思辨中彰显关联 演绎中由表及里——以“四边形的认识”教学为例

浙江宁波市海曙区鄞江镇中心小学 （315151） 潘梦瑶

推理是数学思维的主要表现之一，“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养的落实离不开推理意识的培育与发展。推理可分为从特殊到一般的合情推理和从一般到特殊的演绎推理。当前，小学阶段的推理教学更多地将关注点落在合情推理的渗透上，演绎推理的教学则主要集中于初中和高中。实际上，小学许多知识点的背后也暗含着演绎推理的思想，下面将以“四边形的认识”教学为例进行论述。

一、全局视角，深度剖析，探寻关键的思想理念

渗透重论据、讲逻辑的演绎推理能够有效促进学生理性思维的成长，助力学生辩证思维的萌发。

1.为“源”而理，着眼整体联系

首先，对认识四边形这一内容进行了单元内的横向梳理（如图1）。“四边形的认识”是人教版教材三年级上册第7 单元“长方形和正方形”的教学内容，这一单元的教学分为四边形和周长两部分：四边形→长方形→正方形，四边形周长→长方形周长→正方形周长。可以发现，这两条教学主线都是从一般走向特殊，这实际上就是演绎推理的过程。

图1 “长方形和正方形”单元

其次，对这一内容进行了纵向对比（如图2），发现“平面图形的认识”这一板块的教学编排上也体现着这样一条思想暗线：三年级本单元的内容是从一般走向特殊，后面平行四边形、三角形的教学也是如此，最后是从“一般”的直边图形走向“特殊”的曲线图形。可见，“四边形的认识”是图形认识领域演绎推理思想的初次渗透，是后续图形关系推理的基础。

图2 “平面图形的认识”板块

再从学习方法来看，掌握四边形、长方形、正方形的特征提炼技巧是本课的重点。在一年级时，学生已经有了根据外观辨认图形的经验，本课则是要帮助学生从表象认知水平进入到依托特征判断的定性分析水平。在二年级时，学生已经有了基于边、角认识图形的经验，本课以及后续的平行四边形、梯形、三角形都可以从这两个要素出发去研究。因而，在教学中凸显“边”和“角”这两个判断图形特征的要素，既能让学生的推理有依据、有方向，也能为学生的后续学习打下基础。

2.为“诊”而测，把握教学起点

为了更精准地把握学生对于四边形、长方形以及正方形的已有经验，以学定教，笔者抽取了城镇中心小学三年级全体学生（共225 人）进行前测，结果见表1。

表1 城镇中心小学三年级全体学生前测结果

从第1 题的作答情况中可以发现，学生借助点子图画一个任意四边形的正确率是较高的。问题在于，多数学生只能画出生活中常见的特殊四边形。这表明，学生对四边形的认知是不全面的。从第2 题和第3 题的作答情况可以看出，在辨认正向摆放的长方形和正方形时学生是没有问题的，将长方形和正方形倾斜放置后会对部分学生的判断产生一定的干扰，而那些非常近似长方形或正方形的四边形（打*的选项）是学生最容易错选的。这就反映出学生对这些看似熟悉的图形有一定的认识，但在辨别时缺少理性的判断方法和依据。可见，教学素材的选取以及判断依据的提炼是本课需要关注的点。

整体考量教材和学情可以发现，本课在整个“图形与几何”领域起着承上启下的作用。因此，本课仅止步于知识点的教学是远远不够的，知识背后的思想方法也尤为重要。挖掘与凸显方法的相似性，紧抓边和角，展开由表及里的演绎推理，既能帮助学生走出仅凭直觉判断的前经验，也能让学生形成图形关系探究的自主迁移能力。

二、站稳学生立场，强化推理，搭建有效的学习路径

如何让抽象的演绎推理在学生的脑海中鲜活起来呢？让学生完整地经历演绎推理的过程，是使其领悟并发展推理能力的有效途径。

1.顺藤摸瓜——拾“证据”基础，孕伏演绎推理

演绎推理是借助逻辑推演获取结论的一种思维方式，需要有一般性“证据”作为推理前提。四边形、长方形、正方形的特征便是本课演绎推理的关键证据。而边和角作为构成平面图形的两个基本要素，能为学生提炼特征、展开推理指明方向，以保证学生能够快速地寻得并列举出符合目标的“证据”。

（1）寓学于趣——着眼起点，凸显边角明方向

演绎推理的过程是抽象的，数学知识本身又较为枯燥，因此笔者以“四边形派对”为主情境展开教学（如图3）。

图3

“你心目中的四边形有怎样的特征？”这一问题，能促进学生新旧知识的衔接，让学生初步感知研究图形的要素，为后续的分类活动提供一定的标准和方向。

分类活动则是将学生“原认知”中的误区和难点直接暴露在课堂中，通过辨析帮助学生的思维逐渐聚焦到图形的边和角的特点分析上，使“证据”的提炼更具指向性。

（2）返璞归真——巧选素材，去除干扰明本质

演绎推理需要学生具有一定的抽象能力，让学生经历去除外在非本质要素、明确内在本质特征的过程，是提升抽象思维、发展辩证眼光的重要途径。合理选取和使用学习素材能有效助推学生寻得图形背后的秘密，习得透过现象看本质的能力。

层次一：多元表征，去“饰”留“形”

在特征提炼环节，笔者提供了形状、颜色、大小以及摆放方向各不相同的材料（见表2）供学生观察思考，让学生根据观察“边”和“角”的经验，准确提炼出这些看似不同的长方形、正方形的共同特征。

表2 “四边形”学习任务与素材

层次二：素材整合，求“同”存“异”

在上述探究活动结束后，笔者将素材（如图4）整理后再次展现在学生眼前。经过进一步的观察、分析、比较，学生对长方形和正方形有了更准确的认识。

图4

比较：观察这些刚才验证过的长方形和正方形，你有什么发现？

追问：为什么正方形始终是方方正正的，而长方形却有高矮胖瘦之分？

本次观察任务，以旧素材、新视角去分析长方形和正方形的特征，让学生进一步认识到影响长方形、正方形形状的仍旧是它们的边和角，即长方形的形状同时受到长和宽的影响，所以长方形会有不同的形状，而正方形无论边长是多少，它的四条边始终相等。

2.精准表达——用“证据”说话，外显演绎推理

演绎推理强调推理过程的严谨性，用规范的数学语言描述内在的思维逻辑是演绎推理得以发展的关键。

（1）“演”：关注过程——从合情走向合理

本环节若直接用语言描述，并不利于学生理解与接纳。为此，笔者给学生提供了彩色水笔和若干正方形、长方形卡片，让学生在边演示边解说的过程中清晰地呈现演绎推理的过程。

【教学片段1】如图5 所示，论证正方形的4 个角都是直角

图5

生：（大前提）首先通过对折发现正方形的4 个角完全重合，可以得到正方形的4 个角相等。（小前提）其次借助三角尺比照，发现其中一个角是直角。（结论）由此可以得到正方形的4个角都是直角。

【教学片段2】论证正方形的4条边都相等

生1：如图6所示，（大前提）通过上下对折发现红色的这组对边相等，左右对折发现蓝色的这组对边相等。（小前提）沿对角线对折发现红色和蓝色这两条邻边也相等。（结论）因此，正方形的4 条边都相等。

图6

生2：如图7所示，（大前提）第一次沿对角线对折发现红色这组邻边相等，蓝色这组邻边也相等。（小前提）第二次沿对角线对折发现红色和蓝色这两条邻边也相等。（结论）因此，正方形的4 条边都相等。

图7

以上学生给出的3 种验证方法其实都蕴含着“三段论”形式的演绎推理，即2个前提加1个结论。在说理时，教师应引导学生用逻辑语言来完整地表述推理过程，感悟“三段论”推理的模型。

（2）“绎”：抽出精髓——从对立走向统一

在演绎推理的过程中，不仅要让学生明确“证据”的可靠性，更应让其关注到“证据”背后的关联，从二元对立的思维中走出来，整体把握图形之间的关系，使得部分与整体的关系教学得以突破。

本课先由推理简单的关系入手，借助“形”来引发学生的认知冲突，通过“理”帮助学生摆脱刻板印象，让演绎自然发生。

【教学片段3】探究凹四边形是不是四边形

师（出示图8）：看看这个图形，你们的疑问消除了吗？它到底是不是四边形？

图8

生1：不是。因为它只有3个角。

生2：不是。因为它的第4个角在外面。

生3：是。因为它有4个角和4条直边。

师：四边形有4个角和4条直边，这个图形也有4 个角、4 条直边，符合四边形的所有特征，所以它也是四边形。

上述三位学生的推理过程实际都是省略形式的演绎推理，推理时把“四边形有4 个角和4 条直边”这个大家一致认可的大前提隐去了。尽管学生的表述并不属于严谨形式的“三段论”，但他们的推理过程是严密且富有逻辑的。教师可以有意识地带领学生做总结，为其进行更复杂的演绎推理打下坚实基础。

直观地展示图形间的关联是破除对立思维、展开深度推理的有效途径。因此笔者让4 个顶点“动”起来，呈现由普通凸四边形到长方形，再到长边缩短的长方形，乃至正方形的变化过程（如图9）。

图9

通过动态演示，学生能够直观地看到“边带动角”“角带动边”的过程，初步感知三个图形的关联。此时，借助问题“长方形是不是四边形？”“正方形是不是长方形？”，引发学生的思辨。在演绎推理中，学生的思维从直观过渡到抽象：因为四边形有4 条直边和4 个角，长方形也有4 条直边和4 个角，所以长方形是四边形；因为长方形的4 个角都是直角且两组对边相等，正方形也有4 个直角且对边相等，所以正方形是长方形。每一次都把推理依据与结论的过程说清楚，就能加深学生对四边形、长方形和正方形这三者本质的认识，帮助学生搭建起关系结构，养成“对立统一”的辩证思维。

3.见微知著——扩“证据”体系，伸展演绎推理

演绎推理的价值不仅在于得到一个科学的结论，还在于使学生掌握这种思维能力。恰当的沟通与联系，不但能凸显不同事物之间的相似性，还能使思想方法得以迁移。

师：这些留下来的四边形中，有你熟悉的“老朋友”吗？

生：有。梯形、长方形、正方形、菱形、平行四边形。

师：其实这些有特殊名称的四边形，除了有4个角和4 条直边，各自还有特点，我们仍然可以从角和边入手对它们进行更深入的研究。

师：以后我们还会学习前面提到的平行四边形、菱形和梯形，在研究它们时同样可以从边、角入手。这些图形与我们今天学过的图形存在着密切的联系，同样可以用关联的视角去推理验证。

平面图形的特征提炼过程存在相似性，甚至图形关系的推理过程也存在相似性。借助语言外显图形内在的联系，能为新知识与新结论的获取指明方向和思路，能让学生的思维完成从此类到彼类的跨越，进而让演绎推理的迁移有迹可循。

综上，教师在日常教学中应不断挖掘教材背后的演绎推理，帮助学生养成抽象辩证的“数学眼光”，形成注重逻辑的“数学语言”，达成严谨审慎的“数学思维”，让核心素养真正落地。