ChatGPT辅助设计 HPM课例 :尝试与感悟

2023-10-31刘梦哲孔雯晴汪晓勤

教育研究与评论（中学教育教学） 2023年9期

刘梦哲孔雯晴汪晓勤

摘要：设计《椭圆及其标准方程》HPM课例时，向 ChatGPT提出为何要用数学史、有何数学史、如何运用数学史三个方面的问题，并分析其回答，发现 ChatGPT在设计 HPM课例时表现出较大的局限性，对所提的问题没有给出很好的回答。因此，使用 ChatGPT辅助设计 HPM课例需要注意：在批判中完善 ChatGPT给出的史料 ;在借鉴中创新 ChatGPT设计的教学。

关键词：ChatGPT;高中数学 ;数学史 ;HPM;椭圆及其标准方程

作为信息技术的发展趋势，人工智能技术已经对包括学校教育在内的各种传统行业产生了重要而深远的影响。[1]作为生成式人工智能的代表，ChatGPT一经问世，便以其友好的交互性和超强的学习能力，引起社会各界的广泛关注。[2]教育界更是对 Chat-GPT在教育领域应用的利弊展开了广泛的热议。可以肯定的是，ChatGPT可以为教师提供丰富的教学资源和工具 [3]，ChatGPT的出现及其在教育领域的应用发展必将助推人工智能时代教育行业产生更新、更深远的变革 [4]。

近年来，HPM（数学史与数学教学之关系）视角下的数学教学（具体的指向是将数学史融入数学教学），因其新颖的理念、独特的风格和显著的成效，受到越来越多数学教师的关注。然而，数学教师在设计 HPM课例时，往往对融入数学史的内容和方式存在障碍。[5]对此，我们想到可以利用 ChatGPT来辅助完成，但不知效果究竟如何。于是，我们对《椭圆及其标准方程》一课进行了尝试。

*本文系上海高校立德树人人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目 “数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究 ”（编号：A8）的阶段性研究成果。

一、ChatGPT辅助设计 HPM课例的尝试数学教学需要解决好 “Why”“What” “How”的问题 [6]，HPM课例设计亦是如此。所谓 “Why”，即 “为何 ”要将数学史融入本节课的教学 ;所谓 “What”，即 “有何 ”与本节课有关的数学史（素材）;所谓 “How”，即“如何 ”将数学史融入本节课的教学。设计《椭圆及其标准方程》HPM课例时，我们向 ChatGPT提出了这三个方面的问题，并分析了其回答。

（一）关于 “为何 ”

我们向 ChatGPT提出 “为什么要将数学史融入 ‘椭圆及其标准方程 ’的教学 ”的问题，得到如下回答：

1.提高学生的兴趣和积极性。学生通常觉得数学难以理解和乏味，但当数学问题与历史文化相结合时，学生的兴趣和积极性通常会提高。因此，将数学史融入教学可以让学生觉得数学不是一个枯燥的学科，而是一个积累知识与思考的深度学科。

2.激发学生的探究欲。数学问题存在于历史和文化的背景中。将数学史的知识呈现给学生，他们会开始思考问题的背景和历史文化对问题的影响，从而进一步探究数学问题的本质。

3.增加学生对数学概念的理解。融入历史背景可以帮助学生更深刻地理解数学概念和规则。通过学习数学史，学生可以领略到一种全新的数学方法，更好地理解数学概念和规则，掌握数学的真谛。

4.引导学生发掘知识并解决实际问题。数学史融入教学，可以让学生更好地了解数学背景和知识体系，从而引导他们从更深层次、更广阔的视角探究知识，并更好地应用数学来解决实际问题。

ChatGPT给出了 4条理由，涉及兴趣、动机、理解和应用四个方面，但这些理由并未与教学内容相结合：上述回答中未出现 “椭圆 ”二字，也未出现与本课题有关的字眼 ;上述回答通常以 “将数学问题与数学史结合，有助于……”的形式表述，但是并未对 “数学问题 ” “数学史 ”“结合方式 ”等内容作出详细说明。

事实上，早在 1991年，英国数学史家福韦尔（J.Fauvel，1951—2000）就总结出了在数学教学中运用数学史的 15条理由 [7]，如有助于学生对概念的理解、改变学生的数学观、为学生提供探究的机会等。

在已有教学案例中，有教师通过折纸活动和 GeoGebra演示，让学生发现折痕围成的图形是椭圆，由此抽象出椭圆中的定量关系，并总结出椭圆的定义，推导出椭圆的标准方程[8];有教师引领学生探究不同的动点轨迹，由此引出椭圆的定义，并引导学生合理选取坐标系，建立椭圆的标准方程 [9]。上述教学从不同的探究活动中引出椭圆及其标准方程，但是并未解决学生心中 “为什么将椭圆、双曲线和抛物线称为圆锥曲线 ”“椭圓的标准方程是否还有更简便的推导方法 ”等困惑 [10]，不免使学生产生定义识记不清、方程记忆不准、运算能力不足等问题。实际上，当我们翻开历史的画卷，圆锥曲线的截面定义、旦德林双球模型、标准方程的推导方法等史料无疑可以解答学生的困惑。若教师将上述史料融入本节课的教学，还可以帮助学生更好地认识椭圆、求解椭圆，经历椭圆知识的发生发展过程，并在讨论中化简椭圆的标准方程 [11]，这恰好对应上述福韦尔给出的三条理由。

可见，ChatGPT只是泛泛地给出了数学史融入教学的价值，既没有结合本课题作出具体分析，也没有看到已有教学设计的不足。

（二）关于 “有何 ”

我们向 ChatGPT提出 “有什么与椭圆的定义和方程有关的历史材料 ”的问题，得到如下回答：

椭圆是一种平面几何图形，其定义为到两个定点（称为焦点）的距离之和等于定长（称为主轴长）的所有点的集合。椭圆在古希腊时期就已经被研究，但直到17世纪才被完整地描述和定义。

最早对椭圆的研究可以追溯到公元前 6世纪的希腊数学家阿波罗尼奥斯，他在研究椭圆的轴对称性质方面作出了重要贡献。公元2世纪的托勒密在其著作《天文学大成》（Almagest）中讨论了椭圆的构造方法，但没有明确给出椭圆的定义。

17世纪时，焦点和直线的几何性质得到了深入研究。法国数学家勒内 ·笛卡儿和德国数学家约翰内斯·开普勒在描述行星运动时使用了椭圆轨道。英国物理学家艾萨克 ·牛顿在其著作《自然哲学的数学原理》中描述了椭圆的几何性质和方程，并指出了它在行星运动中的应用。

椭圆的标准方程为：x222=1（其中，a2 +yba和b分别为椭圆的两个半轴长度）。这个方程最早由德国数学家雅各布 ·伯努利提出，并被后来的数学家广泛使用。

总的来说，椭圆的历史可以追溯到古希腊时期，但其完整的定义和描述需要等到 17世纪才被建立。至今，椭圆在数学和物理学中仍具有重要的应用和意义。

仔细分析不难发现，ChatGPT搜集的史料有一些问题：

首先，数学史料的选取不符合融入数学教学的五项原则：科学性、人文性、有效性、可学性和趣味性。[12]一者不符合科学性。从 ChatGPT给出的回答中可以清晰地看到几个科学性错误。如，阿波罗尼奥斯（Apolonius，约前 262—约前190）所处的年代是公元前3世纪—公元前 2世纪，不是公元前6世纪;托勒密（Ptolemy，约85—约165）撰写的《天文学大成》中没有讨论椭圆的构造方法，等等。总之，ChatGPT只是将不同来源的内容综合在一起，但内容的科学性有待考证。

二者不符合人文性和趣味性。ChatGPT的回答虽然提到了古希腊时期至 17世纪期间多位数学家对椭圆的研究成果以及椭圆知识在行星运动中的应用，试图反映数学背后的人文精神以及数学与物理等学科之间的联系，但是没有对与之有关的研究成果或应用作出具体介绍。

三者不符合有效性和可学性。本节课的首要任务是“掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质”，但是，ChatGPT的回答仅提及椭圆的第一定义和标准方程，并没有对椭圆的几何性质、标准方程的推导方法等作出进一步讨论。同时，ChatGPT面向的对象是个体，其难以选取出符合全班大多数学生认知基础的史料。

其次，数学史料的呈现不完整。Chat-GPT的回答首先追溯到古希腊时期的阿波罗尼奥斯，介绍了圆锥曲线的起源，然后直接跳跃至17—18世纪笛卡儿（R.Descartes，1596— 1650）、开普勒（J.Kepler，1571—1630）等数学家对椭圆性质和应用的研究。可见，ChatG-PT仅简单列举历史上几位数学家在椭圆发展过程中的贡献，对這一内容的数学史的介绍不完整。这里所说的 “不完整 ”有两层含义：

从整体看，对历史脉络的介绍不完整。事实上，从公元前 4世纪人们开始认识圆锥曲线到椭圆标准方程的出现，时间老人走过了两千多年[13]，其中，不同数学家对椭圆的定义、标准方程、性质的研究更是百花齐放，而 ChatGPT只展示了冰山一角。

从局部看，对某一数学家贡献的介绍不完整。例如，阿波罗尼奥斯使用对顶斜圆锥来表示圆锥曲线，并在《圆锥曲线论》中给出并证明了椭圆的基本性质：从椭圆上两点分别向直径作两条线段与共轭直径平行，则两条线段的平方比等于直径上两条相应线段乘积之比。[14]对该内容，ChatGPT只提及阿波罗尼奥斯研究了椭圆的性质，而未做详细说明。于是，我们向其追问 “阿波罗尼奥斯对椭圆的研究 ”，得到如下回答：

阿波罗尼奥斯是一位古希腊的数学家和天文学家，著有《圆锥曲线论》等多部著作。在《圆锥曲线论》一书中，他详细地研究了椭圆、双曲线和抛物线这三种圆锥曲线。

具体来说，阿波罗尼奥斯在他的著作中对椭圆做了深入的探讨，他提出了椭圆的定义，并且给出了椭圆的焦距定理，即一个椭圆上的点到两个焦点的距离之和是定值。他还通过对椭圆的研究，发现了许多椭圆的性质和规律，如椭圆的面积公式等。阿波罗尼奥斯的这些成果对后世的数学研究产生了深远的影响，椭圆也因此成为数学研究中的重要课题之一。

该回答依然是概述性地提及阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中的研究，并未展开说明椭圆的基本性质是什么以及如何证明。

最后，数学史料缺乏教育取向。教育取向的数学史研究需要从两个方向展开：一是对概念的不同定义、定理和公式的不同证明或推导方法、法则的不同解释、知识的不同应用以及数学史料的呈现方式、教育价值观等进行分类统计 ;二是在研究对象所在的整个时间段内，分析不同定义、性质、方法、应用等的演变规律。[15]然而，从 ChatGPT的回答来看，其对椭圆的定义、方程推导方法的类别和演变只字未提，也未提及历史材料在教学中可能的运用方式。

从现有情况可见，我们仍然需要完成史料搜集工作，可从原始文献和二手研究文献中搜集、整理出比 ChatGPT提供的更准确、更完整的历史材料。

此外，ChatGPT只停留在史料搜集的层面，还没有上升到整理、加工的层面。这也需要我们进一步完成。

（三）关于 “如何 ”

我们向 ChatGPT提出 “如何运用上述历史材料设计融入数学史的 ‘椭圆及其标准方程’的教学 ”的问题，得到如下教学目标和教学过程：

【教学目标】

1.了解椭圆的定义和性质。

2.理解椭圆标准方程的含义和推导过程。

3.了解椭圆在数学史上的重要地位。【教学过程】

1.引言（10分钟）

简单介绍椭圆的概念，并通过展示历史上著名数学家如牛顿、开普勒等人在天文学中如何应用椭圆，激发学生的学习兴趣。

2.学习椭圆的定义、几何特征及参数方程（30分钟）通过讲解椭圆的定义和基本特征，引导学生掌握椭圆的基本概念。

通过参数方程，让学生更深入地了解椭圆的长短轴、焦点、离心率等基本性质。

3.椭圆的标准方程及其推导（40分钟）

通过对牛顿、欧拉等数学家关于椭圆标准方程的研究成果进行讲解，探究椭圆标准方程的来源和推导。

以椭圆的离心率为重点，让学生通过讲解离心率的定义、计算以及与椭圆形状的关系，进一步理解椭圆的标准方程。

4.案例分析及实践操作（40分钟）

精選实际问题，如利用椭圆建立地图、利用椭圆计算天体轨迹等，进行案例分析，引导学生灵活运用所学的数学知识解决实际问题。

通过实践操作，让学生掌握椭圆图形的绘制和计算、标准方程的运用等关键技能。

5.结语（10分钟）

总结椭圆及其标准方程的学习内容和技能，鼓励学生在实际生活中发掘更多椭圆的应用场景。

提醒学生学习数学不要忘记历史，鼓励他们将所学的数学知识运用到更多的领域。

首先，来看教学目标的设计。《普通高中数学课程标准（2017年版 2020年修订）》（以下简称“课标”）在“课程内容”中指出：了解圆锥曲线的实际背景和作用，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程以及简单几何性质，了解椭圆的简单应用。[16]从知识的层面看，ChatGPT给出的教学目标与课标中的要求基本契合：内容覆盖了教材中 “椭圆及其标准方程”一节的知识点，对“了解”“掌握”等词的使用也较为准确。

然而，从三维目标的角度看，ChatGPT没有给出思想方法和情感态度层面的教学目标。例如，运用和差术与平方差法推导椭圆的标准方程，有助于培养学生的数学运算和逻辑推理素养;经历椭圆概念的发生、发展过程，有助于学生感受数学文化，体会数学家坚忍不拔的探究精神，培养理性精神。事实上，知识背后蕴含着丰富的思想方法，这正是令学生终身受益（“带得走”、素养性）的内容，也是培养创新性人才不可或缺的内容[17]。而 ChatGPT恰恰忽视了超越知识本身的内容以及其中人的因素给学生带来的重要影响。

其次，分析教学过程的设计。数学史的教育价值包括知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅和德育之效六类[18]，我们可以从这六大价值入手来分析。

第一，椭圆的定义包括截面定义、第一定义和第二定义，截面定义可以帮助学生解决 “为什么将椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线”的问题，而旦德林双球模型可以帮助学生建立截面定义和第一定义之间的联系。 ChatGPT的设计仅运用了 17世纪以后的史料，而忽视了椭圆的起源。对此，我们向其追问，得到如下回答：

椭圆的历史可以追溯到公元前 1500年左右的埃及，当时埃及人使用椭圆来绘制太阳在不同时期的轨迹。古希腊数学家阿波罗尼奧斯于公元前3世纪对椭圆进行了系统研究，并发现了椭圆具有一些特殊的性质。例如，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个定值，椭圆的周长和面积也可以通过数学公式计算。在不久之后，古罗马数学家埃拉托色尼也对椭圆进行了研究，将椭圆与抛物线、双曲线一起称为 “锥曲线”。这些研究为后来的代数几何学和微积分学等学科奠定了基础，而椭圆的运用也十分广泛，比如在建筑、工程、天体力学、电磁场理论和密码学等领域都有应用。

该回答依然没有明确给出截面定义，只是提及 “锥曲线”，暗示椭圆、双曲线、抛物线与锥体之间存在联系，而且没有指出用何种平面截圆锥可以得到三条圆锥曲线。基于如此内容的教学，并不能帮助学生构建知识之谐。

第二，历史上推导椭圆标准方程的方法丰富多彩，包括居西尼（N.Guisnée）的几何法、洛必达（L..H.pital）的和差术、斯蒂尔（R. Stel）的三角法、赖特（J.M.F.Wright）的平方差法等。[19]然而，ChatGPT并未给出推导椭圆标准方程的多种方法。于是，我们向其追问，得到如下回答：

1.几何法：根据已知的椭圆长轴和短轴，通过计算椭圆上的点到两个焦点距离之和，并运用两点之间距离公式，得到椭圆的标准方程。

2.向量法：将椭圆上的点表示为向量的形式，运用向量的性质和定义，建立椭圆的方程组，通过解方程组得到椭圆的标准方程。

3.解析几何法

：利用椭圆的对称性，将椭圆上的点表示为一般点 P（x，y），根据椭圆的定义，列出椭圆的方程，并通过配方法化简方程，得到椭圆标准方程。

4.参数方程法

：根据椭圆的参数方程，将 x和y用参数 t表示，加以整理化简，得到椭圆的标准方程。

5.矩阵法

：将点的坐标表示为矩阵的形式，运用矩阵的代数性质和椭圆的定义，建立椭圆的矩阵方程，并通过矩阵的运算，得到椭圆的标准方程。

这里，ChatGPT实际上只给出了一种方法：只有 “几何法 ”对应于教材中的方法，其他方法都不具备可操作性。

同时，历史上数学家给出的推导方法中蕴含着化归、分类讨论等思想方法。可惜的是， ChatGPT对各种推导方法一无所知，更谈不上在教学中渗透思想方法。故而，ChatGPT设计的教学无法彰显方法之美、实现能力之助。

第三，在已有的 HPM课例中，教师让学生经历 “旦德林双球模型的建立 ”“椭圆标准方程的推导 ”的探究过程，由此串联从截面定义到第一定义，再到标准方程的教学内容。[20]与之对比，ChatGPT已有将探究活动融入教学的意识，如探究标准方程的推导，但并不全面（如没有提及旦德林双球模型），因此，所谓的探究只能是纸上谈兵，并不能为学生营造探究之乐。

第四，HPM课堂的数学文化内涵可以分为知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐和多元文化五个方面。[21]ChatGPT在教学内容和设计中既提及了椭圆与天文学的联系，又提及了椭圆在工程、建筑、航空等领域中的应用，从而关注了学科联系和社会角色这两个方面，但是没有给出联系与应用的具体内容。同时，ChatGPT也没有关注到其他三个方面。例如，尽管在历史素材中提及了椭圆从古希腊时期至 17世纪的研究，但是在教学设计中只字未提，因而错失了呈现多元文化的好机会。可见，这一教学设计在文化之魅的展示上是有一定缺失的。

第五，数学史的德育价值可以分为理性、信念、情感和品质四个方面。[22]一方面， ChatGPT虽然介绍了不同数学家对椭圆这一课题的贡献，但是并未点出数学家背后坚持不懈的探索精神 ;另一方面，ChatGPT没有具体介绍椭圆与其他学科、实际生活之间有何联系。这不免让数学史的融入流于表面。可见，ChatGPT没有充分关注到德育在数学教学中的重要性，设计的教学未能达成德育之效。当然，ChatGPT在结语中提及 “提醒学生学习数学不要忘记历史 ”。这确实为学生指明了学习数学一条道路。

总之，ChatGPT不仅忽视了思想方法和情感态度在数学教学中的重要价值，同时，设计的教学过程在数学史六大教育价值的达成情况上也有所欠缺。

二、两点感悟

综上，我们看到 ChatGPT在设计 HPM课例时表现出较大的局限性，对为何要用数学史、有何数学史、如何运用数学史等问题没有给出很好的回答，但是，ChatGPT仍然能够为我们设计 HPM课例提供一些帮助。对此，我们需要注意：

第一，在批判中完善 ChatGPT给出的史料。面对海量的数学史料，教师往往难以从文献中找到与所要设計的课例有关的史料。而 ChatGPT拥有强大的数据库，它能根据输入的关键词快速输出有关的史料。虽然 ChatGPT给出的史料在时间、人物、内容等方面会出现张冠李戴的情况，但这也为教师指明了寻找史料的方向。例如，上述教学设计中，回答 “有何 ”问题时，ChatGPT提及阿波罗尼奥斯、托勒密、开普勒等数学家研究过椭圆。由此，教师不妨系统阅读与这些数学家有关的文献，进而依据史料选取的五项原则，整理出准确的史料用以设计教学。

第二，在借鉴中创新 ChatGPT设计的教学。ChatGPT编写教案的效率很高，提供的框架在数学内容方面也较为完整，但也存在形式较老旧、缺少个性化内容等问题。因此，教师在利用 ChatGPT辅助设计 HPM课例时，可以借鉴其给出的框架，并结合学生的认知基础，加入具体的教学情境和个性化教学内容 ;结合已有的数学史料，融入思想方法、德育元素，尽可能地发挥数学史的六大教育价值 ;或重构式地设计教学 ;等等。

教育的本质是创新，教师与 ChatGPT最大的区别正在于创新。未来，教师也许可以将 ChatGPT视为自己的好帮手，借助这一工具更快地搜索到已有历史研究和教学研究的内容。在此基础上，教师要继续思考如何有所突破，如搜集新的数学史料、重构式地设计教学等，并与 HPM专业学习共同体进行研讨，才可能设计出好的 HPM课例。

参考文献：

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