依托整体法高效解答高中数学难题

黄小钢

【摘要】数学属于高中课程体系中一门难度较大的学科，不仅知识难度有所提升，还与初中数学知识之间的跨度较大，试题难度系数在整体上也有所增大，学生遇到难度的几率较高，这时仅仅依靠常规方法很难舒畅、快速的完成解题，教师可引入整体法这一解题方法，使其基于整体视角切入，减少分析与运算对象，助推他们高效解答数学难题.基于此，本文针针对如何依托整体法高效解答高中数学难题作探讨，并罗列一系列解题案例.

【关键词】整体法;高效解答;高中数学;难题

整体法是从局部到全局的思维过程，是系统论中整体原理的运用，属于一种基于整体思路、快速运算的数学方法，能够有效提升学生的计算速度与处理各类数学试题的能力，广泛适用于各个教育阶段的数学解题之中，提高他们解题的准确度.在高中数学解题训练中，当遇到一些比较特殊的题目时，教师可指导学生与整体法为基本依托重新分析题干内容，使其找准整体法的切入点，将部分式子、图形视为一个整体，从而让他们高效解答数学难题.

1 依托整体代入法，高效解答数学难题

针对高中数学解题训练来说，整体代入法比较常用，主要用来解答一些代数类试题，通常是将一些具有关联性的算式视作成一个整体，通过适当变化之后代入到别的公式中，以此将无法确定的变量求解过程进行简单化处理，降低试题难度的同时减少解题步骤.整体代入法在高中数学解题中应用，难度不是特别大，学生可以用来解答多种类型的代数式试题［1］.

例1 已知函数f（x）=ax3+bsinx+2，f（－1）=10，求f（1）的值.

分析 本题主要考查学生将复杂问题变得简单化的能力，当很难从题干中已知条件中找到所求未知量时，难以确定条件和题设的联系，依托整体代入法能将题目中的未知量通过别的含有未知量的式子进行代替，由此实现消元求解的效果，他们可先找准整体部分，再根据函数知识完成解题.

解 可设函数φ（x）=ax3+bsinx，那么f（x）=φ（x）+2，

结合题意可知函数φ（x）是一个奇函数，

因为f（－1）=10

所以f（－1）=φ（－1）+2=10，

所以φ（－1）=8，φ（1）=－8，

所以f（1）=φ（1）+2=－8+2=－6，

所以说f（1）的值f（1）=－6.

在这一整体代入法中，是将“φ（x）=ax3+bsinx”视作一个整体，再结合整体是奇函数的特性解答难题.

2 依托整体换元法，高效解答数学难题

整体换元法是数学解题中极为常用的一种解题方法，具体到高中数学解题中而言，很多难度系数较大的题目都可使用这一方法，教师应要求学生先认真阅读题目内容与分析题干中的关键条件，找出涉及到的数学法则，結合解题需求设出未知数，即为整体换元，代表题目中部分公式值，由此减少一些不必要的解题步骤，算难度运降低，让他们求得正确结果.举例略.

3 依托整体运算法，高效解答数学难题

在高中数学解题教学中，部分题目中出现的式子较为复杂，有的则结构较长，显得难度很大，假如逐个进行分析和运算的话，不仅解题步骤较多，过程也很是复杂，教师应引导学生依托整体运算法展开解题，使其将试题中提供的已知条件同所求结论相结合，运用整体法解题，从而减少解题中的运算量，让他们实现快速、便捷的解题目的，并降低出错几率［2］.

例2 已知数列an的通项公式an=（2n－1）xn（x≠1），请问数列an的前n项和Sn的值是什么？

分析 解答本道试题时，可以先在数列的前n项和Sn公式左右两边同时乘以x，再利用错位相减的方式，即可求出Sn的表达式，然后依托整体法将代数式作变形处理，使之具有一的规律可循，最后同本公告整体运算求得结果，真正达到减少运算量的效果.

解 根据题意可知数列an的n项和Sn=x+3x2+5x3+…+（2n－1）xn①，

把式子①两边同乘以x，

整体变形之后可以得到xSn=x2+3x3+5x4+…+（2n－1）xn+1②，

②－①错位相减后可以得到（1－x）Sn=1+2x×1－xn-11－x－（2n－1）xn，

所以

Sn=（2n－1）xn+1－（2n+1）xn+（1+x）（1－x）2.

4 依托整体设元法，高效解答数学难题

整体设元就是根据题干中提供的已知信息和题设所求目标，设立出新“元”，据此找到解题的切入点.对于高中数学解题教学而言，部分题目中给出的信息较少，很难便利使用，显得难度较大，教师可指引学生依托整体设元法来解题，结合具体解题情况与需求基于整体视角进行思考，通过设立新“元”建立新等式、不等式、方程等，让他们顺畅破解难题.

例3 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

分析 本题题干可谓是相当简单，给出信息较少，假如直接计算难以下手，不过可依托整体设元法，根据题意设出新的方程，然后利用正弦的二倍角公式将非特殊角的三角函数变化为特殊角的三角函数，最终破解难题.

解 设A=sin10°sin30°sin50°sin70°，

B=cos10°cos30°cos50°cos70°，

A×B=12sin20°×12sin60°

×12sin100°×12sin140°

=116sin20°×sin60°×sin100°×sin140°

=116cos10°×cos30°×cos50°×cos70°

=116B

因为B≠0，所以A=116.

5 依托整体构造法，高效解答数学难题

整体构造指的是以认真阅读题干内容为前提，仔细分析题中条件的特征和结构，通过整体构造法转变成新式子或者新问题进行求解，降低题目难度.在高中数学解题教学训练中，教师可指导学生依托整体构造法处理部分难题，使其深入分析题目中出现的所有条件，研究各个条件之间的联系，以及同已学知识的关系等，让他们在整体构造法下顺畅解答难题［3］.

例4 已知cos（α+β）=14，cos（α－β）=16，请问tanα×tanβ的值是什么？

分析 处理这道题目时，可从三角函数的相关公式进行整体性思考，把题干中给出的两个已知条件当作整体展开构造与运算，有助于正确结果的获得，既能够减少运算步骤，还可以降低试题难度，可谓是最佳解题方案.

解 根据题意可得cosαcosβ－sinαsinβ=14①，

cosαcosβ+sinαsinβ=16②，

将两个式子联立起来能够得到一个方程组，

将coaαcosβ、sinαsinβ分别构造为一个整体，

所以coaαcosβ=512，sinαsinβ=－112，

将这两个式子相除即可得到

tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=－15.

6 结语

总而言之，在高中数学解题教学实践中，教师要格外留意一些难度系数较高的题目，平常做好理论知识的讲授工作，让学生解题时拥有雄厚、稳固的理论知识做铺垫，使其根据实际题目内容灵活运用整体法，通过整体代入、换元、运算、设元、构造等方法顺利突破难题困境，快速、准确的求得结果，提高他们的解题效率，继而增强解答数学难题的自信心.

参考文献：

［1］杨栎莘.数学思想方法在高中数学解题中的应用研究［J］.数学之友，2022，36（05）：70-72.

［2］杨效先.例谈整体思维在高中数学解题中的应用［J］.数理化学习（教研版），2021（12）：9-11.

［3］黎正再.利用整体法，突破数学难题［J］.试题与研究，2020（26）：21-22.