数学游戏：内涵、教育价值与实施策略

浙江杭州市小营小学（310000） 特级教师 吴恢銮

北京师范大学中国教育创新研究院院长刘坚教授说过：“我一直提倡‘玩做数学’的教育理念，创新人才不是靠‘刷题’刷出来的，孩子的‘奇思妙想’是在‘玩做’中诞生的。‘数学实验’就是‘玩做数学’的一种重要载体，抽象的数学通过简单的材料、有趣的实验，变得生动活泼，让孩子体验到数学的美妙和真谛。”加拿大学者巴格利曾经分析了美国新媒体联盟在2004 年到2012 年期间发布的《地平线报告》，其先后提出37项技术，但是只有7项被后期的报告证实，其中“基于游戏的学习”排在第1 位。数学枯燥无趣、抽象难懂，与喜欢玩耍、游戏的儿童天性之间有很大隔阂，而数学游戏可以起到沟通两者的桥梁作用。数学游戏使学生的学习不再是被动地接受，且参与数学游戏的过程就是智力、想象力与情趣的开发和培养过程。那么，什么是数学游戏？它的内涵是什么？数学游戏对儿童学习，深化课堂教学有什么价值？如何利用数学游戏丰盈数学课程，改善儿童学习，深化课堂教学，培养学生的创新意识？

一、数学游戏的内涵和分类

数学与游戏的关系源远流长。一方面，在“数学”这个概念出现之前，各种游戏当中就广泛蕴含着数学知识。所以说，数学与游戏之间是相互渗透、相互统一的关系。另一方面，游戏精神一直伴随着数学的产生和形成，成为数学发展的主要动力之一。比如，游戏激发了许多重要数学思想的诞生，促进了数学知识的传播。从某种意义上讲，数学也在一个更高的层次上复归游戏。

（一）内涵

数学游戏，《简明不列颠百科全书》将其定义为“一种运用数学知识的大众化娱乐活动”。欧菲尔德为数学游戏设定了判定的标准：参与的人需要独自完成，或与他人合作竞争；依据规则自愿进行；游戏活动指向一定的数学认知目标。在高夫的研究中，数学游戏则更加倾向于一种博弈活动，参与者为了获得胜利而在游戏过程中轮流做出选择。可见，数学游戏就是将数学问题蕴含在游戏形态中，从而让做游戏的人获得数学活动经验，潜移默化地掌握数学知识、思想与方法，同时获得生活的娱乐感和心灵的愉悦。从这个意义上说，数学游戏属于需要高级思维参与的智力活动，具有竞争性、娱乐性、益智性、开放性等特点，其中蕴含的数学问题具有规则性、探究性、思维性的特征。

（二）分类

基于数学游戏的内涵，按照问题的表现形式和解答方法，数学游戏可以分为四类。一是数的游戏，指表现形式为数，或者能够建立数量模型的游戏。在玩此类游戏的时候，常常会用到算术、代数、数论、排列、组合、概率等知识。二是形的游戏，指表现形式为几何图形，或者能够建立几何模型的游戏。如“七桥问题”属于图论中的著名问题，这个问题后来衍生出“邮递员问题”“周游世界问题”；魔方、七巧板、华容道、莫比乌斯带、迷宫等游戏，操作性强，特别适合学生玩与做。三是博弈游戏，指带有竞技性质的游戏。这类游戏通常有严格的规则，结果有赢有输，如棋类游戏、牌类游戏等。四是逻辑游戏，指运用逻辑推理来解答问题的智力游戏，包括逻辑推理问题和涉及逻辑知识并带有趣味性的数学悖论，如找次品问题、分油问题等。

数学游戏按照思维方式，可以分为两类：动手操作型和动脑思考型。前者需要动起手来，依据游戏的规则边玩边思考；后者需要依据问题情境中提供的信息，动脑思考怎样解决非常规的问题。

二、数学游戏的教育价值

（一）有利于改善儿童学习

数学游戏作为数学的一种教育形态，容易为儿童所接受，这是因为儿童的天性——在游戏中取乐、在游戏中取智、在游戏中取辩，所以他们乐此不疲。首先，数学游戏能为儿童学习数学提供感性的直观材料，搭建游戏化的学习平台，符合儿童的年龄特征、心理和生理特点。其次，数学游戏能在儿童的具体形象思维和抽象数学知识之间架起一座沟通的桥梁，化静态为动态、化抽象为直观，符合儿童的天性和认知规律。再次，数学游戏融趣味性、知识性、活动性于一体，可以有效调动儿童的学习积极性，激发和保持其探究兴趣。另外，数学游戏中需要进行观察、实验、猜测、验证、推理和交流等活动，以达到对游戏规则的深度理解，这样可激发儿童的想象力与创造力，促进儿童高阶思维和社会交往能力的发展。由此可见，数学游戏不管是作为课程内容，还是作为一种学习方式，都是符合儿童天性和认知规律的。

（二）有利于深化课堂教学

著名数学家陈省身说过“数学好玩”，在数学家眼里，数学是思维的体操，确实是好玩的。然而，对不少儿童而言，数学是抽象的、枯燥的、难懂的，再加上以解题训练为主导的课堂教学，他们怎么会喜欢上数学呢？如何改变这种现象？数学课堂中，怎样让学生觉得数学好玩、有趣，激发学生学习数学的兴趣？美国著名教育家杜威非常重视游戏在教育教学中的地位，他认为教育者应该将游戏纳入学校课程体系中，同时应该把游戏作为课程作业的形式之一，这样容易建立经验和知识的关联。古今中外众多的教育家和学者，从哲学、心理学、社会学、文化学、教育学等不同方面对游戏进行了深入的分析，认为结合课程内容引入数学游戏，进行数学游戏化教学，对深化课堂教学、增强教学效果、发展学生思维具有重要作用，实践也证明这是一条行之有效的路径。

（三）有利于渗透数学文化

数学独具文化魅力，具有广泛的文化价值。课堂上如何更加自然地渗透数学文化，考验的是教师的教学艺术，而有趣好玩的数学游戏，无疑是学生热爱数学的强大诱因。数学游戏蕴含着丰富的数学文化，可以说，数学史上许多重要的数学成果源于数学游戏的研究。如哥尼斯堡的“七桥问题”研究，促进和推动了图论的创立；“合理分配赌注问题”是对创立概率论有重大影响的著名问题；中国“百鸡问题”的研究，促进了不定方程的发展；“比丰投针问题”开创了几何概率的先河；“孙子问题”促进了数论的发展；“阿基里斯与龟”“飞矢不动”和“理发师悖论”等数学逻辑游戏，促进了数理逻辑与极限论的发展……可见，数学游戏不仅在数学发展过程中起着不可估量的促进作用，而且蕴含着极其丰富的数学文化。通过数学游戏渗透数学文化，既合理，又和谐，让学生如沐春风。

三、数学游戏的实施策略

（一）序列化设计游戏内容，丰盈数学课程

根据数学游戏的内涵与价值，以及学生的认知规律，我们详细规划了一到六年级的数学游戏内容（见表1），在不增加学生课时的前提下，依据数学课程标准中的核心知识、思想与方法，设置了数字与运算、几何与空间、统计与概率、数学推理、数学建模等游戏。

表1 典型的数学游戏内容举例

续表

结合数学课程内容，遵循宜少不宜多的原则，历时4 年，我们自主开发设计了一到六年级的180个数学游戏，使之内容序列化、结构化。平均每个学期安排15 个数学游戏，共计15 个课时。这样既能丰富数学课程内容，激发学生的数学学习兴趣，也一定程度上降低了学生学习数学的难度。

（二）开展数学游戏化学习，改善学习方式

对儿童而言，数学游戏是最有效的数学学习方式。这是因为数学游戏既不直接与教材中的例题“交互”，也不直接与教师的语言教导“交互”，而是在有趣好玩的活动中直接与游戏本身“交互”。毫无疑问，通过数学游戏，学生学习数学的好奇心可以得到最大限度的满足。这种满足既有情绪或情感上的，又有认知或思维上的。

例如，教学人教版数学教材四年级上册“田忌赛马”后，结合教材中“抢数游戏”的内容，我们自主开发了一节棋盘游戏课，意在让学生经历猜测、验证、分析、揭秘的思维过程。游戏化的学习方式，将数学学习与游戏活动、方法探究等紧密地交织在一起，最大限度地调动了学生的情感与思维，使学生经历数学知识产生、形成与发展的过程，体验到数学学习的快乐。

一、游戏引入，激发兴趣

1.介绍游戏规则（见图1）

图1

（1）左下角为起点，右上角为终点。

（2）两人一组对弈，从起点开始下棋，每人每次可以下1颗，也可以下2颗。

（3）每次只能接着向上走或向右走。

（4）谁先到终点，谁获胜。

2.师生尝试对弈

师：谁愿意和我来下一局？（师生对弈）为什么老师总是会赢？（学生思考）

3.同桌试玩游戏

（1）两人一组，确定棋盘的起点和终点。

（2）每组下两盘棋，每人一盘先下，一盘后下。

4.提出获胜猜想

师：猜测一下，总是获胜的同学有什么方法？

生1：我觉得先下棋的人会有一定赢的机会。

生2：我下棋的颗数要和他（对手）的凑成3 的倍数，即他下1 颗，我就要下两颗；他下两颗，我就要下1颗。

二、初次游戏，探究方法

1.设计游戏方案

师：（出示图2）确定一条游戏路线，寻找必胜点。

图2

2.思考游戏关键

（1）想一想，在这条游戏路线上抢到哪些点就一定能获胜？用水彩笔涂上颜色。

（2）和同桌玩一玩，看看是否必胜。

（3）说一说，你是怎么找到这些必胜点的？

3.交流游戏感想

生3：（出示图3）我找到这几个点，发现只要占据这几个点就一定能赢。

图3

三、再次游戏，揭示原理

1.提出问题

师：这猜想对其他的游戏路线也成立吗？

2.游戏操作

（1）出示游戏建议。

①同桌合作，确定一条游戏路线，并用水彩笔在纸质棋盘上画一画。

②想一想，哪些是必胜点？用水彩笔涂上颜色。

③和同桌按设计的路线玩一玩，看看是否必胜。

（2）进行游戏。

3.交流发现

（1）师生设计路线对弈。

（通过师生对弈，发现只要学生选择先下，都是学生赢）

（2）观察四条路线，寻找共同点。

师：（出示图4）各组仔细观察一下这四条路线，看看有没有什么新的发现。

图4

生4：我们组发现每条路线都有12 格，因为所有的路线都可以平移成长方形的长和宽，所以长宽之和为12格。

生5：我们组发现，不管什么路线，都是后下的人才有赢的机会。

师：为什么会这样呢？（在学生思考后出示图5）

图5

生6：其实就是3 个一份，12 个正好有这样的4份，所以只要后下、凑3，就一定能赢。

（3）推广到一般性。

师：如果路线不再规定，也不知道对方下次会往哪个方向走，刚才发现的必胜方法还有用吗？同桌试着玩一玩。（学生玩后发现“后下、凑3”的方法具有一般性）

四、改变规则，创造游戏

师：能否改变一下游戏规则，创造新的下棋游戏？（让学生发挥想象，自主设计出新的下棋游戏）

……

数学游戏化学习，一般要让学生经历这样的四个步骤：游戏引入，激发兴趣→初次游戏，探究方法→再次游戏，揭示原理→改变规则，创造游戏。会玩游戏只是手段，探索数学游戏中的原理，用数学知识解释游戏，才是数学游戏化学习的核心要义。如果说学习是“神”、是内容，游戏则是“形”、是形式。形式是为内容服务的，形神合一是游戏化学习的追求。数学游戏化学习要注重有趣实用和理性思考相结合，体现数学的思想方法和应用价值，拓展思维空间，提升学生的思维能力。

（三）用游戏化思维设计作业，培养实践能力

传统的数学作业只重视知识技能的训练，对激发学习兴趣、培养实践能力关注不够。实践证明，用游戏化思维设计数学作业，不仅能让学生乐于思考，而且可以有效培养学生的数学学习兴趣和实践能力。为此，我们组建团队，依据数学课程标准中的核心知识、思想与方法以及学业评价要求，开发设计了500 例数学游戏作业，方便一线教师选择使用，下面列举两例。

案例1：“一定是平行四边形吗？”

难度系数：★★★★☆

时限：10分钟

游戏说明：任意画一个四边形，将每条边平均分成2 段，就能找到中点，这样就会产生4 个中点，把这4 个中点连接起来，所形成的图形称为中点四边形，这个图形就是一个平行四边形（见图6）。

图6

如果再画几个四边形（见图7），按照这样的方法也能得到平行四边形吗？

图7

这个平行四边形的面积和原来任意四边形的面积之间有什么关系吗？你可以尝试探究一下。无论是凸四边形还是凹四边形，这个平行四边形的面积是不是整个四边形面积的一半？

案例2：“警察怎么快速抓住小偷？”

难度系数：★★☆☆☆

时限：10分钟

准备材料：白纸、两个塑料瓶盖

游戏说明：你想不想当一次威风凛凛的警察？那就让我们和牛犇、火犬一起玩警察抓小偷的游戏吧！

牛犇：先在纸上画出正五边形，五边形的每个角都画成圆形，正五边形用“人”形连接（见图8）。

图8

火犬：用浅黑色的瓶盖代替警察，用黑色的瓶盖代替小偷，两个颜色瓶盖放在任意的两个圆里，通过“石头剪刀布”游戏决定先走的一方；每次只能沿着线走，每次只能走一步，直到浅黑色的瓶盖与黑色的瓶盖重叠，就算抓住小偷。请你动手试试，最少几步能抓住小偷？

需要转换思路，不能紧追不放，陷入僵局后，可以以退为进；若警察占据中心点，小偷走到正五边形的一个角中，无论往哪边走都是自投罗网。所以，至少需要4步（见图9）才能抓住小偷。

图9

（四）创建实验型游戏中心，培养创新意识

倡导有条件的学校创建实验型游戏中心，有利于将数学游戏作为教育形态常态化实施，也为研究学生如何进行游戏化学习提供实验型场所。为了更好地创建实验型游戏中心，需要配置游戏材料与器具，创新课桌椅摆放样式，设计游戏中心运行机制。首先，保障学生进行数学游戏在时间上的相对自由。游戏中心在课余和周末是开放的，学生随时可以来选取数学游戏材料与器具，也可以在游戏中心完成研究任务。其次，鼓励建立家庭实验型游戏室，并在教师指导下选择适合自己的数学游戏进行研究，学校提供游戏材料以及展示平台。最后，游戏中心为学生提供专门的研究场所，有助于培养学生的数学学习兴趣和探索、创新意识。

总之，利用数学游戏开展数学教学，可以化抽象为直观、变静态为动态，为学生更好地学习数学提供了新视角，打开了一扇新的窗户。教师可深入探索数学游戏在教学中的实施策略，使学生得到更好的发展。