理性思维培养：核心素养下小学数学概念教学的根本

□李国强 苗珠珠

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“2022年版课标”）凸显核心素养，并把核心素养确立为数学课程目标。然而，在“中国学生发展核心素养”的总体框架（如图1）中，却不见“数学”二字。那么，数学学科在学生核心素养培养中的价值到底是什么呢？

图1 “中国学生发展核心素养”总体框架

一、数学核心素养指向理性思维的培养

数学学科具有抽象性和严谨性。通过数学学习，学生能够形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强理性精神。本质上，这与图1 中要发展的“理性思维”是一致的。具体而言，理性思维是人们把握客观事物本质和规律的思维活动，它具有明确的思维方向和充分的思维依据，是一种能对事物或问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的思维。在人形成理性思维的过程中，数学发挥着不可替代的作用。

根据2022 年版课标的要求，数学课程要培养学生的核心素养主要包括“三会”，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。数学源于对现实世界的抽象，通过符号运算、形式推理、模型构建等，形成结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。数学知识、方法与思想的获得需要经历观察、比较、分析、综合、抽象与概括等学习活动，学习过程中处处体现着理性思维。从培养数学核心素养的角度看，会用数学的眼光观察现实世界是“走进理性”，会用数学的思维思考现实世界是“体验理性”，会用数学的语言表达现实世界是“理性表达”。小学阶段核心素养的11个主要表现，是培养学生理性思维的载体和抓手（如图2）。总之，小学阶段数学核心素养的价值追求就在于“理性”，培养学生的数学核心素养就是发展学生的理性思维。

图2 小学阶段数学核心素养的“理性”追求

二、数学概念的教学蕴含丰富的理性思维

数学概念是客观现实数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映，是数学知识的“细胞”，是一切数学规则的基础。

小学生一般通过概念形成和概念同化两种方式学习数学概念。概念形成是指学生在学习数学概念的过程中，通过观察、比较、分析具体的事物，抽象概括出该事物的本质属性，然后将其推广到具有这些本质属性的某类事物中，明确事物的外延，是从具体到抽象再到具体的过程。概念同化是指基于学生原有知识经验，通过比较、分析、综合、概括、判断、推理等思维活动，给一类事物下定义，以揭示其本质属性，让学生充分认识原有概念和新概念之间的联系，改变原有知识的认知结构，使旧概念得到改组或改造，从而获得新的概念。总之，学生学习数学概念的过程是从具体事物到抽象本质的过程，充满了比较、分析、综合、概括、判断、推理等丰富的思维活动。

数学概念作为判断、推理、运算和证明的基础，是数学思维和数学交流的重要工具，因此，理解数学概念对学生学好数学至关重要。但若从学生发展的视角看，当他们从学校毕业走进社会后，很多数学概念都会被忘记，真正积淀下来、对其长远发展发挥作用的往往是学习数学概念过程中经历的比较、分析、综合、抽象、概括、推理等理性思维方式。从这个层面看，数学概念本身更像是概念教学的副产品，而学生理性思维的培养才是数学概念教学的根本。

三、核心素养下小学数学概念教学中理性思维的培养策略

（一）聚焦核心素养的主要表现，关注理性思维

核心素养的主要表现是培养学生理性思维的载体。因此，教师在设计教学时，不能只是简单地关注具体知识点，还要从更高的层面关注核心素养的主要表现，并以此作为教学目标组织教学。

例如，在“用字母表示数”的教学中，不仅要关注如何用字母表示数，还要从符号意识的高度，让学生经历从数到字母的抽象、概括过程，感受数学表达的简洁与准确；在“平均数”的教学中，不仅要关注平均数的含义与如何求平均数，还要考虑数据意识的培养，让学生养成“用数据说话”的证据意识及理性思维习惯。

很多教师在教学人教版教材四年级下册“图形的运动（二）”中的“轴对称”时，会把重点放在轴对称的性质及如何补全轴对称图形上。而2022年版课标中的“学业要求”是“知道轴对称图形的对称轴，能在方格纸上补全轴对称图形，形成推理意识”。因此，教师教学时，可设计诸如“你确定轴对称图形的依据是什么？”“补全轴对称图形时，为什么只要确定几个对应点然后连起来就可以了呢？”等问题，以此引发学生思考，培养学生的推理意识，发展学生的理性思维。

（二）重视数学概念的建构过程，凸显理性思维

数学概念是发展理性思维和建立数学知识体系的基本单位。数学概念的教学不仅要关注概念的内涵、外延，更要关注如何促进学生理性思维的发展，让学生在观察、分析、类比等思维活动中，积累抽象、概括、推理、辩证的思维经验，提升数学理性思维水平。

在数学概念教学中，较为突出的理性思维包括抽象思维、推理思维、类比思维、辩证思维等，以下作简要说明。

抽象思维：指舍弃物体的部分具体特征，在比较、辨析的过程中逐步得出同类事物共同的内在特征。如从文具盒、粉笔盒等实物中抽象出长方体。又如从“红萝卜是胡萝卜的3 倍”“黄花是蓝花的3倍”“男生是女生的3 倍”等具体的数量关系中，抽象出“3 倍”的概念。抽象思维能使学生对事物的感性认识转化为理性理解。

推理思维：指借助已有知识经验对新的概念进行比较、辨析，并作出判断。概念学习中蕴含推理思维。下面以“三角形分类”的教学片段进行说明。

（教师准备了几个装有三角形图片的信封，出示其中的一个信封，只露出一个直角，让学生猜猜里面是什么三角形）

师：里面是什么三角形？

生：我看到一个直角，这个三角形一定是直角三角形，因为有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。

（教师出示第二个信封，只露出一个钝角，让学生猜猜里面是什么三角形）

师：里面是什么三角形？

生：我看到一个钝角，这个三角形一定是钝角三角形，因为有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。

（教师出示第三个信封，只露出一个锐角，让学生猜猜里面是什么三角形）

师：里面是什么三角形？

生：我看到一个锐角，这个三角形可能是直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，因为这些三角形中都有锐角。

师：为什么这个三角形不一定是锐角三角形呢？

生：锐角三角形必须三个角都是锐角，而我只看到了一个锐角，所以不能确定这个三角形一定是锐角三角形。

师：怎样才能确定这个三角形一定是锐角三角形呢？

生：要看到三个锐角。

生：如果看到这个三角形最大的角是锐角，也能确定这个三角形是锐角三角形。因为连最大的角都是锐角了，那么其他两个角也一定是锐角，这个三角形也一定是锐角三角形。

学生借助不同三角形的概念进行推理，得出信封里装的是什么三角形，猜测、说理的过程很好地训练了学生的推理意识。

类比思维：对于相似的新旧概念，可以运用类比思维，将相似的属性进行比较，并借助内在逻辑，把相似属性迁移到新的概念中。如有一位教师借助类比思维，将“长度与长度单位”的教学方法运用至“面积与面积单位”的教学中，达到了良好的教学效果。

辩证思维：客观世界是“变与不变”的和谐统一，许多事物间的关系既对立又统一。反映客观事物的数学概念也是如此。比如：加法、减法、乘法、除法是四种不同的运算方式，统称四则运算，但四者又都可归结为加法运算；正多边形是直边形，圆是曲边形，但从极限的视角看，圆又可以看成边数无穷多的正多边形；等积变形中，图形的形状虽千变万化，面积却恒为定值。在概念教学中，引导学生感受不同概念中蕴含的辩证关系，既能帮助他们深刻理解概念，又能提高他们的辩证思维能力。

弗赖登塔尔说过：“与其说学数学，不如说学习数学化。”冯俊业教授进一步指出：“对学生而言，数学化就是‘从无到有、从粗糙到精致’的过程。”将其引申至数学概念就是：学生学习概念，不如说是学习概念化。数学概念的教学应让学生真切体会数学概念从无到有、从粗糙到精致的思维过程。

（三）揭示数学概念的本质，促进理性思考

数学学习依赖数学思考。如果数学概念的教学仅仅停留在表层理解与机械记忆，缺乏对数学概念本质的理解，那么概念教学就已经失去了它最本质的价值，理性思维培养也就无从谈起。

在教学数学概念时，教师应创造条件，引导学生深度思考“3W”：为什么要学习数学概念（why）？数学概念的内涵是什么（what）？该概念在数学知识体系中处于怎样的地位（how）？例如，在“认识方程”的教学中，除了让学生理解方程的定义和两个要素（含有未知数、等式），会识别方程，还要体现方程的本质，即数量（包括已知数和未知数）之间的等量关系（“结构性观念”），让学生认识到等号不仅具有指向作用，还体现为等量关系。在“扇形统计图”的教学中，要引导学生思考：有了条形统计图、折线统计图，为什么还要学习扇形统计图？为什么是扇形，而不是其他形状的统计图？在“比”的教学中，要引导学生思考：已经学习了分数、除法，为什么还要学习比？分数、除法、比之间有什么区别和联系？足球比赛中的1∶2 与数学中的1∶2 是一回事吗？等等。

在对数学概念的内涵与外延、数学概念的学习价值及相关概念内在联系等的深度思考中，学生对数学概念本质的理解更加深刻，对数学概念蕴含的理性思维的体验也更透彻。

（四）注重关键概念的教学，实现理性进阶

关键概念可以把教学主题内零散的知识联系起来，体现教学主题的内在本质，促进知识和方法的迁移，使学生体会到概念之间的关联互通，从而提升理性思维层次。同时，重视关键概念的教学还能实现触类旁通，达到“教是为了不教”的效果，进而切实减轻学生的学业负担。

例如，在数概念的教学中，教师要借助计数单位，突出整数、小数、分数之间数的概念的一致性，引导学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题，用数学的思维思考问题。同样，在量概念的教学中，教师要借助计量单位，沟通长度、面积、体积以及角度等概念，让学生在形成量感的同时，感悟量的概念的一致性。不管是角的度量，还是长度、面积和体积的度量，量都是借助数来表达的，都是计量物体含有计量单位的个数。由此可见，数概念与量概念具有一致性。

关键概念将零散的数学概念，依据共同的数学本质构建起富有整体化、系统化、逻辑化的知识体系，促进学生的思维进阶，进而发展核心素养。

（五）尝试概括数学概念，强化理性表达

会用数学语言表达是数学核心素养的“三会”之一，教师要重视培养学生利用数学语言描述和分析概念的能力。在数学概念的教学中，教师要引导学生通过观察、猜测等方式尝试描述概念，将自身的理解与概念本质进行多次对比，在逐步矫正的过程中，体会数学概念的简明性与严谨性。学生“尝试描述—揭示概念”的语言表达过程，既是将感知的概念特征内化为认知的建构过程，也是逐步舍弃事物的非本质属性而突出本质属性的理性表达过程。

例如，在“质数与合数”的教学中，教师先列出1～20各数，引导学生对这些数进行分类。当有学生提出可根据因数个数进行分类时，教师便让他们充分表达想法，充分经历概念的理性表达过程。下面是该教师的教学片段。

师：（教师用手指着2、3、5、7……）请大家认真观察，这些数的因数个数有什么共同的特征？

生：这些数都有两个因数。（板书：两个因数）

生：我要补充。这些数的因数只有1 和它本身。

生：我同意第二个同学说的。这些数的因数只有1和它本身，说明这些数只有两个因数，除了1和它本身外没有别的因数。（板书：1和它本身）

师：谁明白他的意思？

（再让几名学生进行表达）

师：看来我们得加上“只有”二字。

（教师用彩色粉笔在板书中加上“只有”二字）

师：在数学中，像这样的数叫质数，也叫素数。你能跟同桌说说什么叫质数吗？

师：自然数中，很多数的因数个数并非只有两个，如4、6、9，它们的因数个数是……

生：不是只有1和它本身，至少有三个因数。

生：也就是说，这些数除了1 和它本身外还有其他因数。

师：谁理解他说的意思？

生：比如4 这个数，它有三个因数，除了1 和本身的4以外，还有一个因数是2。

生：像6、8、9这几个数，它们都有除了1和本身以外的其他因数。

师：一个数，如果除了1和它本身外，还有其他的因数，这样的数就叫合数。你能跟同桌说说怎样的数是合数吗？

语言是思维的外显，是理性思维的观念载体。引导学生用语言描述进行推理的过程，不仅能使学生加深对概念的理解，体会数学概念的简洁、严谨，更能提高学生运用数学语言合乎逻辑地讨论和判断的能力，从而锻炼理性思维。

2022 年版课标的亮点之一是提出了数学核心素养。数学核心素养指向理性思维培养。数学概念的教学过程中蕴含着丰富的理性思维，数学概念的教学就是培养学生理性思维的过程。在以后的概念教学中，希望教师们重视学生的理性思维培养，并不断尝试探索小学数学概念教学的新路径，让核心素养真正在教学实践中落地生根、开花结果。