高中数学解题技巧运用的科学性探究

张志坚

【摘要】本文以帮助高中学生扫清数学解题盲点、清除数学解题误区，整体提升高中学生数学解题能力为目的，以高中学生一般数学解题规律为基准，结合人教版（2019）高中数学A版教材实例与历年高考真题从审题、析题、解题三个层面上探讨在高中数学解题教学中让学生把握正确数学解题技巧.

【关键词】高中数学；解题教学；解题技巧

高中数学的深奥烦琐与抽象复杂，这就使得多数高中学生对数学生成较大的畏难、厌学、排斥心理，学习效率与思维能力自然也会受此影响.因此，在现如今的高中数学教学中，让学生学会灵活运用多种解題技巧探索与分析数学问题，不仅是快速提升高中学生数学学习成绩的“捷径”，同时也是发展培养学生数学素养的关键手段.

1 审题：多元观察，巧换视角

审题是学生进行数学解题的第一步，对后续解题方法的明确、解题效率与解题的正确性起重要决定作用［1］.

例如 在人教版高中数学教材必修第一册“对数函数”一课中，有问题“说明函数y=log3x与y=log13x的关系”.在引导学生解答这一问题前，高中数学教师就可为学生提供两种审题视角，让学生对问题展开多维度、多层面观察.

视角1 解题者视角

根据已知的指数函数知识可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.如y=12x与y=2x的图象可如图1绘制.可从指数函数的图象绘制中汲取解题思想与灵感，通过代入具体数值的方式求出底数互为倒数的两个对数函数的具体坐标，进而通过描点画出函数图象得出函数y=log3x与y=log13x关于x轴对称的结论.

视角2 出题者视角

从学生已知的指数函数图象关于y轴对称的对称性知识出发，让学生通过绘制底数互为倒数对数函数的图象得出对数函数图象关于x轴对称的结论，考查学生的知识迁移能力、数学推理能力、直观想象能力以及对数形结合思想方法的掌握程度.

综合上述两种视角，学生的数学解题思路便会得到明晰，即在同一平面直角坐标系中，先画出底数互为倒数的两个对数函数y=log3x与y=log13x的函数图象，根据二者的函数图象说明对数函数y=log3x的函数图象与y=log13x的函数图象关于x轴对称.

在高中数学解题教学中，引导学生从多个视角观察与审视数学问题，不能够让学生学会在后续的数学解题过程中从宏观整体的角度上观察问题、分析问题，在实际的解题过程中也会更加精准、精确地找到得分点，而且对高中学生应试能力的提升，对学生严谨理性数学思维的形成同样也大有助益［2］.

2 析题：把握关键，找准思路

通过多视角、多维度审题，学生便会对问题的条件、所需迁移运用的数学知识形成大致把握，解题的准确性与效率也会因此而得到大幅度提升［3］.

例如 在人教版高中数学必修第二册“平面向量的运算”一课中，引导学生运用向量加法a+b≤a+b解决下题时，高中数学教师就要重点引导学生在分析问题的过程中剔除非必要因素，把握题目中的关键数学符号.

例1 长江是我国第一大河，全长约有6300km.在没有横跨长江两岸大桥的地方，常需要借助轮渡进行运输.如图2所示，轮船欲从长江南岸A地出发，垂直向长江北岸B地航行.此时，这艘轮船的行驶速度为20km/h，江水的水流速度为向东8km/h.

（1）以向量的方式表示江水的水流速度、轮船的船速与轮船实际的航行速度；

（2）求图2中轮船的实际航行速度大小与方向（结果保留小数点后两位）.

这是一道包含两个小问的数学问题，通过对问题的多角度审视，学生可通过数学建模、数形转化构建出轮船从长江南岸A地出发，垂直向长江北岸B地航行的路线图（图3），完成对第一小问的破解，即AB为轮船的船速、AD为江水的水流速度，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，即可用AC表示出轮船从长江南岸A地出发，垂直向长江北岸B地航行的实际航行速度.

而对于题中第2小问，启发学生，将学生的眼光与关注点有意引导到题干中“轮船的行驶速度为20km/h”“江水的水流速度为向东8km/h”与（2）问中“求图2中轮船的实际航行速度大小与方向”几处上，运用勾股定理与向量加法的三角形法则进行解题：

在Rt△ACD中，AD为长江水流速度8km/h，DC= AB同为轮船的行驶速度20km/h，所以根据勾股定理a2+b2= c2，

便有AC=AD2+DC2=82+202=464≈21.54，

因为tan∠CAD=DCAD=208=52，

所以∠CAD≈68.20°.

所以轮船的实际航行速度约为21.54km/h，方向与江水速度之间的夹角约是68.20°.

通过设置有目的性教学问题的方式将学生的眼光与注意力吸引到问题的关键点上，驱动学生围绕关键点展开对问题的深度分析与仔细琢磨，在日复一日的锻炼与训练中学生思维的敏捷性与灵活性也会得到有效提升与增强，高效解题、精准解题自然便会因此而易如反掌的实现［4］.

3 解题：活用思想，化难为简

随着新高考制度的持续深化，老师要让学生学会运用有效的数学思想方法化解难题，并在深刻理解把握数学思想方法精神实质的基础上，促使数学核心素养的有机发展［5］.

例如 在人教版高中数学选择性必修第一册“圆锥曲线的方程”一章教学中，高中数学教师就将结论法、特殊值法与数形结合法渗透到学生数学解题过程之中.

第1，用结论法解题.

例2 已知有椭圆方程x220+y26=1，点Q是该椭圆方程上的一点，M1、M2分别为这一椭圆方程的左右焦点.如果QM1·QM2QM1QM2=12，那么△M1QM2的面积是（  ）

（A）33. （B）23. （C）3. （D）33.

以正向思维分析问题，并按照常规解题方法解决这一选择题，多数学生会因计算量过大半途而废，并很难得出结果.对此，高中数学教师就可引导学生运用结论法逆向探讨这一问题：将题目解释为焦点三角形问题，让学生由此迁移运用已知的焦点三角形面积计算公式S△M1QM2=b2tanθ2便可口算出这一椭圆方程问题的结果，即33，选（A）.

第二，用特殊值法解题.

例3  M1，M2分别为椭圆O的左右焦点，点Q是该椭圆方程上的一点.且有QM1⊥QM2，∠QM2M1=60°，那么椭圆O的离心率是多少？

特殊值法是高中数学方程、函数问题解决中常用的解题方法，是一种结合已知条件对未知巧妙赋值创造解题条件，进而精准快速得出结果的数学解题方法.在本题中，高中数学教师可引导学生将QM1赋值为1，然后根据题干中的已知条件QM1⊥QM2，∠QM2M1=60°推导出M1M2=2，QM2=3，再根据椭圆离心率e=ca与椭圆定义、椭圆标准方程，即可得出e=2c2a=M1M2PM1+PM2=23+1=3－1，即O的离心率是3－1.

第3，用数形结合法解题.

例4 已知有倾斜角为30°的直线过双曲线方程x23-y26=1的右焦点M2，交双曲线于A、B两点，求AB.

高中数学教师可在学生细致审题、深度析题的基础上，鼓励学生根据题干绘制出相对应的图象（图4），由此学生便能够根据图象确定出双曲线方程的两个焦点M1－3，0，M23，0，进而得出直线AB的方程y=33x－3；随后，将双曲线方程x23-y26=1与直线AB方程y=33x－3联立消去y，得出x1，x2的值；最后，将x1，x2的值代入直线AB方程y=33x－3中，即可得出A、B两点的坐标分别为-3，-23，95，-235，AB的值，即问题结果自然便会在数与形的巧妙转化中浮出水面，即1635.

4 结语

总而言之，数学是一门具有极强规律性与逻辑性的教学学科.高中数学教师在实际的数学解题教学中，就要重视起对“授人以渔”思想的开发运用，让学生在教师有目的性的引导促进中实现“知其然，知其所以然”的深度数学学习，得到潜力潜能的充分开发.

参考文献：

［1］王丽杰.高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略［J］.数理天地（高中版），2022（20）：44-45.

［2］谢克仁.高中数学三角函数解题技巧探析建议［J］.学苑教育，2022（20）：62-63+66.

［3］张景胜.高中数学解题技巧及思路分析［J］.数理天地（高中版），2022（08）：36-38.

［4］張祖斌.高中数学圆锥曲线知识的教学方法及解题技巧研究［J］.天天爱科学（教育前沿），2022（04）：97-98.

［5］李峰.高中数学数列试题解题技巧探索［J］.试题与研究，2021（23）：33-34.