挖掘教材资源空间，促进思维进阶发展——以“使用计算器计算”一课为例

◎ 马亚琴

沪教版小学数学教材在三年级第二学期初次引入计算器。计算器是一种计算工具，也是提升学生数学思考和问题解决能力的载体。然而在实际教学中，教师往往存在着对学生过度依赖计算器会造成计算能力下降等方面的顾虑，使得对计算器的教学变得敷衍了事；或者只将计算器视为一种工具，满足于让学生了解其功能和学会使用计算器计算的方法，而忽视对选用和使用计算工具过程中蕴含的数学思维空间的关注，形成偏技能、轻思考的课堂现状。

在素养导向的教学背景下，如何丰富计算器工具内涵，更全面把握计算器教学的价值，并跳出惯有的教学框架；如何挖掘教材资源空间，重新定位学习目标，并把握学生思维发展生长点；如何立足学生视角，以设计贴合真实学习场景且能引发学生思考的问题链，拓宽学生思维表现的空间；以及如何全面了解学情，关注个体差异，从而在教学对话中基于学生丰富的思考状态展开讨论，实现学生数学思维和活动经验的发展。这些都是需要在教学中持续思考的重要问题。2020年，笔者承担了上海空中课堂三年级下册“计算器”单元的在线教学拍摄任务，以此为契机，聚焦上述思考展开了研磨与实践。

一、挖掘计算器教学独有的价值

（一）价值追问

数与计算因在日常生活、工作和学习中有着广泛的应用，且对培养学生的思维能力具有重要作用，因此一直以来都是小学数学教学的基本内容之一。计算器作为现代化的计算工具，操作简便。在使用计算器进行教学时，不仅要使学生了解计算器的常用功能并学会正确使用计算器进行计算，还应扩展计算器工具的教学内涵，将其视为思维训练的辅助工具。因此，计算器教学不仅要传授学生正确使用工具进行计算的方法，还需要依托这一工具载体，创造出发现和提出问题、分析和解决问题的空间。这有助于引导学生理解计算规则背后的推理操作流程，同时也丰富了学生在使用工具过程中的经历和情感体验。这正是计算器教学所独有的价值所在。

“计算器”单元主要内容结构如图1所示，共分5课时实施。

图1

（二）目标制定

基于以上思考，本节课教学定位在综合运用已有的数与运算相关知识和经验，灵活使用工具解决问题。本节课的教学目标制定如下。

（1）经历使用计算器计算的探究过程，能把握计算器的特点，并灵活使用进行两步式题的计算。

（2）在问题探究过程中，能主动调用相关的知识、经验、策略，养成猜想验证、归纳应用的推理意识，并提升应用意识。

二、设计引发思考的问题链

笔者紧扣目标设定，基于特定教学背景下的计算工具情况展开任务设计，主要体现：①推进的关键问题需具挑战性，创编充足思考与探究的空间；②围绕关键问题设计启发与追问的跟进问题，引发有关计算工具探究的高品质思考。

（一）丰富计算器工具，使打开学生思维空间成为可能

本单元中，教材按照一款限定的学生专用计算器（智能计算器）展开，所以操作流程上都遵循“只要按照算式中从左到右的顺序依次按键”就能正确计算，即“所见即所按，所按即所得”。然而在空中课堂教学期间，学生手头的计算器不可能都是智能计算器，基于现实，教学需要跳脱出教材中只有一种计算器的设定，让学生直面手头各式各样不同特点的计算器工具，通过丰富的工具外观探究操作方法，能正确使用工具解决问题。

此外，教学中还需要挖掘计算器的潜力，不仅提升计算效率，还能丰富其作为“工具”的使命。笔者思考：除了教授学生熟悉计算器的操作流程之外，是否可以深入探讨其背后的运算规则和推理空间？除了介绍教材中规定的计算器外，是否可以引导学生比较和分析不同工具在解决问题时的资源差异，从而激发更深入的思考？这样，计算器可以更好地发挥其作为辅助思维训练工具的作用。

计算器工具种类的丰富以及对工具教学内涵的拓宽为学习任务的设计创设更大的空间，使打开学生思维空间成为可能。

（二）创编合适的问题，让拓宽学生思维空间变为现实

基于工具的丰富，整体的设计又该如何以具有挑战性的问题引领，引导学生持续主动地思考，积极参与探究学习之中呢？

1.学习任务一

教材一开始就呈现了一个问题情境（见图2），旨在引导学生在解决问题的过程中体验计算器在较大数同级运算中的便捷性。本题数量关系简单，学生在解题过程中能自主迁移一步计算的操作方法，因此无论是在解决问题还是计算工具的探究上，教学空间比较有限。接下来，笔者以教材内容为基点，挖掘和扩展内容载体所隐含的教学价值，跳出“计算”的技能框架，融合操作背后类比、推理等逻辑思维能力的培育。

空中课堂视频片段一

师：上节课我们已经学习了用计算器进行较大数的加、减、乘、除的一步计算，请拿出计算器，算一算下面两道题吧！ （见图3）

图3

（核对按键过程和答案）

小巧：都对啦！一步计算，只要按照算式中从左到右的顺序依次按键，就能得到正确结果！

小亚：我计算器上数字键 “6”坏了，算式中的这两个6没办法输入了！怎么办呢？（见图4）

图4

（独立尝试解决问题）

师：小巧想到了办法，她准备这样按键，仔细观察，你能看懂吗？（见图5）

图5

小丁丁：我看懂了！原来的这个算式中，6在百位，表示6个百。小巧把这6个百分成了两部分来输入，先在第一个加数的百位上输入5，表示5个百，再加1个百就可以了。成功避开了数字键“6”！

小月：第二个算式，原来的除以56，变成了除以7再除以8，就避开数字键“6”了。

小巧：对，其实，我就是把原来的两道一步计算变成了新的这两道题！第一题，把600变成500加100，而第二题呢，我就想，在乘法中，乘56，可以变成先乘7再乘8，那这里的除以56，是不是可以变成除以7再除以8来算呢？

师：哦，小巧把乘法的经验联想到除法中，那到底是否可以？赶快拿出计算器算一算这两道题吧！别忘了跟原来两道的一步计算题的结果对照一下。（按键操作）

小亚：两步计算结果和原来一样，看来这样拆分可行！

师：刚才按键输入这两道两步计算的题，你有什么发现？

小亚：两步计算的题，跟一步计算一样，从左往右把整道题依次输入进去就可以了。

小丁丁：我还发现，这两个算式在输入第二个运算符号的时候，第一步的答案自动就算出来了。这个加号还带有等于号的作用呢！

师：小丁丁边按键边观察思考，又发现他计算器的一个小秘密。小朋友，你的计算器在按第二个运算符号的时候也会得到前一步的结果吗？你也要留心观察，进一步了解计算器的特点哦！

按键“6”坏了，怎么办？此问题兼具挑战性和开放性，没有既有的经验可以调用。以基于学生兴趣的任务打开思考空间，以相互关联的问题链（见图6）触发思考，在如何正确计算的探究中实现从一步到两步计算式题的自然过渡。其中，自然勾连十进位值制概念、计数单位等核心知识。

图6

关于题2，为什么设计成“18312÷56”，而不是“18312×56”？此举意在创设更大的探究空间，引发学生基于已有乘法运算方法的算法逻辑展开类比和猜想，并催生进一步解释的深度思考。另外，通过回溯检验促解决问题的过程，不仅自然迁移了两步同级计算的操作方法，还帮助学生建立算式变形转化后确保计算结果不变的严密思考。

2.学习任务二

教材的练习部分都是同级的两步计算式题，配套练习部分的内容出现了两级运算，包括含小括号的混合运算。基于现实中计算器类型，两级运算的操作必然会产生丰富的差异资源，也必定蕴含着更大的思考空间。

那么，怎样的任务设计能在工具使用技能把握的基础上继续以工具探索为导向，将学生引向对现象的入微理性思考？怎样的问题引领能基于学生立场，促进对工具内涵的深度表达？笔者通过研磨两稿课件最后小结页的对比（见图7），认为修改稿体现了对计算器工具承载内涵更深入的挖掘和思考。

图7

空中课堂视频片段二

小亚：同级运算的两步式题，运算顺序是从左往右依次计算，用计算器计算时按键顺序也是从左到右，两个顺序是一致的！那两级运算式题也是按照算式从左到右的顺序依次按键吗？

师：带着这样的思考，请同学们算一算“4987+113×33”吧！

师：看看小巧的按键过程（见图8），她能得到正确结果吗？

图8

小丁丁：能！她是按照这题的运算顺序分步输入的，先输入113乘33。而加法中，加数的位置交换不影响结果，所以，她再输入了加4987，那计算器就会先算乘，再算加。

师：对，用计算器计算当然是遵循运算顺序的。小巧刚才按照运算顺序，把先算的先输入，她的计算器就接受指令，先算了乘再算了加。当然正确。

小巧：其实，一开始，我是先从左到右依次输入的，一看这结果肯定不对。然后赶快调整了输入顺序。（见图9）

图9

小月：估一估就知道了。前一次你的计算器一定是先算了4987+113，再算了乘。

小亚：我发现，小巧的计算器是先按什么，就先算什么！

师：对比小巧两次的输入，她的计算器的特点被你们发现了。的确，小巧的计算器，先按的就先算，是比较简单的计算器。再看看小丁丁按键计算的过程，他的计算器又是怎样工作的呢？（见图10）

图10

小巧：这款计算器不是按照“先按就先算”的规则计算的。

小月：我猜，这款计算器很“聪明”，把整道题都输入进去，它就知道先算乘法，再算加法了。

“工欲善其事，必先利其器”。从解决问题时，同一款计算器对算式的不同输入顺序以及不同款计算器输入的差异资源出发，创编了具有充分探究空间的任务。这些任务形成了问题链，催生了更深层次的思考需求，助力学生进行思考和领悟。

在亲历操作的经验积累、差异资源的分析对比中，学生不仅对操作过程进行入微观察和理性思考，还聚焦于不同计算器在输入与结果之间的逻辑关联。他们自主发现了一条“因果链”，并形成了探究计算器计算规则的基本路径。这种学习方式使数学认知从“点状探究”走向了“整体关联”。

三、模拟学生思考的真场景

如何在空中课堂中，搭建起模拟态和真实场景之间的桥梁，以及预设学生真实思考状态的问题，成为我们面临的挑战。为了解决这个问题，我们致力于创造生动的师生对话，并期望能够最大化地吸引不同层次的学生，让他们全身心地参与到教学过程中。

（一） 预设学生真实思考状态

无论是计算器教学中涉及的“数与运算”的知识基础，还是空中课堂背景下的计算工具准备，学情都是存在差异的。面对新的问题情境时，学生各持有怎样的情感态度；解决问题过程中，各会碰到怎样的困难和障碍；经历与回顾中，各自收获了怎样的经验……种种场景中，学生必然有着不同的可能状态。

学习任务一中，对于如何化解“数字按键‘6’坏了”这一问题，考查学生是否能调用计数单位的核心知识解决“57620+12578”，是否能主动迁移乘法运算的算法结构类比解决“18312÷56”。学习任务二中，学生是否能敏感捕捉错误结果的产生原因，透过现象分析不同计算器的计算规则，进而推理出简单计算器是“先按的就先算”，智能计算器是“整题输入，它就知道先算什么，再算什么”……理解的时机先后和程度深浅都存在差异。在课堂场景模拟创编中，笔者正视差异、尊重差异、分析差异，差异融合教学创生，从而形成了有益探索。

（二）编辑典型资源生动呈现

课堂的主体是学生，编辑小伙伴丰富生动的对话资源，创建主动思考、主动尝试、主动表达的课堂场景，这样的课堂目的在于引导学生在小伙伴的点拨中解决问题、完成任务。同时，在小伙伴的思路起承转合中，学生能够掌握问题思考和解决的方法路径。

此外，在伙伴鼓励互助的氛围中，学生还能够积累积极的学习情感体验。在富含探究空间、宽松和谐的任务研究中，学生将会谨慎思考、自由表达，从而实现思维品质的提升。

1.面对挑战问题主动思考

小巧：其实，我就是把原来的两道一步计算变成了这两道新的题。第一题，把600变成500加100，而第二题呢，我就想，在乘法中，乘56，可以变成先乘7再乘8，那这里的除以56，是不是可以变成除以7再除以8来算呢？

……

小亚：小月，这道题应该先算小括号里的减法，可是，按照你的按键过程（见图11），计算器以为你要计算的是432–17×15，所以，它先算了乘法，再算了减法。当然错啦！

图11

2.面对新的发现提出猜想

小亚：同级运算的运算顺序和用计算器计算的按键顺序是一样的，都是从左往右。同级运算是这样的，那两级运算也是这样吗？

……

小月：我猜，聪明计算器就是把整道题都输入进去，它就知道先算乘法，再算加法了。

3.面对同伴困惑分享经验

小月：我觉得用计算器计算很方便。两步计算，只要把算式完整地输入，一按等于号，正确结果就出来了。

小巧：有的计算器上找不到小括号按键，那就按照运算顺序，先输入减法，再输入乘法！

把每一个问题解决的场景具体到教师与四个小伙伴的语言表达和思考脉络中，引导学生身临其境，引发共鸣，思考的方法路径亦可同步伴随，深度生成。

视频课的设计是在新样态教学背景下的一次思维碰撞。我们需要将一个看似平淡无奇、没有思维空间的内容转化为生动而深入的学习过程设计。在在线教学的互动设计中，我们需要了解学生的差异状态，激发不同层次学生的思考，帮助他们在问题解决的过程中锻炼和提升思维能力。学程的设计将单课教学放在整体思考和结构体系中，充实静态教材资源空间，综合考虑现实教学要素和培养学生素养的能力要求，创设贴合学生思考和注重过程体验的有挑战性的任务，从而拓宽学生的思维空间。在课堂推进中，我们基于“学生立场”，让每个学生在课堂中都能被看见，持续地参与到探究学习中，使他们的数学知识、经验和方法得到发展、丰富和提升，实现思维的进阶。

视频课中的互动生成是预设和模拟，当来到线下课堂时，学生的差异样态是否符合预设，还是更加丰富？如何基于线上模拟有效地利用资源，并将其有机地融入真实的动态生成过程中，以激发全体学生的思考，尊重差异，推动不同层次学生的思维进一步发展？这仍然充满挑战，但也让人充满期待。