线上线下混合式教学改革探索与实践——以“概率论与数理统计”课程为例

刘会刚

（南开大学 电子信息与光学工程学院，天津 300350）

随着国家对MOOC及线上一流课程的大力支持，国内出现大量优秀的“概率论与数理统计”在线课程，全国高校的学生和社会人员都可以在线选课和学习。线上课程的学习不受地区和时间限制，取得了较好的效果，也给全国高校教师分享了不同的教学方法。但也存在一些问题：（1）由于线上课程是面向全国不同层次的学生和社会人员开放的，部分“概率论与数理统计”在线开放课程教学内容简单，缺乏对一些重要定义和定理的引入过程，应用实例较少或较为简单，解题思路遵循教材，未能更好地实现课程的“两性一度”。（2）很多选“概率论与数理统计”MOOC的学生学习积极性不高，参加考试的学生较少，且成绩并不理想，学生对课程表现出漠不关心的态度［1］。（3）“概率论与数理统计”在线开放课程，课程思政内容较少，有的甚至没有课程思政。“概率论与数理统计”线下课程同样也存在一些问题：（1）课程课时少内容多，教师为了尽可能涉及每部分内容，只能加快教学速度，导致授课过程中部分知识点讲解不到位不详细［2］。（2）课程教学存在“重理论，轻实例”，学生存在“学会知识不会用”的问题［3］。（3）教学内容存在“重概率轻统计”的问题［4-5］。针对上述问题，以全面提高学生能力为中心，开展了“概率论与数理统计”课程线上线下混合式教学改革探索与实践。

一、课程教学目标

结合南开大学电子信息类学生的特点，课程围绕立德树人的根本任务，以学生为中心，以问题为先导，结合启发式、问题式、探究式教学方法来引导和推动学生采取自主、合作和探究等方式进行学习，培养学生扎实的专业理论基础和知识技能，以及学生的主动思维能力、分析问题能力、理论联系实际能力和创新能力。在此基础上，聚焦以下三个教学目标。

（一）知识目标

通过课程的学习使学生理解与掌握处理随机现象的基本思想与方法、概率统计的基本概念、基本理论、常用的统计推断方法、马尔可夫过程及平稳随机过程。

（二）能力目标

培养学生运用概率、统计和随机过程的理论与方法分析和解决实际问题的能力，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力及创新意识。

（三）素质目标

塑造学生追求卓越的精神、积极向上和坚韧不屈的人格，激发学生的爱国热情。培养学生自主创新意识、社会主义核心价值观和工匠精神，传承南开“公能”精神，厚植家国情怀。

二、线上线下混合式教学设计、改革与实践

（一）混合式教学设计

本课程在教学过程中以问题为先导组织教学，结合启发式、问题式、探究式教学方法来引导和推动学生采取自主、合作和探究等方式进行学习，促进学生实现知识的自主建构和能力的提升。课前把需要记忆、理解及概念性的知识放在线上，通过长江雨课堂教学平台发布线上学习内容，以“学堂在线”学习平台上重庆大学荣腾中和清华大学梁恒主讲的“概率论与数理统计”国家线上一流课程的部分视频及作者录制的视频为线上学习内容，让学生自学完成线上学习内容。在线下教学过程中，以师生互动与生生互动为主要教学组织实施形式，课堂上首先通过“课堂提问”环节，检查学生的线上学习情况。在课堂上利用多媒体工具，将抽象的概率论与数理统计的概念与理论生动形象地展现给学生，把抽象的概念与定理图像化直观化，对课程中重要概念和定理设计恰当的引例，扩展课程中重要公式与定理的证明方法，开展一些实际问题的建模训练，扩展课程知识。课后发布线上练习题和章节测试题，巩固所学的知识，并完成对学生的阶段学习评价。

此外，还向学生发送一些课外阅读材料、概率论与数理统计数学史料、课程的文献资料和国外英文原版经典教材。课外阅读材料和课程的数学史料扩充学生的知识面，课程的文献资料和英文原版经典教材开阔学生的视野，扩展课程的广度和深度，实现课程的“挑战度”。课外利用电子邮箱、长江雨课堂教学平台的讨论区、班级微信群和飞书等工具，建立与学生的沟通与讨论渠道，有的放矢地进行个性化辅导与答疑。

（二）通过混合式教学改革解决课程教学课时不足的问题

目前国内高校“概率论与数理统计”课程存在一个共性的问题是课时少内容多，很多高校“概率论与数理统计”课程仅有48课时［2］，这些课时把概率论与数理统计内容讲完已经捉襟见肘。南开大学电子信息与光学工程学院的“概率论与数理统计”课程虽然有64课时，但除了要讲授概率论与数理统计的内容之外，还要讲授随机过程及其统计描述、马尔可夫链和平稳随机过程等三章关于随机过程的内容，同样面临着教学课时严重不足的问题。为了解决教学课时严重不足的问题，同时达到一个较好的教学效果，对“概率论与数理统计”课程进行了线上线下混合式教学改革。

课前通过长江雨课堂教学平台发布预习及自学的线上学习内容，包括讲义、课件及视频，并完成相关测试，使学生通过线上学习掌握课程的基本概念和需要理解记忆的知识。课堂上利用长江雨课堂智慧教学工具开展考勤、激活课堂、课堂互动和随堂测试等教学活动，对学生在自学过程中存在的问题进行讲解，对课程的重点和难点问题进行详细分析讲解，扩展课程中重要公式与定理的证明方法，开展一些实际问题的建模训练，全面提高学生的综合素质。课后根据长江雨课堂教学平台获得的每个学生的学习数据，结合课堂表现，完成对学生单次课的学习评价。课程的教学实践表明，通过线上线下混合式教学改革，不但很好地解决了“概率论与数理统计”课程内容多课时少的问题，而且还扩展了课程知识，开阔了学生们的视野，实现了课程的“两性一度”。

（三）通过混合式教学改革解决学生基础不牢的问题

“概率论与数理统计”课程一般在大学本科二年级开设，此时学生已学习过高等数学课程。由于学生对高等数学知识的遗忘或者掌握不牢，在学习多维随机变量及其分布时会遇到很多问题。多维随机变量及其分布是课程概率论部分的重要内容，也是课程的重点与难点。通过调查发现学生在学习二维随机变量的概率密度、分布函数和二维随机变量的函数的分布时存在较大的困难，部分学生不能正确理解概念，解题过程存在思路不清晰等问题。存在这类问题的主要原因是学生对高等数学中的定积分、积分上限函数、二重积分和二重积分的一般换元法等知识的遗忘或者掌握不牢固。为解决此问题，在讲授课程相应部分内容之前，通过长江雨课堂教学平台把整理好的相关的高等数学知识的文档和视频提前发送给学生，让学生通过网络提前完成此部分内容的复习巩固，同时在线下授课过程中引导学生用“高等数学”的眼光看待此类问题，并进行分析，认清问题的本质，从而通过线上线下混合式教学达到事半功倍的教学效果。

（四）通过混合式教学改革提高课程的“两性一度”

在线下教学过程中优化教学内容，对课程中重要概念和定义增加引例，让学生明白概念的由来，做到知其然知其所以然。通过线上学习，学生已掌握了课程的基础知识。因此，在线下教学过程中可以扩展教材中重要公式与定理的证明方法，增加课程的广度和深度。具体的教学策略是：借助学生已学过的课程知识，对已学过的知识再升华，用于完成“概率论与数理统计”课程中部分公式与定理的证明，这些证明方法完全不同于教材上的证明方法，通过新的方法完成定理与公式的证明，提高课程的“高阶性”。课前把课中需要用到的已学过的课程知识，通过长江雨课堂教学平台提前发送给学生复习，课中引导学生思考，用已学过的知识解决新问题，培养学生的创新思维。例如课前发布高等数学中的变上限函数的复习资料，课中引导学生思考把高等数学中的变上限函数与概率论与数理统计中的连续型随机变量的分布函数联系起来，理解其异同，引导学生用高等数学的眼光看连续型随机变量的分布函数及概率密度，这样学生能够更清楚地理解连续型随机变量的分布函数和概率密度的性质。再例如，课前发布高等数学中的二重积分的一般换元法的复习资料，课中引导学生采用高等数学中二重积分的一般换元法，证明或求解两个随机变量的函数的分布问题，和教材中的方法相比大大降低了证明或求解的难度和复杂度，开阔了学生视野，提高了课程“创新性”。通过这些教学案例，引导学生用学过的高等数学的知识解决“概率论与数理统计”课程中的新问题，培养学生的创新意识、创新思维和创新能力。

此外，线下教学过程中注重用概率论与数理统计的知识解决实际工程与理论问题，提高课程的“高阶性”和“挑战度”。例如对于课程中大数定律和中心极限定理等知识点的实际应用，引入蒙特卡洛统计模拟方法，分析和讲解蒙特卡洛统计模拟方法在计算圆周率、定积分及集成电路芯片设计仿真中的应用，开阔学生视野，实现课程的“两性一度”。

（五）通过混合式教学改革提高课程的思政育人质效

“概率论与数理统计”课程以全面提高学生能力和强化思想政治教育功能为核心，以爱国主义教育为主线，以课程知识为载体，将思政元素融入课程知识，利用课程知识揭示其深刻的内在本质，同时深入挖掘其中的德育内涵，诠释知识背后的价值趋向和家国情怀。

例如结合大数定律和中心极限定理等课程知识点，引入蒙特卡洛统计模拟方法，融入课程思政。课前通过长江雨课堂教学平台发布一些美国研究原子弹的相关史料、蒙特卡洛统计模拟方法的文献资料和美国限制出口中国高端集成电路芯片的新闻资料等，通过这些“看似不相关”的材料，调动学生的学习兴趣和积极性。线下授课过程中，首先通过美国二战时研究中子在原子弹内扩散和增殖的科学问题，引入蒙特卡洛统计模拟方法，激发学生的学习兴趣，调动学生参与课程的积极性，活跃课堂气氛。然后再引入蒙特卡洛统计模拟方法在计算圆周率、定积分及集成电路设计仿真中的应用，通过这些实际应用强化课程知识，提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。最后结合本案例引入美国对中国芯片“卡脖子”的问题，使学生深刻认识到“芯片虽小，却是‘国之利器’”。围绕“缺芯”根源，积极引导学生放眼世界，心系国家命运，努力学习，万众一“芯”，提高自己的创新思维能力和实践能力，勇于承担“中国芯”的重担，为“中国芯”的腾飞贡献自己的力量。从而培养学生勇攀科学高峰的责任感和使命感，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当，培育学生的爱国信念，勇担历史使命的信念。

三、课程线上教学统计及评价

图1是长江雨课堂教学平台2022年秋“概率论与数理统计”课程线上教学数据统计，从图1中可以看出课程共计发布了97个课件、41个视频、9次线上考试和5次课程直播（教学课时之外的答疑直播）。97个课件包括线上学习内容、线上练习题、课外拓展题、课程课件及课外学习资料等，41个视频包括概率论与数理统计国家一流课程的部分视频及作者录制的课程视频，课件和视频是学生线上学习的重要资源。课程采用过程性考核与终结性考核相结合的考核方式，结合9次线上考试，和线上学习内容、线上练习题、线上测试题和课后作业的完成情况、出勤情况及期末笔试成绩综合组成课程的期末总评成绩，全面考核学生的综合素质。

图1 2022年秋“概率论与数理统计”课程线上教学数据统计

教学实践证明，“概率论与数理统计”线上线下混合式教学方式有效激发了学生学习动力，提高了学生参与度，达到了较好的教学效果。学生对课程的学习效果和教学方式给予了高度评价，达到了课程目标，最近三年学生对课程的评教评分都在98分以上。课程使用的教学理念和教学方法获得了学生和同行的肯定。

结语

本文分析了目前概率论与数理统计课程线上和线下教学现状，指出了其存在的问题；分析了学生在学习概率论与数理统计课程过程中存在的问题。以南开大学电子信息类专业的学生为对象，设定了新的教学目标，重新对课程教学进行了设计，并从解决课程教学课时不足、学生基础不牢、提高课程的“两性一度”和提高课程的思政育人质效等方面开展了课程线上线下混合式教学改革的探索与实践。教学实践证明，“概率论与数理统计”课程线上线下混合式教学的教学方法和教学内容受到了学生的认可，达到了较好的教学效果和教学目标。