核心素养视域下小学生代数思维的培养

杜宇

［摘  要］ 培养学生的数学核心素养是新课程的重要目标，代数思维在培养学生抽象能力、推理意识、模型意识方面起着非常重要的作用。因此，教师要将核心素养的理念融入学生代数思维的培养之中，有意识地培养小学生的代数思维，转变运算方式，培养综合能力。

［关键词］ 核心素养；代数思维；抽象能力；推理意识；模型意识

数学核心素养具有高度的整体性、一致性和发展性［1］，继高中数学课程标准提出数学核心素养后，在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中也提出以数学核心素养为目标的课程体系，并明确指出数学核心素养包括以下三个方面：（1）会用数学的眼光观察现实世界。在义务教育阶段，数学的眼光主要表现为抽象能力（包括符号意识、数感、量感）、几何直观、空间观念与创新意识；（2）会用数学的思维思考现实世界。在义务教育阶段，数学思维主要表现为运算能力、推理意识或推理能力；（3）会用数学的语言表达现实世界。在义务教育阶段，数学语言主要表现为数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识［2］。

数学思维是核心素养的重要体现，代数思维是其中的一种。代数思维是指学生能够归纳概括出一般化的算式结构、变化规律和数量关系，并且能运用符号来表征和推理论证一般化的结论［3］。代数思维的本质是一般化思维，在规则的推导下进行一系列的符号化运算和数学建模。小学阶段代数思维的培养直指小学数学抽象能力、推理意识和模型意识。这是因为符号化是代数思维的基本特征之一，数及数量关系进一步抽象成符号表达；代数推理的一般性与普遍性需要符号化的推理过程，从而发展代数思维；代数思维主要表现为解决问题时的模型建构，其实质是数学建模。

由此可见，代数思维的培养与核心素养“三会”是一脉相承的。在小学数学教学中教师应加强对小学生代数思维的培养，进行有针对性的训练，开展实践研究，为中学的代数学习做好必要的基础铺垫，以实现学生从算术思维到代数思维的自然过渡，从而促进其数学核心素养的不断提升。

一、关注符号意识，激发代数思维

7～12岁的小学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，逐渐不需要具体的形象教具来辅助学习。学生的逻辑推理思维开始发展，抽象思维能力逐渐变强，能用符号进行思考和对算术进行抽象。代数的学习需要学生更多抽象思维的参与，培养学生的代数思维能打开其抽象思维的大门。在教学过程中教师要有意识地进行引导和强化，使學生从算术思维到代数思维能有效衔接和过渡。

符号意识作为数学核心素养之一，其重要性不言而喻，代数思维的培养就要重视符号意识。在学生能够运用文字语言描述量与量之间的关系后，教师可以引导学生思考怎样体现出数学的简洁之美。比如，让学生学会用数学语言、数学符号、字母来表示数字和算式；引导学生在主动发现与交流中用简洁的符号形式来表征同一情境、同一问题，加深对不同表征形式中的等价关系的理解，将等价关系推广到类似的情境中来发展其代数思维。

比如，在教学“乘法的初步认识”时，教师可以呈现：5+5+5=（  ）×（  ），7+7+7+7=（  ）×（  ），9+9=（  ）×（  ），☆+☆+☆=（  ）×（  ），m+m+m+m=（  ）×（  ）。通过☆、m表示算式中相同的加数，引导学生进一步思考☆、m可以表示哪些数，加深理解乘法的意义。学习运算律体现了学生对规律探索的归纳过程，发现规律需要学生进行抽象概括，表达规律则需要学生对规律进行一般化表达［4］。比如，乘法分配律的文字表达“两个数的和乘一个数等于这两个数分别与这个数相乘，再把积相加”，学生对此难以理解；然而当通过抽象符号表达成（a+b）×c=ac+bc，学生能形象地理解乘法分配律。让学生充分经历观察、交流、归纳、表达、抽象的过程，这个过程是学生代数思维的体现，是不可或缺的。

二、巧用代数推理，助推代数思维

推理意识是小学数学核心素养的重要内容。推理意识主要是指学生对逻辑推理过程及其意义的初步感悟［2］。《义务教育数学课程标准（2022年版）》中强调了代数推理的教学理念，指出代数推理能为学生的逻辑推理提供一定的帮助。小学数学教师应该在教学中巧妙地使用代数推理，让学生初步感知代数推理的过程，发展学生的代数思维。

比如，六年级分数除法的算理是小学算理中最难理解的，教材通过具体情境和数形结合思想来帮助学生理解（如图1），但教学后很多学生对算理依旧模糊不清，直接运用结论进行计算，这对学生思维的发展是不利的。在教学减法算理时，教师可以采用“想加做减”的方法，即从“减法是加法的逆运算”来理解算理；同样，在教学除法时，也可以从“除法是乘法的逆运算”来加以理解。因此，笔者做了以下代数推理的尝试（如图2）。

这样的代数推理，能让学生很直观地理解算理：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。学生容易接受这个理解算理的过程，能直达数学的本质。让学生经历这个代数推理的过程，有利于培养学生代数思想，并与中学的代数内容接轨。

比如，在教学“3的倍数特征”时，教师常常采用观察法、枚举法、不完全归纳法等方式得出结论。这样的学习过程没有真正培养学生的思维，没有促进学生推理能力的发展，不利于学生核心素养的形成。在五年级上册学生已经学会了用字母表示数，已经具备代数推理的基础。因此，在教学“3的倍数特征”时，笔者以代数推理的方式来揭示“3的倍数特征”的本质（如图3）。

在探究性作业中，笔者也设计了代数推理的题目，如图4。其中，方法二的代数推理更具有说服力，而且这个方法可以类推到更复杂的循环小数化分数的教学之中。

在小学阶段能够利用代数思维进行推理的案例还有很多，这需要教师充分掌握教材的知识脉络，在适当的时机进行代数推理，帮助学生理解数学的本质，培养学生的推理意识。

三、渗透模型思想，提升代数思维

数学的发展过程就是不断抽象、概括、模式化的过程，模型思想是数学的基本思想方法之一。模型思想指通过建立数学模型解决问题的一种思想方法。数学模型是通过对具体问题和研究对象的基本属性、功能和特征进行理解和认识，用简洁的语言抽象出描述客观现象的运动变化规律。数学模型具备了原型对象的本质属性，但是不能反映原型的所有方面［5］。比如，“速度×时间=路程”是用来研究行程问题的数学模型。

小学数学教材虽然没有对模型思想进行明确的定义，但是模型思想无处不在。在小学数学中渗透模型思想，能让学生经历观察、合作、交流、归纳、符号抽象、代数推理，建立起具有一般性的数学模型，然后应用模型。通过数学建模，让学生经历由特殊到一般，再从一般到特殊的过程，体会到代数思维的一般性和广泛性，能为学生使用数学的语言表达现实世界奠定必要的基础。

人教版数学教材从五年级起，运用代数思维进行数学建模的案例很多，比如“打电话（如图5）”“探索图形（如图6）”等典型课例。

在作業设计中教师要有意识地渗透模型思想，培养学生的代数思维。比如，笔者在作业设计中的一些尝试（见图7、图8）。

上面的作业设计既突出了对数学本质的理解，又有利于培养学生代数思维和符号意识，增强学生数学建模意识。这些作业设计凸显了代数思维的一般性和普遍性，通过符号化的推理、建模，能提高学生的代数思维能力。

综上，在小学阶段教师应精心培养学生良好的代数思维习惯，让学生理解数学知识的结构与关系、特殊与一般，洞察并把握数学本质。在小学阶段适时培养学生的代数思维，是对学生知识结构的一种衔接、完善和延展。代数思维的培养有助于发展学生的核心素养，提升其抽象意识、推理能力和模型意识，从而促进其全面发展。

参考文献：

［1］ 王永春. 迎接数学核心素养带来的挑战［J］. 小学教学（数学版），2021（10）：1.

［2］ 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］ 孙思雨，许添舒，孔企平. 基于潜在类别分析的小学生早期代数思维水平研究［J］. 数学教育学报，2022，31（01）：52-58.

［4］ 李星云. 论小学生代数思维的培养［J］. 广西教育，2019（40）：63-66.

［5］ 沈红萍. 小学阶段数学模型思想的培养 ——“简单的周期”教学与思考［J］. 教育，2022（17）：33-35.