基于专题研究课发展代数推理能力*——以“5.4二次函数与一元二次方程(1)”为例

陈 卓

⦿ 南京师范大学附属中学江宁分校

从推理类型来看,初中阶段的推理有几何推理和代数推理．代数推理侧重数和式或数量关系的变形及转换,相对比较抽象,代数推理是学生数学思维向更高层次发展的必备能力,教材也提供了丰富的代数推理素材,因此很有必要在初中阶段点面结合、系统推进,逐步渗透代数推理.通过课题组研究发现,在函数教学中渗透代数思维培养学生推理能力非常有意义.笔者执教了义务教育苏科版数学教材九年级下册第五章第4节“二次函数与一元二次方程”的专题研究课,借此谈一谈学生代数推理能力的培养问题.

1 代数推理视角下的内容分析

1.1 挖掘内容中的推理资源

教材从“函数值何时为0”着手,探索二次函数与一元二次方程的关系,通过函数图象揭示一元二次方程解的几何意义.以“特殊—一般”“具体—抽象”的路径逐步推进,通过“数”和“形”的对比感受函数与方程之间的联系,这样的设计符合学生认知规律,也符合问题探究的一般规律.结合教材,在问题情境导入上,以学生熟悉的命题为切入口:(1)解一元一次方程x+1=0;(2)画一次函数y=x+1的图象;(3)说x+1=0与y=x+1的联系.仿照以往几何推理的经验进行说理,这样就使解方程中演绎推理格式的得出更加自然,模仿“∵……,∴……”,依据写在结论后面括号里的方式去表达x+1=0与y=x+1之间的联系.这样可以有效促进学生理解函数和方程内容中演绎推理的表征,培养学生代数推理能力.

1.2 关于教学目标的落实

探索并获得二次函数的图象与x轴的三种位置关系和一元二次方程根的三种情况的对应关系是本节课的教学重点,在教学过程中,学生通过“思考—探索—尝试—归纳”,自主参与知识的发生、发展和形成过程,深刻理解转化思想和数形结合思想,发展学生的推理能力.同时,使学生真正成为学习的主体,从“被动学会”变成“主动会学”.

2 教学实践

2.1 温故知新

(1)解一元一次方程x+1=0.

(2)画一次函数y=x+1的图象,并指出函数y=x+1的图象与x轴有几个交点.

(3)一元一次方程x+1=0与一次函数y=x+1有什么联系?

设计意图：让学生通过对新知识的思考,梳理旧知识,起到承上启下之效,同时,培养学生“一以贯之”的数学思维品质.从“数”的角度,方程的根是使函数值为0的自变量的值;从“形”的角度,方程的根是函数图象与x轴公共点的横坐标.仿照以往几何推理的经验进行说理,促使学生理解函数和方程内容中演绎推理的表征．

2.2 探索活动

活动1：画出二次函数y=x2-2x-3的图象,解决下列问题.

(1)y=x2-2x-3的图象与x轴有公共点吗?如果有,求出公共点的横坐标.

(2)当x取问题(1)中公共点的横坐标时,相应的函数值分别是什么?

(3)从关系式来看,二次函数y=x2-2x-3成为一元二次方程x2-2x-3=0的条件是什么?

(4)结合二次函数的图象,直接说出x2-2x-3=0的根.

设计意图：从一个特例展开二次函数与一元二次方程关系的研究,让学生感受研究的过程与前面所学知识的一致,并通过图象进一步揭示函数与方程之间的关系.用几何推理的经验、思维过程的说理,培养代数推理能力.

活动2：任意写出一个二次函数,仿照刚才的研究自主探索该二次函数与其对应的一元二次方程的关系.

(1)结合多次分析,你能归纳出任意二次函数与其对应的一元二次方程的关系吗?

(2)结合多次分析,你能归纳出二次函数的图象与x轴的位置关系中起关键作用的要素吗?

设计意图：学生通过类比,进一步认识二次函数与对应的一元二次方程的关系,在“二次函数的图象与x轴的位置关系”和“一元二次方程的根的情况”之间形成演绎推理关系,并在多个例子的基础上,归纳(这是合情推理)得到一般性的结论.

注意引导学生感受代数推理的必要性和深刻性,并总结“活动2”,形成如图1所示的板书.

图1

2.3 例题教学

例题不画图象,判断二次函数y=-x2+5x-8的图象与x轴是否有公共点.

解：因为一元二次方程-x2+5x-8=0根的判别式b2-4ac=52-4×(-1)×(-8)=-7<0,所以方程-x2+5x-8=0没有实数根.

故二次函数y=-x2+5x-8的图象与x轴没有公共点.

设计意图：进一步理解函数与方程互相转化的思想,同时通过板书的展示感受推理的过程.

2.4 巩固练习

(1)方程x2+4x-5=0的根是______,则函数的图象与x轴交点有______个,其坐标是______.

(2)下列函数的图象中,与x轴没有公共点的是( ).

A.y=x2-xB.y=x2-2

C.y=-x2+6x-9 D.y=x2-x+2

(3)已知二次函数y=x2-4x+k+2的图象与x轴有公共点,求k的取值范围.

设计意图：通过巩固练习加深学生对知识的理解,并根据反馈帮助学生理清思路,寻找解决问题的途径,从而提高演绎推理能力．

2.5 课堂小结(略)

3 教学思考

3.1 建立“教学活动”与“代数推理”的关联

通过数学活动,认识到二次函数和一元二次方程之间存在的关系.关注三个层面:一是从学生已有知识去构建二次函数与一元二次方程的关系,在构建联系的过程中培养代数推理能力;二是从学生既有经验画图推理二次函数与一元二次方程的知识点;三是从课堂操作实践推理归纳总结难点.在学习二次函数与方程时,强化点的坐标与方程的根的对应关系,帮助学生更好地直观感受数形结合.

3.2 整体设计“例题示范”与“作业强化”

通过选择合适的例题进行板书示范和设计有代表性的作业培养代数推理能力.例题教学中,笔者选择多名学生演板,然后让学生交流做法,优化过程,纠正错误.学生在解决问题的过程中培养了代数推理能力,并且实实在在地感受到了用“数”的方法解决函数问题的优越性.

3.3 “代数推理”与“几何推理”相互转换

本节课是搭建抽象概念与具象知识间的桥梁,学生在深入研究y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的解后,借助表达式间的关系,构建了二次函数和一元二次方程之间的关系,通过对函数和对应的方程的具体研究形成了对二次函数和一元二次方程的认识．

3.4 “合情推理”与“演绎推理”有机结合

本节课,二次函数与对应一元二次方程之间关系的建立是根据师生合作,画出指定函数图象,通过观察、验证对应一元次二方程推断得出来的,而且把这个经验应用到所有的二次函数中,整个过程符合“合情推理”的特征.而利用二次函数与一元二次方程的关系去解决具体问题是一般到特殊的过程,符合“演绎推理”的特征.本节课“合情推理”与“演绎推理”相互影响.在日常教学中,要多设计丰富的数学活动,培养学生的合情推理能力.在例题教学中,要强化规范、严谨,培养学生的演绎推理能力.在学习新知时,力求发展这两种推理能力,这不仅是因为两种推理方式是相辅相成的,而且有利于学生完整而严谨地认识新知.Z