学透函数的奇偶性

■韩雨彤

函数的奇偶性是函数的主要性质之一,它常和函数的单调性、对称性、周期性交汇命题,且是每年高考的常考点。

一、函数的奇偶性

例1 已知定义域为[1-2a,a+1]的奇函数f(x)=x3+(b-1)x2+x,则a+b=____。

解:由题意得1-2a+a+1=0,所以a=2。因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(b-1)x2-x=-x3-(b-1)x2-x,所以(b-1)x2=0恒成立,所以b-1=0,即b=1。故a+b=3。

函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称,在此条件下,若f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数;若f(-x)=f(x),则函数f(x)为偶函数。反之亦然。

二、函数的奇偶性与对称性

例2 已知函数f(x)=ax5+bx3+3且f(2023)=16,则f(-2023)的值为_____。

解:令g(x)=ax5+bx3。因为f(x)=ax5+bx3+3,所以f(x)=g(x)+3。

因为g(x)是奇函数,所以函数g(x)的图像关于原点(0,0)对称,所以g(-x)+g(x)=0。

因为f(-x)+f(x)=g(-x)+g(x)+6=6,所以f(-2023)+f(2023)=6。

又f(2023)=16,所以f(-2023)=6-16=-10。

奇偶性只是对称性的一种特殊情况。奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。

三、函数的奇偶性与周期性

先利用函数的奇偶性,求出函数的周期,再适当赋值,即可求出函数的值。

四、函数的奇偶性与单调性

先由已知条件得到g(x)在R 上为单调递减函数,由g(x)为奇函数得到g(m)>g(2-m),再结合函数的单调性即可求得m的取值范围。