］，从而实现自身专业发展。

（二）以史育人

华罗庚先生说过“数学拥有无穷的美妙”，对学生来说，经历知识发生发展过程比掌握结论更有价值。学生通过了解丰富精彩且具有启发意义的数学史，能够认识到数学不仅是分析符号和图形，看似枯燥无用的数学知识背后都蕴含了古人的无穷智慧。例如，前有数学家刘徽通过割圆思想得到圆周率近似值，后有祖冲之对圆周率进一步精确，数学家通过实践告诉我们，成功从来就不是一蹴而就的，困难是数学的必经之路［4］。

二、分析项目式课程学科融合点

本文以古希腊三大作图问题为主线，融合STEAM教育理念与数学文化设计STEAM项目式课程。首先对古希腊三大作图问题进行分析，寻找其中与STEAM契合的课程资源，梳理各学科知识联系，如图1所示。

三、STEAM项目式课程框架

STEAM项目式课程是一个循环的过程，教学中学生要经历确定研究主题、发现问题、设想解决问题的方案、设计模型、实践操作、反馈优化方案的过程［5］。为了确保STEAM教育理念落地，借鉴张辉蓉等的数学文化项目学习模式［2］，将本课程框架分为三层（见图2），最外层为教师教学活动，教师作为引领者，根据学生经验创设情境，了解学生项目解决进程，适时指明方向，推动学生多学科知识整合。中间层是以学生为主体的项目活动，在课程中，学生不是独立的个体，而是在团队中通过集体智慧解决问题、实践创新。最内层为STEAM项目式课程目标，通过教师与学生协同合作，促进学生多元发展，落实数学核心素养。

四、课程设计与实施

（一）课程设计

本课程包含三环节：问题之库、问题解决、方案分享，共5课时。其中环节一分为2课时，课时1回顾数学史，了解古希腊三大作图问题；课时2初探折纸在数学中的应用。环节二以学生活动为主，分为2课时，课时3研究倍立方问题并通过折纸进行解决；课时4研究三等分角问题并通过折纸进行解决。环节三为方案分享（课时5）。

1.环节一：问题之库

（1）课时1：回顾数学史，了解古希腊三大作图问题

古希腊人研究尺规作图，他们发现以正方形对角线为边的一个新正方形，其面积为原来的两倍，进而提出倍立方问题：给定立方体的一边，求作另一立方体的边，使其体积为前者体积的两倍。尺规作图可以作一个给定角的角平分线，因此古希腊人开始思考如何三等分任意一个角，即三等分角问题。还有化圆为方问题为：给定一个已知面积的圆，作一正方形，使其面积与圆面积相等。

古希腊三大作图问题虽然形式上非常简单，但解决起来十分困难，探索这三个问题的过程中蕴含了抽象代数思想，直到19世纪，这三个作图问题的尺规作图不可能性才被证实。

（2）课时2：初探折纸在数学中的应用

折纸对中学生来说并不陌生，中小学课程中的“数学活动”就有“折一折、想一想、做一做”的教学形式。一张白纸，不剪不裁，却能折出无数变化，有时候尺规作图无法完成的任务，折纸却能解决。本课时中，教师以“如何通过折纸将正方形的面积分成三等分？”这个问题为例，与学生共同探究并体会折纸在数学中的应用。

2.环节二：问题解决

（1）课时3：倍立方问题

本课时设计3个驱动问题帮助学生通过折纸解决倍立方问题，具体如下。

问题1：如何通过折纸解决倍立方问题？

问题2：你能用数学语言描述并证明折纸过程吗？

问题3：为什么尺规作图不可以解决倍立方问题？

【成果建议】关于倍立方问题由来、发展、解决的数学小论文；展示折纸过程的小视频；与尺规作图相关数学公理的研究报告；数学海报等。

在课时3中，学生需要借助折纸数理学设计解决倍立方问题的折纸方案，再对折纸过程进行抽象，并证明折纸方案的正确性，在这个过程中，学生能发现模型的不足，反复实践。最后，提出更高层次的问题：尺规作图为什么不能解决倍立方问题？以此引导学生探究尺规作图背后的数学原理，发现尺规作图无法作出除规矩数之外的无理数。

（2）课时4：三等分角问题

本课时设计3个驱动问题帮助学生通过折纸解决三等分角问题。

问题1：如何通过折纸解决三等分问题？

问题2：你能用数学语言描述并证明折纸过程吗？

问题3：为什么尺规作图不可以解决三等分问题？

【成果建议】关于三等分问题由来、发展、解决的数学小论文；展示折纸过程的小视频；与尺规作图相关数学公理的研究报告；数学海报等。

在课时4中，学生依然需要借助折纸数理学设计解决三等分角的折纸方案，再对折纸过程进行抽象，并证明折纸方案的正确性。最后，思考更高层次的问题：尺规作图为什么不能解决三等分角问题？以此引导学生探究尺规作图背后的数学原理，发现该问题背后的本质是解某个三次方程，而这个三次方程的根不是一个规矩数，因此尺规作图不能解决此问题。

3.环节三：方案分享

（1）倍立方问题

该项目要求把立方体的体积扩大到原来的两倍，假设原立方体边长为1，则体积扩大到原来的两倍后，立方体边长等于。因此，倍立方问题本质上就是求作2的立方根，也就是要通过折纸折出：1。

小组A首先将一张正方形纸片三等分（见图3），紧接着在三等分的基础上，将正方形纸片右下角顶点翻折落到左边，同时保证右边下方三等分点落到上方三等分线（见图4），进而得到：1。

图3 三等分正方形

图4 纸片翻折后对应图形

完成折纸后，小组A进一步对折纸结果进行严格数学证明。

证明：

设AB′=1，B′D=x

在RTΔAMB′中有

计算得

又由ΔB′AM～ΔI′JB′，得到

即（x2+2x+2）（2x–1）=（x2+2x）（x+1）

从而得B′D=。

（2）三等分角问题

该项目是在学生熟悉的平分角的基础上，进一步思考如何三等分角，需要学生通过折纸将一个锐角进行三等分，并在此基础上完成证明。

① 小组B成果

小组B利用正方形纸片先构造一个锐角，然后通过对折正方形构造正方形面积的三等分线，最后将锐角进行三等分（见图5）。

图5 三等分角

完成折纸后，小组B进一步对折纸结果进行严格数学证明。

在研究过程中小组B发现，上述折纸步骤中不需要对折纸张，可随意翻折，只需保证折痕与正方形上下两边平行即可。经过反复实践，小组B得出与原方法相同的结论，并证明了结论。

② 小组C成果

小组C采用了与小组B相同的方式折出锐角的三等分线并完成数学证明，随后，他们通过分析每一步折纸过程背后的原理时发现，通过翻折，可以让两个点同时落到相应的指定位置。这一过程仅需要通过眼睛仔细观察即可，但其背后的原理较为复杂，若想利用代数证明，就相当于要求解三次方程。因此，尺规作图无法完成三等分任意角。另外，小组C还将锐角推广至钝角，将方法进行一般化。

（二）课程访谈

课程结束后教师对学生进行访谈，主要围绕以下三个方面展开。

1.课程前学习情况

师：在学习课程之前，你对古希腊三大作图问题、折纸在数学中的应用了解得多吗？

生1：在课程前对于古希腊三大作图问题与折纸在数学中的应用并不了解，几乎从未听说过。

由此可以看出，学生对于拓展性的数学知识了解较少，在数学学习的过程中更多的是被动接受课堂中教师讲授的知识内容。

2.学习过程中自我感受

师：你自我感觉对课程内容掌握得怎么样？

生2：课程内容还是有一定难度，需要课后进一步钻研。

师：能说说你用课题研究的方式学数学的过程和感想吗？

生2：这次课程研究了一个数学平面几何的问题。从猜想到平面图，再到动手折纸和证明，我的思维方式有了一定提升。在研究过程中，和小组成员一起查资料进行交流，开动脑筋，产生新的发现和题目解法新思路，是我觉得这次学习收获最多的。

可以看出，学生对于STEAM项目式课程的教学方式、学习方法有较高认可度，这说明教师通过精选内容、创设良好的项目情境、鼓励学生发散思维，能使学生学习情绪高涨，提升学生自我效能感。

3.课程后的收获

师：在本课程的学习中你最大的收获是什么？可以跟我们分享下你的理由吗？

生1：接触到了用折纸解决数学问题的方法，第一次独自编写小论文，之前不了解折纸居然还可以解高次方程，觉得理科魅力好大。

生2：提高了自己的思维能力和管理能力，因为自己安排了各个组员的任务以及对于每个报告各部分的时间和内容，然后提出了对于钝角的思考并加以试验。

可以看出，STEAM项目式课程将多学科知识巧妙整合，学生在掌握知识的同时通过猜想、探究、实践、反思，有效提升了问题解决能力。

五、反思与总结

（一）STEAM项目式课程有助于促进学生深度学习

在STEAM项目式课程中，以学生为主体，教师创设真实的情境，借助信息技术，将学生的学习任务项目化，促使学生主动参与，从知识的接收者转变为问题的创造者、解决者。在这个过程中，学生不仅能理解知识的本质，更能追求学习的真正意义。［6］本研究设计的基于数学史的STEAM项目式课程旨在让学生在项目活动的推进中经历“发现问题—提出问题—解决问题”的一般过程，在深入思考中突出理性探索、创新与合作精神等要素，形成高阶思维和深度学习品质，促进学生思考数学问题方式方法的转变。

（二）STEAM项目式课程促进学生多面能力与素养

我国提出发展学生核心素养的要求，包括关注学生个性化、多样化的学习和发展需求，注重培养学生社会责任感，提升终身学习能力、自主发展能力和沟通合作能力。［1］本文设计的STEAM项目式课程通过多学科融合，打破过去单一讨论数学本身的学习模式，设计多样性课程，使学生在文化基础、自主探究、社会参与等方面共同提升，促进学生多面能力与素养的发展。