借助模型意识，解决数学问题

刘伟

［摘  要］ 文章以小学数学的教学为例，探讨借助模型意识解决数学问题：借助好的情境，帮助学生入模；借助好的策略，帮助学生建模；借助好的活动，帮助学生用模。通过这些教学策略能助力学生形成模型意识。

［关键词］ 模型意识；建模过程；数学问题

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。在小学数学教学中，教师应培养学生的模型意识：让学生学会利用数学模型解决问题，让学生认识到现实生活中的问题都与数学有关，让学生学会有意识地用数学概念解决生活问题。

在小学阶段，以“数量关系”为核心的数学模型分为三类：第一学段以运算意义为主，包括加法意义、减法意义、乘法意义和除法意义；第二学段以建立模型为主，包括“分量+分量=总量”“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”；第三学段以模型表示为主，包括常见的数量关系、运算定律和计算公式等。同时，模型意识有助于学生开展跨学科主题学习，增强学生对数学的应用意识。

因此，教师要积极创设学习机会和学习时间让学生经历入模、建模和用模三个过程，培养学生利用数学模型解决数学问题的能力。

一、借助好的情境，帮助学生“入模”

为了帮助学生建立模型意识，教师首先要创设好的任务情境。一个好的任务情境需要具有真实的背景，能让学生感受到生活与数学的紧密联系，让学生体会到数学知识可以解决生活问题和生活问题可以建立数学模型；需要有故事的情节，丰富的故事情节可以吸引学生的注意力，激发学生对数学学习的兴趣；需要有研究价值的问题，让学生从真实而复杂的情境中提取出有用的数学信息，并对数学信息进行加工和改造，从而解决数学问题。

比如，教学“单价、数量和总价”时，教材出示的情境是文具店里每支钢笔的价格是12元，每本练习本的价格是3元，售货员阿姨和小男孩的对话是“我买4支钢笔和5本练习本”。在通常的教学中，教师首先引导学生说一说单价的含义，然后以列表格的方式引导学生去发现商品的单价、购买的数量和总价之间的关系，最后让学生运用“单价×数量=总价”这个数量关系解决更多类似的数学问题。

从实际教学中笔者发现这样的情境创设过于单一，不利于学生建立“单价×数量=总价”的数量关系模型。因此，在教学“单价、数量和总价”一课时，笔者呈现了多样的生活情境素材：足球75元/个，牛奶48元/箱，笔记本4元/本，电脑5880元/台，房屋25000元/平方米，酱油12.9元/瓶，口罩10元/5个等。然后，笔者设计了一系列的学习任务：先让学生选一个单价，说一说单价表示的含义；再让学生经历购物过程，编一编购物的小故事；最后让学生发现数量关系，算一算同桌的购物要多少钱。

在教学过程中，教师首先模拟了生活中的购物情境，呈现各种各样的购物素材，让学生在模拟的真实情境中选择自己的物品并提出数学问题；然后计算总价中建立单价、数量和总价的数量关系。这样的教学活动通过好的情境打通了生活概念和数学概念之间的关系，利用生活概念帮助学生建构数学概念，创设的情境更加真实多元，有利于学生更好地建立模型意识。

二、借助好的策略，帮助学生建模

教师在帮助学生建立模型的过程中需要形成好的策略。一个好的策略包括以下三个方面：首先是提取信息，学生需要在理解题意的基础上从条件出发或者从问题出发筛选出有用的数学信息；其次是寻找方法，学生需要建立解决数学问题的模型和策略，关联数学问题和条件之间的关系；最后是回顾反思，学生需要从解决问题的过程中提炼总结解题过程和解题方法，从遇到困难的过程中反思为什么会遇到这个困难、应该如何解决这个困难。

以教学“乘加和乘减”一课为例，笔者充分利用教材中的情境：这是生物组养的金鱼，每个鱼缸里有4条金鱼，生物组有这样的3个鱼缸还多1条鱼，计算一共有多少条金鱼。很快，学生用不同的算式解决了这个数学问题：有的学生根据加法的含义写出连加算式4+4+4+1=13（条），有的学生根据乘加的含义写出乘加算式4×3+1=13（条）。可见，学生对乘加的学习几乎没有困难，如果教师不教乘加的内容，大部分学生也能写出这样的乘加算式。

因此，教师在确定教学目标时不能满足于让学生根据文字或图画写出乘加算式，还要进一步利用乘加的模型帮助学生串联起一类问题。在学生写出连加或乘加算式的基础上，教师要引导学生用线段图来表示题目的意思，同时进一步引导学生根据线段图提出不同的数学问题：有的学生提出“黑金鱼有12条，花金鱼有1条，一共有多少条金鱼”，有的学生提出“黑金鱼比花金鱼多11条，花金鱼有1条，一共有多少条金鱼”，有的学生提出“花金鱼比黑金鱼少11条，花金鱼有1条，一共有多少条金鱼”，有的学生提出“男生有3组，每组4人，女生有1人，一共有多少人”。当学生从不同角度提出数学问题后，教师组织学生讨论这些数学问题之间的共性。

在教学过程中，教师先引导学生从文字和图示中提炼出乘加算式和线段图，再根据同一个线段图提出不同的数学问题，并列式解决这些问题。从一道题写出多种方法，再到多个问题用同一个线段图，这个过程中学生充分利用已有的知识经验，得出了不同的解题思路和解题方法。

三、借助好的活动，帮助学生用模

当学生头脑中有了较多的数学模型后，教师要创设好的活动帮助学生“用模”解决数学问题。一个好的活动包括以下三个条件：首先是做透题目，教师在备课时要形成“少就是多”的理念，做到精选好题、用足好题，发挥一题多解和多题归一的价值；其次是渗透策略，教师要在教学数学知识的基础上和学生一起总结出策略性知识；最后是应用创造，教师要设计实践性活动和跨学科主题活动，让学生在活动中运用数学知识，培养学生的创造性能力。

以教学“100以内的加法和减法（三）”一课为例，笔者在进行单元复习时以“分量+分量=总量”这个数学模型为载体，让学生变形出“分量1=总量-分量2”和“分量2=总量-分量1”这两个数量关系。同时，笔者围绕“分量+分量=总量”这个模型创设了以下三个活动：

活动一是“我会发现”，引导学生根据“19+27+26、38+42-33、90-25-28”编写数学故事，这个活动的目的是不仅能让学生学会用数学语言表达现实世界中的数量关系，还能让学生体会到同一个算式可以编出不一样的数学故事；

活动二是“我会表达”，引导学生总结出这个单元中的数学线段图并编写数学故事，这个活动的目的是不仅培养学生整理和归纳的能力，还培养学生用数学方式表征自己的思考；

活动三是“我会总结”，引导学生用几个词或几句话总结自己的学习收获，这个活动的目的是让学生在完成的过程中看见自己的学习成果，提高学习数学的自信心。

在教学过程中，教师借助任务活动帮助学生进行单元复习，让学生用“模型”表达数学，用“模型”探索数学，用“模型”发现数学，最终培养学生用数学的眼光发现模型中的数学故事，提出有价值的数学问题，抽象出这些数学问题背后的相同点和不同点，主动参与数学的探究活动，发展学生的应用意识和实践能力。

總之，模型意识是小学数学核心素养之一，教师要在教学中通过情境、策略和活动让学生经历入模、建模和用模的过程，帮助学生掌握基本的数量关系，抽象概括出数学模型，学会选择和运用数学模型解决生活中的数学问题。