应用主题式教学设计提升数学教学有效性——以“图形的变换”复习为例

许晓芳

⦿江苏省苏州市吴中区光福中学

主题式教学设计是当下数学教学的一种重要教学形式.教学中,教师对某一数学知识领域的内容进行深入的研究,通过合理的整合与提炼形成独特的见解,整理归纳形成独特的教学构想,以此为主题式教学设计提供基础.笔者以“图形的变换”为例,通过对相关内容的整合与提炼开展主题式教学活动,以期帮助学生建构完善的知识体系,提升学生的数学迁移和运用能力.

1 整合

1.1 建构知识体系

图形变换的相关内容贯穿于整个初中数学学段,是初中数学教学的重点.在复习阶段,可以创设问题情境引导学生通过师生、生生的有效互动建构知识框架图,从而让学生从整体的角度理解和把握相关知识,形成知识体系,提高学生的数学迁移能力.在此过程中,师生通过互动交流得到了如图1所示的知识框架图.

图1

由此可见,在知识整合的过程中,不仅要关注知识间的直接联系,也要关注知识间的间接联系,同时还要关注具体知识结构间的衔接处,以此通过经历由具体到抽象,再由抽象到具体的认知活动,引导学生将局部的知识结构纳入总体的知识结构中,从总体上把握知识的结构形态,从而通过“由厚到薄”的转化提高学生的认知水平.

1.2 分析考情

当前,数学教学越来越关注学生数学应用能力的考核,而图形变换在生产生活中具有广泛的应用价值,为此它自然也就成了一个重要的考点.从近几年各地的中考试卷来看,图形的几种变化,如平移、对称、旋转、相似等内容所占的分值比例逐年提升.从考查内容来看,主要是针对学生“四基”的考查,加强了学生动手实践、数学推理和逻辑分析等能力的考核.从考题的设计来看,试题大多以运动为载体,背景新颖,题材丰富,具有一定的可操作性和可探究性,充分体现了图形变换的基础性、工具性、综合性、探究性,是考查学生“四基”和思维能力的重要载体.

1.3 知识检测

在研究教材内容的基础上,认真地研究学生,从教学实际出发精心设计知识检测试卷,通过检测了解学生的知识掌握情况,发现教学中存在的漏缺,从而通过针对性的指导进行及时的修补,有效避免“题海战术”,达成减负增效的效果.

2 提炼

提炼是积累活动经验,优化认知结构的必经之路.教学中,笔者通过设计一些典型性练习引导学生进行抽象、概括,以此让学生理解数学的本质,掌握数学研究方法,提高学生的数学水平.

2.1 结合固有性质,理解数学本质

(1)深入理解对称性

例1下图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).

A B C D

点评：判断所给图形是否为轴对称或中心对称图形是一个重要的考点,考查学生基本概念的掌握情况.在复习教学中,教师可以给出一些图形让学生进行辨析,以此在深化概念理解的同时,提高学生读图、识图能力,培养学生空间观念.

(2)感悟“不变性”

例2如图2,△ABC在边长为1的网格中,其顶点均在格点上,请按要求完成下列各题.

图2

(1)根据以下要求画图:①以直线BC为对称轴作△ABC的轴对称图形,得到△A1BC;②再将△A1BC绕点B逆时针旋转90°,得到△A2BC1.

(2)求线段BC旋转到BC1过程中所扫过的面积.

点评：该题以网格纸为背景,主要考查学生对相关概念、公式等内容的理解及基本的作图能力,让学生在位置的变化中感悟图形形状、大小等不变的本质.

以上两道题目较为基础,大多学生能够顺利给出正确的答案.在复习教学中,若只追求结果,不去探究其中蕴含的本质,将难以体现习题的价值.为此在学生顺利求解后,教师应引导学生进一步提炼总结,帮助学生感悟图形变换的本质.

2.2 巧借变式,感悟变换的工具性

变式训练是数学教学的重要教学手段,通过变式不仅可以凸显问题的本质,而且可以拓宽学生的视野,优化学生的认知.在主题式教学设计中,通过选择一些具有探究性的题目引导学生进行自主探究,同时结合有效变式对知识进行拓展与延伸,以此激发学生的探究欲,提升教学有效性.

例3如图3,正方形ABCD中,点E为DC边上一点,点F在CB的延长线上,且∠EAF=90°.

图3

(1)证明:△ADE≌△ABF;

(2)△ABF可由△ADE如何变换得到?

变式1如图4,点P在正方形ABCD内,将△ABP绕点B顺时针方向旋转,使其与△CBP′重合.若BP=3,求PP′的长.

图4

变式2如图5,点P是正方形内一点,满足PA∶PB∶PC=1∶2∶3,求∠APB的度数.

图5

点评：在例2顺利解决后,笔者设计了一组由浅入深的变式题,旨通过变化的题目对相关知识、方法进行有效的拓展与延伸,以此深化相关知识的理解,让学生在变化中领悟不变的本质,提炼重要的数学思想方法.

2.3 综合应用,提炼数学思想方法

数学思想方法是知识转化为能力的桥梁,是数学的精髓,是学好数学的保障.在数学教学中,教师不仅要让学生正确地理解知识,还要引导学生提炼其中蕴含的数学思想方法,并让学生熟练运用数学思想方法解决问题,以此提高学生的学习能力.

例4如图6所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点D为线段AB上一点,过点D作DF⊥AB交AC于点F.现将△ADF沿DF折叠,得到△DFA1,点E,E1分别为线段AD和A1D的中点.若△E1FA1∽△E1BF,则AD=.

图6

点评：本题综合性较强,除考查轴对称、相似等相关的知识外,还考查了数形结合、化归转化、方程等重要思想方法.

问题求解后,笔者预留时间让学生进行互动交流,引导学生通过这道综合性的练习将相关知识串联起来,逐渐建构完善的认知体系.然后引导学生提炼解题中蕴含的数学思想方法,以此提高学生的数学水平.

2.4 总结归纳,升华已有认知

总结归纳是提升学生数学水平,发展学生数学思维能力的必经之路.在总结归纳阶段,教师要将主动权交给学生,指导学生进行交流、概括,以此在深化知识理解的同时,逐渐完善学生的认知体系.

本主题中研究的核心问题就是图形全等变换和相似变换.所谓全等变换,即变换过程中大小和形状不发生变化,只是位置发生变化;所谓相似变化,即图形的形状不变,但是其大小发生变化,变换前后两个图形为相似图形.在解决图形变换的问题时,教师应引导学生关注如下问题:(1)该题属于哪类变换,抓住问题的核心,找到对应的数量关系,并结合图形的性质找到解决问题的突破口;(2)注重数形结合,通过数与形的结合理解问题的本质,通过数与形的转化优化解题过程,提升解题效率;(3)注重解后反思,通过反思积累解题经验,提炼解题方法,并通过一题多解或一题多变等活动凸显问题的本质,提高学生解决问题的能力.

总之,在主题式教学设计中,教师应充分地研究教学、研究学生,结合教学内容精心设计教学活动,从而通过合理的整合与提炼来优化学生的认知,提高学生数学水平,提升教学质量.Z