函数的概念与性质核心考点综合演练

■刘中亮(特级教师)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

(3)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求不等式f(3-x)≤f(2)+f(3)的解集。

一、选择题

7.提示:g(x)在区间[0,+∞)上的图像与f(x)的图像重合,当a>b>0 时,可得f(a)=g(a),f(b)=g(b)。由f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,可得f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)。[f(b)-f(-a)]-[g(a)-g(-b)]=f(b)-f(-a)-g(a)+g(-b)=f(b)+f(a)-g(a)+g(b)=f(b)+f(a)-f(a)+f(b)=2f(b)<2f(0)=0,即f(b)-f(-a)

8.提示:因为f(2x-1)=(2x-1)2+2(2x-1)+1,所以f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,C 错 误,D 正 确。f(3)=16,f(-3)=4,A 错误,B正确。应选BD。

9.提示:奇函数在x=0 处有定义,即f(0)=0,A 正确。由图像的对称性可知,B正确。奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同,C 不正确。当x<0 时,-x>0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,所以-f(x)=f(-x)=x2+2x,所以f(x)=-x2-2x,D 正确。应选ABD。

11.提示:由f(x)=(x-2)2+2≥2,可得a≥2,所以f(x)在[a,b]上单调递增。由f(x)在区间[a,b](a

12.提示:由-x2+2x+3≥0,可得x2-2x-3≤0,所以-1≤x≤3,即函数的定义域为[-1,3]。由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4∈[0,4],可得函数的值域为[0,2]。结合二次函数的性质可知,函数在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减。应选CD。

13.提示:分段函数的定义域为每段函数定义域的并集,故函数的定义域为R,值域为{1,0}。当x为有理数时,x+1也为有理数,则f(x+1)=f(x)=1,当x为无理数时,x+1也为无理数,则f(x+1)=f(x)=0,所以f(x+1)=f(x)。不满足f(-x)=-f(x)。应选BC。

14.提示:由y=f(x+1)为偶函数,可得f(-x+1)=f(x+1),所以f(-2)=f(4),f(-3)=f(5)。由f(x)在(1,+∞)上为减函数,可得f(-2)f(5),f(-3)=f(5)>f(6)。应选BD。

二、填空题

三、解答题

综上可得,存在实数m=6,使得函数f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]。

23.提示:(1)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且关于原点对称,又

32.提示:(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0。

再令x=y=-1,可得f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0。

(2)在f(xy)=f(x)+f(y)中,令y=-1,可得f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数。

(3)由f(2)+f(3)=f(6),f(3-x)≤f(2)+f(3),可得f(3-x)≤f(6)。

当3-x>0时,根据函数的单调性和不等式f(3-x)≤f(6),可得3-x≤6,解得-3≤x<3;当3-x<0 时,f(3-x)=f(x-3)≤f(6),由函数的单调性得x-3≤6,解得3

综上可得,不等式f(3-x)≤f(2)+f(3)的解集为[-3,3)∪(3,9]。