“数学画”是什么？

陈昱

“数学画”教学正式实施与研究已经近十年，什么是“数学画”？这是我们一直在做理性思考和实践回答的问题。

一、认识层面：“数学画”的概念内涵

对“数学画”概念的理解，我们经历了一个发展过程，试图从数学教学与儿童认知心理学角度阐释我们的实践依据和理性认识，即用认知心理学相关理论来解释“数学画”教学。现代知识论告诉我们，所有知识都具有符号、逻辑和意义三重结构和属性。我们恰好可以在这三重结构中找到属于“数学画”的定位。

（一）知识内容：从“数学画”到“数学化”

1.“数学画”首先是数形结合中的“形”，也可以叫“图画”“画图”。数与形历来是数学最基本的研究对象，“数学画”是小学生基于数形结合思想用直观之“形”表征抽象之“数”，或用精微之“数”阐释简达之“形”的一种数学学习方式。这里的“形”不仅指“几何图形”，也指“有形的具体物”。利用数与形的关系转化来完成数学理解。需要注意的是，这个过程是双向的，比如学生学习“0”，首先是“由形到数”的概念内涵的理解、概括，表现为从树上2个桃摘完、电线上5只鸟飞走、1大杯饮料喝完等大量的现实情境中逐步抽象出数0；然后是“从数到形”的概念外延的举例及概念内涵的说明，学生将心目中的“0”画出来。再比如第一次遇到鸡兔同笼这个复杂问题，学生利用画图辅助分析而厘清数量关系找到解决方法，顺利列式解决问题；再遇到此类问题，学生就能够直接列式解答，并且可以画图说明自己的思路。

2.“数学画”还是“数学化”，是从直观形象向抽象符号的过渡。不论直观形象还是抽象符号，也不论水平数学化还是更加抽象的垂直数学化，数学内容是相对固定的，变化的是对内容的理解程度。还以鸡兔同笼问题来说，从画图探究到列式解决，是对这一问题理解上的一次飞跃；再从列式解决单个问题到解决一类问题，并且可以辨别不同的变式，具体问题具体分析，则是在理解上实现二次飞跃。

（二）认知逻辑：由思维表征到思维进阶

1.“数学画”是小学生在数学学习中对数学理解以图画表征为主的多元表征。这是我们对“数学画”概念理解的一次飞跃，“数学画”不再囿于数学学科内部的数形关系，而引入布鲁纳与莱什的表征理论来审视和分析，凸显其思维表征的认知逻辑。以两位数进位加法为例，一方面画图是促进学生从摆小棒、拨珠子等动作表征向竖式计算的符号表征过渡的桥梁和媒介，另一方面画图也是学具操作、图示探究、言语说明、竖式记录等多元表征之一，多元表征的互证互补和相互转化是算理理解和算法掌握的途径与表现。

2.“数学画”也是小学生数学学习“理解—表征—交流—进阶”的思维工具。思维的内隐性决定了数学学习需要借助可视化工具来辅助，“数学画”就是这样的工具。比如对小数0.1，不同学生有不同的理解，通过“数学画”将各自的理解表征出来，就会呈现不同的水平层次，有的学生完全不理解，有的只能借助现实生活中人民币情境将其理解为0.1元就是1角，有的虽然也需要借助人民币情境但是能理解0.1元是将1元十等分后得到的元，还有的则能够脱离现实情境知道0.1是将1十等分得到的，进而领悟到小数是基于十进位值制对数系的一次扩展……因为不同水平层次的理解都表征出来了，所以可以交流，并在交流比较中促使每一位学生都能在原有水平上有所提升，实现思维进阶。

（三）意义构建：数学育人从内隐到可见

1.“数学画”是落实数学核心素养的育人手段。正因为可以对抽象符号进行具体内容的解构，也可以对认知结果进行思维过程的还原，所以“数学画”可以在解构与还原的学科实践中引导学生领会蕴含在知识中的价值意义，形成“关键能力”和“必备品格”。比如通过计算教学培育学生运算能力，不是简单告知学生计算法则并付诸大量计算训练就可以完成，以100以内退位减法为例，首先基于运算对象数的理解“画数”，两位数是几个十与几个一组成的；进而基于运算意义的理解“画减法”，相同计数单位才能相减，遇到个位不够减，可以从十位拿出一个十作为十个一放入个位再减（如图1）……通过画图探究算法表征算理，学生得以明晰运算对象及运算的意义，理解算法与算理之间的关系，形成运算能力，发展数学思维。

2.“数学画”也是育人效果可见的数学学习和学科实践方式。学生借助画数学可以清晰看见自己的思维，从而更好进行自我监控、自我评价、自我评估和自主学习，增强元认知水平，成为“可见学习者”；教师也可以借助画数学等手段进行更清晰地表达，学生得以见证自己的学习过程与结果，教師基于从形成性评价过程中收集到的证据进行有效的反馈，完成可见的数学学习。可见的数学学习超越积累知识和训练技能，指向体验或经历数学的美妙、逻辑、用途和乐趣，实现数学育人。说到底，“数学画”是一种学科实践活动，将以潜在的、隐性的方式存在于教材知识之中的育人价值揭示、挖掘、展现出来。

二、实践层面：“数学画”的发展逻辑

除了本身是学科实践，“数学画”教学的理性思考一直也是建立在坚实的实践探索之上的，即在学、教、研三个层面均追求“知行合一”。从实践出发，解决小学数学教学实践中的问题，“数学画”教学的发展过程就是一个问题解决过程。

（一）“数学画”在解决小学数学教学主要矛盾和核心问题过程中产生

儿童认知发展理论指出小学生主要处于“具体运算阶段”，思维活动需要具体内容的支持；而数学学科具有高度抽象性、严密逻辑性，这就形成了小学数学教学的一对主要矛盾，即小学生的认知心理特征与数学学科特性之间的矛盾。

怎样解决这对主要矛盾而引导小学生学好数学？这是小学数学教学的核心问题。

在长期的实践探索中，我们认识到，映象性表征是小学生较熟练掌握的认知表征方式，通过回归“数量关系和空间形式”数学本源，聚焦“数”与“形”的关系，利用数形结合思想方法，引导小学生用直观之“形”表征抽象之“数”，通过“数学画”找到矛盾契合点，可以帮助小学生理解数学概念、解决数学问题、提升数学思维。于是，“数学画”教学应运而生。

（二）“数学画”在小学数学教学落实“立德树人”过程中发展与推进

课改以来，数学教育指向人的发展在育人方式上发生了很大的改变，但实践中仍存在“重知识传授、课堂讲练、学科割裂、静态学习”诸特点以及教学低效、学生厌学等现象，不适应立德树人和培育学生核心素养的要求；“数学画”教学是新时代数学教学育人方式引发的教学实践思考的重要路径，怎样通过“数学画”教学培育小学生数学核心素养？这是我们着力解决的重点问题。

长期以来，“数学画”教学依据素质教育理论，聚焦小学生数学核心素养培育，重视沟通数学与生活及其他学科的联系，提倡围绕“画数学”的多元表征，以活动为载体，通过“数学画”课堂教学实践研究，分课型分学段地探索教学策略，实现数学育人。

（三）“数学画”在小学数学教学实现“数学化”思维进阶中创新与深化

新课程理念提出数学生活化，但处理不当将导致小学生数学思维意识被日常生活经验取代，无法很好完成“数学化”，数学学习效果大打折扣。怎样实现小学数学教学“数学化”思维进阶？这是小学数学教学的难点问题。

“数学画”教学是实现小学数学教学“数学化”思维进阶的重要认知手段。我们依据儿童认知发展和表征理论，配套开发学材，培养专业化教师队伍，发挥“数学画”从形象到抽象的桥梁作用，引导学生经历“再创造”，促进知识内化，完成“数学画”到“数学化”的升级。

如，我们经常利用“数学画”设计表现性任务、实施表现性评价、达成表现性目标，其中关键一步就是运用SOLO分类理论建立具体的“数学画”作品评价框架（如表1是关于鸡兔同笼问题探究的“画思路”作品的评价框架，其余“画概念”“画计算”“画结构”“画绘本”都会建立类似的作品评价框架），将学生作品按照理解水平进行分层分析和展评，引导学生思维进阶。

【注：本文系安徽省教育科学研究项目《基于学习路径分析的小学高年级“数学画”教学实践研究》（立项号：JK21075）阶段性成果】