如何用图象法解答三角函数问题

王继祖

图象法是解答三角函数问题的重要方法.运用图象法解题，需根据三角函数的解析式画出相应的图象，通过数形结合来求得问题的答案.图象法常用于研究三角函数的性质、解三角不等式、解答三角函数零点问题.下面结合实例探讨一下，用图象法解答这三类三角函数问题的思路.

一、利用图象法研究三角函数的性质

三角函数的图象可以直观地反映出三角函数的所有性质.在解答有关三角函数性质问题时，我们可以先画出三角函数的图象，通过研究和分析三角函数的图象，了解函数图象的变化趋势，进而确定函数的最小值、单调性、对称性、奇偶性、周期性、与坐标轴的交点等.

由图1可知[fx]的周期为[9π4-π4=2π]，则A项错误；

[fx]的减区间为[π4+2kπ，π+2kπk∈Z]和 [5π4+2kπ，3π2+2kπk∈Z]，则B项错误；

[fx]的最大值为[fπ4=22]，则C项错误；

[fx]图象的对称轴为[x=π4+kπk∈Z]，D项正确.故选D.

该三角函数式中含有绝对值，需去掉绝对值符号，用分段函数表示.再根据函数的解析式画出图象，通过观察图象，即可明确三角函数的周期、单调区间、最值、对称轴，从而快速判断出四个选项的对错.利用函数的图象去研究三角函数的性质，既清楚明了，又便捷.

二、利用图象法解三角不等式

解三角不等式，通常要用到三角函数的图象和性质.在解题时，可根据不等式的结构特征，构造出一个或两个三角函数模型，将问题转化一个三角函数图象上两点之间的位置关系问题，或两个三角函数图象之间的位置关系问题.通过研究函数的图象，便可找出使不等式成立的位置关系，进而求得不等式的解集.利用图象法解三角不等式，关键是确定函数图象的交点，或函数图象与x轴的交点，并根据图象找出满足不等式的部分曲线.

要使当x∈（0，2π）时，sinx>|cosx|，需使y=sinx的图象始终在y=|cosx|的下方，此时x∈[π4，3π4].故选A.

我们将三角不等式左右两边的式子分别构造成函数，即y=sinx与y=|cosx|；然后根据函数的解析式画出当x∈（0，π）时两个函数的图象.通过观察可发现，两个函数存在交點，于是求得两个函数图象的交点，并找出y=sinx的图象在y=|cosx|的图象下方的一段曲线，求出对应的x的取值范围，即可求得不等式的解集.

三、利用图象法解答三角函数零点问题

函数的零点是函数为0时x的取值，即函数图象与x轴的交点的横坐标.而三角函数的零点往往不会只有一个，因而在解题时，要先画出三角函数的图象，并找出一个周期内函数图象与x轴的交点；然后根据三角函数的周期性确定定义域内所有的零点以及个数.

根据零点的定义，令[fx=sin|2x|-cosx=0]，并将其变形得[sin|2x|=cosx]；然后构造两个函数[y=sin|2x|]和[y=cosx]；再画出两个函数的图象，便可通过观察图象确定函数在[x∈[-3π，3π]]内的零点的个数.值得注意的是，三角函数图象具有对称性，因此它的零点分布也具有对称性.

故函数[fx]与[gx]图象的所有交点的横坐标之和为[4048+1=4049]，即函数[hx=sinπ2x-e-x-1]的所有零点之和为4049，故选B.

解答本题，要先判断两个函数的对称性、周期性；然后作出两个函数的图象，通过分析图象，确定两个图象的交点的个数，进而求得答案.

例5.设[maxp，q]表示[p]，[q]两者中较大的一个.已知在[0，2π]内，函数[f（x）=max2sinx，2cosx].若[g（x）=f2（x）+（1-2m）f（x）+m2-m]有[6]个零点，则[m]的取值范围为_____.

本题看似较为复杂，其实仔细分析之后可以发现，要求m的取值范围，只需确保直线[y=m]和[y=m-1]与[fx]的图象有6个不同的交点.然后移动直线的位置，结合图象进行分析，找出直线[y=m]和[y=m-1]与[fx]的图象有6个不同的交点的情形，即可求得m的取值范围.

可见，在解答三角函数问题时，利用图象法，能让复杂的问题变得简单，抽象的问题变得直观.将数形结合起来，能有效地提升解题的效率.

本文系甘肃省教育科学“十三五”规划2020年度一般课题《面向核心素养的高中数学建模活动课研究》，课题编号：GS[2020]GHB4488.