关联运动说关联

2023-10-30马仕彪

高中数理化 2023年18期

马仕彪

(安徽省濉溪中学)

关联运动是指物体间通过一定的连接方式,从而使其运动发生联系的运动.弄清楚关联运动所关联的物理量是理解关联运动的最基本的要求,也是最有效的方法.关联运动的实质是运动的合成与分解,而矢量的合成与分解满足平行四边形定则或三角形定则.本文主要从关联运动关联的角度进行多维度研究,以真正理解关联的思想.

1 从一个经典关联运动模型说起

模型A、B两物体通过细线按照如图1所示的方式连接,某时刻细线OA与水平方向的夹角为α,A的速度为vA,B的速度为vB,请讨论vA与vB之间的关系.

图1

方法1运动效果法

如图2所示,A的实际运动方向向左,即A的合运动方向向左,由于A的运动产生两个效果,其一是使细线OA变短,其二是围绕O点转动,因此可以将vA沿着细线和垂直细线方向进行分解,分量分别为v∥＝vAcosα,v⊥＝vAsinα,而B的速度vB恰好沿细线方向,因为细线总长度一定,所以有vB＝v∥＝vAcosα.

图2

方法2机械能守恒法

因为A、B两物体组成的系统满足机械能守恒定律,细线对系统做功代数和为零,即细线对A、B两物体做功功率大小相等,由功率定义有FvAcosα＝FvB,化简得vB＝vAcosα.

方法3极限位移法

如图3所示,从初始位置经过极短时间Δt内,△OO″A′近似为等腰三角形,即OO″≈OA′,细线OA缩短了ΔxOA＝xOA—xOA′＝vAΔtcosα,细线OB伸长了ΔxOB＝vBΔt,由于细线总长度不变,所以满足ΔxOA＝ΔxOB,化简有vB＝vAcosα.

图3

方法4数学思想法

如图4所示,对初状态应用勾股定理,有

图4

对经过极短时间Δt时应用勾股定理,有

两式相减,有

2 应用举例

例1如图5所示,连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动,连杆OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆AB使滑块A在水平横杆上左右滑动.已知OB杆长为R,其绕O点以角速度ω做逆时针方向的匀速转动,当连杆AB与水平方向夹角为α、AB杆与OB杆的夹角为时,求滑块A的速度vA.

图5

如图6所示,A、B两者的速度沿杆AB方向的分量相等,而B的合速度为圆周运动的线速度vB＝ωR,方向与OB相垂直,因此有vAcosα＝

图6

方法2数学思想法

如图7所示,设杆AB的长度为L.对初状态应用余弦定理,有L2＝R2＋AO2—2R·AOcos[π—(α＋β)].经过极短时间Δt时,仍应用余弦定理,有

图7

两式结合有

化简得

化简有

讨论与总结

1)当β＝180°,α＝0°时,即B处于AO之间,此时vA＝0,A运动到最左端;

2)当β＝0°,α＝180°时,即O处于AB之间,此时vA＝0,A运动到最右端;

3)当β＝90°时,即AB与OB垂直,此时A的速度最大,最大值为;

例2如图8 所示,质量均为m的小球甲、乙用一长为L的细杆相连,甲球靠在光滑竖直墙面上,乙球置于光滑的水平地面上.开始时,杆与水平面的夹角为60°.释放后甲球沿竖直墙面下滑,乙球右滑,当细杆滑至与水平面成θ角时,甲刚好离开墙壁,求此时的θ角和乙的速度.

图8

令

将K对θ进行求导有

例3如图9所示,滑块A、B的质量均为m,A套在倾斜固定的直杆上,倾斜杆与水平面成45°角,B套在水平固定的直杆上,两杆略分离不接触,两直杆间的距离忽略不计,两直杆足够长,A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆(初始时轻杆与水平面成30°角)连接,将A、B由静止释放,不计一切阻力,滑块A、B可视为质点,重力加速度为g,下列说法正确的是( ).