理解·感悟·升华

武素云

【摘 要】“鸽巢问题”是六下数学广角的内容，教师应为学生该部分的学习铺路搭桥，从而发展学生的抽象思维、推理意识和应用能力。

【关键词】鸽巢问题 数学思想 模型意识

数学学习的一个重要内容是通过一定的自身经验积累，在理解、感悟的过程中逐渐升华，并形成特定的数学模型来解决实际问题。教材将鸽巢问题引入数学广角，其编排意图和价值取向是让学生经历将具体问题“数学化”的过程，使学生形成初步的模型意识，体会和理解数学源于生活、用于生活的功用，培养学生的抽象思维、逻辑推理和应用意识。但鸽巢问题对小学生来说是一类比较抽象和艰涩的数学问题，理解起来是有一定困难的，那么，如何让学生较好地掌握鸽巢问题并发展学生的思维能力呢？

一、沉入式理解

学生理解问题的深度和广度受限于知识储备、经验和思维品质等。教师不能用自己想当然的方式去衡量学生的认知水平，而应站在学生的角度试着去思考问题，发现其薄弱点，努力架起学生思维和知识之间的桥梁，降低学生学习的难度。在鸽巢问题中，对“总有”和“至少”的理解是理解该问题的关键，也是教学的难点。沉入式理解就是让学生的理解不浮于表面，而是沉入具体情境，借助具体情境深入理解抽象的内容，以达到教学的目标。

在教材例1中呈现了其基本的结构：“4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。”单从题目上理解“总有”和“至少”，学生都能知道“总有”就是“一定有”，“至少”就是“最少”，也就是说“一定有1个笔筒里最少放入了2支铅笔”，然而，鸽巢问题只理解到这个层面是远远不够的。教学中通过引导学生对题目进行初步理解后，教师可进行这样的追问：“至少2支，能不能多于2支？能不能等于2支？能不能少于2支？”从而让学生理解最差或最不好的情况是必须达到2支，为后面引出“最不利”做好铺垫。引导学生通过实践操作得出4支笔放进3个笔筒中一共有4种情况：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），讓学生说说每种情况为什么都符合“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，再次理解“总有一个笔筒”就是看每种情况中铅笔最多的那个笔筒，而“至少”就是在这些“最多”的情况中找“最少”，并形成板书（如右图）。让学生对“总有”和“至少”的理解沉入到具体情境中，依托具体情境内化为对知识的理解。

二、思辨式感悟

鼓励学生大胆提出问题，为学生创造良好的思辨情境和思辨氛围，让学生在思辨中感悟是理解鸽巢问题的有效途径。鸽巢问题在教材中呈现了两种解决方案，即枚举法和假设法，枚举法有其局限性，假设法更为通用。如何让学生深刻感悟这一方法，并能正确运用此法解释鸽巢问题呢？教师应引导学生抓住该问题的关键点，逐层递进，让学生在关键处思辨，在思辨中感悟，在感悟中深刻。

以下是教师带领学生感悟假设法的三次关键处思辨。第一次，感悟“最不利”。“枚举法列举出的4种情况中，哪种情况是最差、最不好的情况？”抛出这样的问题引发学生思辨，最后明确（2，2，0）和（2，1，1）两种情况中，铅笔支数最多的那个笔筒里都只有2支，但后者仅仅一个笔筒里有2支铅笔，是刚刚达到要求而已，因此（2，1，1）是4种情况中最差、最不好的情况，为假设法的引入和理解埋下伏笔。第二次，感悟“平均分”。学生将3支铅笔平均放入3个笔筒中，剩下1支无论放在哪个笔筒中，那个笔筒中都有2支铅笔。这时教师追问：“为什么先要平均分？”让学生思辨后明确平均分是为了不让任何一个笔筒空着，就能达到让所有笔筒中的铅笔数量最少的目的，也就是最不利的情况。在最不利的情况下如果都能达到“总有一个笔筒中至少有2支铅笔”，那其他情况肯定都能达到要求了。第三次，感悟“商+1”。教师提出进阶性问题：“8支铅笔随意放入3个笔筒中，总有一个笔筒中至少放入了几支铅笔？”学生列式8÷3=2（支）……2（支），2+2=4（支）或2+1=3（支），结合实践操作让学生思辨：余下的2支铅笔是放入同一个笔筒中，还是分别放在两个笔筒中？明确要想找到“至少数”就要从最不利的情况出发，引导学生理解“平均分”就是最不利的情况，并且余数也要尽量平均分。通过这样的思辨，学生对假设法才会有更深层次的感悟，而不是停留在只会列算式却不理解其深层次意义的简单表达上。

三、螺旋式升华

学生掌握知识的方式都是由易到难、由浅入深的，重要的数学概念与数学思想方法宜体现螺旋式上升的原则。这就要求教师要全盘考虑知识结构和教学思路，在进行教学设计时应尽可能地适应学生的思维能力，遵循学生对事物的认知规律，在教学实践中逐步对知识进行加深和拓宽，进而使学生对知识的掌握呈螺旋式的升华。鸽巢问题的难点主要在模型的建立和具体的运用上，不是所有的问题都一眼就能看出“鸽子”和“鸽巢”在其问题中指代的事物分别是什么。在一些变式的情况下，怎样才能把现实问题和鸽巢问题的模型结合起来呢？教学过程中，教师要从学生的角度出发，充分考虑学生的知识基础、生活经验和思维方式，找准知识的连接点，促使学生螺旋式地升华对鸽巢问题的认识。

借助铅笔和笔筒，让学生在亲身经历中深刻感知分的过程和分的结果，清晰地建立铅笔和笔筒之间的表象，积累对鸽巢问题的感性认识。接着，引入假设法，让学生在直观操作的基础上感受平均分的思路，既然是平均分就可以用算式表达，与学生已有的知识基础相连接，将口头表达推理的过程提升到用算式表达推理的过程，并逐渐增多铅笔的根数，以加深和拓宽学生对知识的理解。再提出如果将铅笔换成苹果、鸽子、糖果、书本，同时将笔筒换成抽屉、鸽舍、罐子、学生，仍然可以得到相同的结论吗？即推理得出“物品数÷抽屉数=商……余数，至少数=商+1”的公式，让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型意识。最后，指导学生应用模型解决生活中的实际问题，由基础问题“张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩41环，张叔叔至少有一镖不低于9环，为什么？”进阶到“随意找20名学生，至少有2名学生属相相同。为什么？”再出示变式问题“出示一副扑克牌，取出大小王，还剩52张，共有13人，每人随意抽1张，至少有3张牌是相同花色的，为什么？”将鸽巢问题逐层进阶，设计由基础到变式的相关问题，在这个过程中体会什么是“待分物品”、什么是“抽屉”，并构建数学与生活世界的紧密联系，螺旋式地经历从错综复杂的真实材料中寻找鸽巢问题的数学模型，使学生的模型意识得到升华，进而发展学生的抽象思维、推理意识和应用能力。

因此，数学广角的教学模式更加注重在活动中使学生感悟数学的思想方法，并尝试运用这一思想方法解决实际问题，从而建构某类问题的通用模型。学生的数学思想并不能像数学知识一样一步到位，而是要经历一个由浅入深、循序渐进的过程，这个过程是一个从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的螺旋上升的过程。在这一过程中，教师要作为引导者，促使学生在一次次的思维碰撞中不断理解、感悟、升华，也只有这样才能将书本的知识转变为学生自身的能力。