挖掘概念内涵，巧妙综合应用———分段函数

■王红芳

分段函数是一类特殊的函数,在实际问题中,分段函数有着广泛的应用,课本中没有进行大篇幅的介绍,但它是高考的必考内容之一。

一、分段函数的概念

在函数的定义域中,对于自变量不同的取值范围,用含有自变量不同的式子(包括常数)来表示对应法则的函数,这类函数叫作分段函数。分段函数的四个注意点:分段函数在形式上,至少分成两段,最多可以分成无数段,但它仍然表示一个函数,不能理解成几个函数的拼接或合并;分段函数在图像上,一般由多于一段的线段、曲线段或孤立的点组成,应该把它们看作一个整体,而不是几个图像;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;求分段函数的函数值,先要确定自变量在函数的定义域中所在的区间,再根据该区间的函数表达式进行计算。

二、分段函数的应用

1.分段函数的求值问题

在分段函数的求值中,要先正确判断给定的自变量在函数的定义域中所在的范围,再结合该范围的函数表达式进行求值。

2.分段函数的最值问题

分析:先利用分段函数的解析式,求出在不同区间内的取值范围,再结合整体情况确定对应的最大值。

解:当x≤0 时,y≤3;当01时,y<4。

综上所述,y≤4。故所求函数的最大值为4。

求分段函数的值域,可以先分类求出各段内的函数的值域,再求各段内的函数值域的并集,最后即得最值。

3.分段函数中的不等式问题

分析:先利用分段函数确定相应的不等式,再利用一元二次不等式确定实数a的取值范围。

根据不等式中变量的取值范围,将对应的不等式加以合理转化与变形,是解决涉及分段函数中的不等式问题的关键。如果无法确定变量的取值范围,则需要进行分类讨论。

4.分段函数的解析式问题

解题时,利用函数的递推关系与给定区间的函数表达式,通过分类讨论求解相应区间上分段函数的表达式。

5.分段函数的实际应用问题

例5 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(min)与相应话费y(元)之间的函数图像如图1所示。

图1

(1)当月通话为50min 时,应缴话费多少元?

(2)求y与x之间的函数关系式。

分析:先确定当0≤x≤100时的函数解析式,再计算对应的函数值;通过分类讨论,确定对应的函数解析式。

解:(1)当0≤x≤100时,结合题意,设函数的解析式为y=kx(k≠0)。

实际应用中的分段函数问题,要综合实际问题与函数问题之间的关系进行分析与求解。