高中数学解题教学中证明题的解题技巧

方亮

【摘要】在高中数学解题中，证明题是重要的题型，也是学生解题中的难点，主要考查学生逻辑思维能力和分析能力.在证明题解题中，如果缺少合适的解题方式，会使得解题陷入困境.因此，作为高中数学教师，应当传授学生证明题解题技巧，帮助学生明确解题思路，提高学生解题效率，进一步提高学生数學成绩.本文分析高中数学解题中证明题的解题技巧.

【关键词】高中数学；证明题；解题技巧

在高中数学证明题解题教学中，教师应帮助学生牢固掌握与透彻理解数学规律、定理、公式与概念等理论知识为前提，教授给他们一些常用的、有效的做题方法，使其形成清晰、简洁的证明思路，掌握科学的证明方法.

1 运用综合法求解数学证明题

在高中数学解题教学中，证明题是一类典型的综合性题目，涉及的知识方面可谓是相当广泛，解答证明题时学生应具备较为全面的知识体系，只有这样才能完美地解决证明题.因此，高中数学教师首先可以指引学生运用综合法求解数学证明题，根据题目中提供的已知条件展开顺向推理，使其通过一系列推导得出结论，让他们证明结论的可靠性与真实性［1］.

例1 已知x，y，z是三个不全部一样的实数，请证明x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）.

根据不等式定理可以得到x4+y4≥2x2y2，x4+z4≥2x2z2，z4+y4≥2z2y2，

又因为x，y，z是三个不全部一样的实数，所以上述三个式子必然有一个无法取等号，

所以得到x4+y4+z4＞x2y2+x2z2+y2z2，

因为x2y2+y2z2≥2xy2z，x2z2+y2z2≥2xyz2，x2y2+x2z2≥2x2yz，

所以不等式x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）成立.

2 采用分析法求解数学证明题

在高中数学解题教学中，分析法是求解证明题的常用方法之一，属于逆证法的一种，学生需要体验从未知到已知的整个过程，对他们的逻辑思维能力有着较高要求.简单来说，使用分析法时，学生应当先假设题目中所证明的结论是正确的，再推理出可以确保这一结论充分成立的结果，而且这些结论肯定是已知的定理，已证明过的命题或者题设中的已知条件.

例2 已知a大于0，请证明a2+1a2－2≥a＋1a－2.

解 要想证明式子a2+1a2－2≥a＋1a－2成立，只需要证明式子a2+1a2＋2≥a＋1a＋2成立即可，由于a大于0，所以又能够推理出只需要证明式子a2+1a2＋22≥a＋1a＋22成立即可，把式子化简、整理以后能够得到4a2+1a2≥2a2+2+1a2，观察这一式子能够发现a2+1a2≥2，故说明上面不等式成立.

3 利用归纳法求解数学证明题

归纳法主要用来证明同正整数n相关的数学命题，这种证明方法有固定的流程，有着较高的识别度，通常是由一系列有限的特殊事例得出结论的推理方法.在高中数学证明题解题教学中利用归纳法时，教师应让学生清晰地意识到验证在整个证明过程中起着基础条件的作用，关键是对式子展开推理，使其在推理中精准找到递推关系，助推他们顺利证明结论［2］.

例3 请证明式子（3n+1）×7n－1可以被9整除.

解 当n＝1时，原式等于4×7－1＝27，27÷9＝3，说明能够被9整除，初步证明命题成立；假设当n＝k时，命题成立，原式等于（3k＋1）×7k－1可以被9整除；当n＝k＋1时，原式等于（3k＋4）×7k+1－1＝［（3k＋1）×7k－1］＋18k×7k＋27k×7k，根据归纳假设（3k＋1）×7k－1可以被9整除，由于18k×7k＋27k×7k也可以被9整除，故（3k＋4）×7k+1－1同样可以被9整除，所以当n＝k＋1时，该命题也成立.

4 应用函数法求解数学证明题

函数法顾名思义是采用函数方面的知识进行证明的一种解题方法，需发掘出研究对象中所包含的函数关系，结合函数概念、性质、基本规律与图像等相关知识深入分析与转化数学问题，最终实现证明结论的效果.对此，高中数学教师应引导学生认真阅读题目信息，仔细解读题干内容，使其从中找到相应的函数关系，让他们把原题转化成函数问题后加以证明.

例4 已知x＞0，y＞0，x＋2y＝1，请证明1x＋1y≥3＋22.

解 根据x＞0，y＞0，x＋2y＝1，能够得到y＝12（1－x），且x∈（0，1），这明显是一个函数，据此可知1x＋1y＝1x＋21+x，要想证明1x＋1y≥3＋22，只需要证明函数f（x）＝1x＋21+x的最小值是3＋22即可，这样就把这道证明题转变成求解函数最小值的问题，假定z＝1x＋21+x，这时能够把其转化成有关x的二次函数，且其在x∈（0，1）范围内有解，然后结合二次函数的性质与数形结合思想能够便捷地求解出其最小值是3＋22，由此题设得以证明.

5 使用反证法求解数学证明题

针对高中数学证明题解题教学来说，以上几种解题技巧都属于正向思维的运用，但是有的证明题较为特殊，虽然也能够基于正向视角展开证明，不过过程复杂，思路容易混乱，很难顺利地证明出来.这时高中数学教师可以引领学生使用反证法来求解证明题，使其假设题设中给出的结论不成立，然后往回推理，推导同已知条件相矛盾，间接证明结论的成立［3］.

例5 已知a，b，c都位于区间（0，1）里面，请证明（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a中，最少有一个小于或者等于14.

解 根据0＜a＜1可以得到1－a＞0，然后利用不等式结论能够得到（1－a）+b2≥（1－a）b＞14＝12，而针对b与c，采用同样的方式能够得到一样的式子，将三个式子相加将会得到32＞32，这明显是个矛盾，由此原命题成立.

6 总结

证明题作为高中数学解题教学中一类比较常见的题型，同其他题目类型相比解题难度较大，除掌握稳固的数学基础知识以外，还应具备较强的思维能力，高中数学教师在平常的解题训练中应给予高度重视，专门开设证明题专题训练，指导学生根据具体题目灵活选用综合法、分析法、归纳法、函数法与反证法等解题技巧，提升他们的解题水平.

参考文献：

［1］陈羿霖.高中数学证明题解题思考［J］.科幻画报， 2019（01）：89+91.

［2］周煊程.浅谈高中数学证明题的解题思路［J］.中外企业家， 2018（15）：131.

［3］王立振.构建解题思路 反思课堂教学——一类二元变量证明题的解题策略［J］.中学数学教学，2021（02）：43-45.