挖掘“隐圆”巧解向量最值问题

陈存勤

(江苏省启东中学,江苏 启东 226200)

高考试题或者模拟试题中,经常出现考查向量最值的问题,这类题目难度较大,常常找不到解题的切入点,或者运算量过大.那么,如何解决这一类问题呢?这类试题往往隐藏着圆的背景,如果我们能够通过分析已知条件,或者将其进行转化,把题目中隐藏的圆揭示出来,然后,在此基础上,利用圆中的特殊线或者特殊位置,就可以帮助我们解决这类试题[1].

1 建立坐标系找出“隐圆”

图1 A的轨迹为圆

例2已知平面向量a,b,c满足a⊥b,且|a|=|b|=2,|c-a-b|=1,则|c-a|+2|c-b|的最小值为( ).

图2 动点C在圆上

由|c-a-b|=1得(x-2)2+(y-2)2=1,

又∠CDE=∠ADC,

∴△ECD∽△CDA,

在对工程项目进行测量的过程中，需要对测量设备进行前期检查，确保测量全过程的稳定。因此，建议采取以下几方面的措施进行控制：(1)精准求解测量的转换参数，配备高等级的数据转换控制点，保障各控制点均匀分布，争取测区全覆盖；(2)采用先进的GPS 信号接收器，如双星或三星GPS接收器，缩短测量时间，提高定位精度，加快测量进度；(3)增加测量区域控制点的设置，保证转换控制点覆盖整个测区，使测量结果更具客观性和准确性，保障测量数据的真实性和可信性；(4)必要时增加测量次数，多次测量可有效消除系统性测量误差，进行提高测量精度，提升测量数据可靠性。

点评建立坐标系后,发现点C的轨迹方程是圆,利用三角形的相似及两点之间直线段最短,即可获解.

2 根据向量模长找出“隐圆”

例3(2016年陕西省数学竞赛)已知a,b,c是同一平面内的三个单位向量,且a⊥b,则(c-a)·(c-b)的最大值是( ).

图3 单位圆

例4已知平面向量a,b,c满足|a-b|=4,(a-c)·(b-c)=-3,则c·(a+b)的最小值为( ).

图4 C的轨迹为圆

3 根据几何特征找出“隐圆”

图5 以AD为直径的圆

解析由b2-4e·b+3=0得b2-4e·b+3e2=0⟹(b-e)·(b-3e)=0即(b-e)⊥(b-3e).由此可找出“隐圆”,如图6所示.

图6 B的轨迹为圆

点评本题关键是根据e是单位向量,把b2-4e·b+3=0得转化为b2-4e·b+3e2=0,从而得到(b-e)⊥(b-3e),即可找出“隐圆”.

图7 C轨迹为圆

点评根据|a|=2,把c2-2a·c+3=0转为为c2-2a·c+a2=1,即(c-a)2=1,|c-a|=1,故点C位于以A为圆心,半径为1的圆上,从而找出“隐圆”.

解决这类向量最值问题的策略就是利用坐标法或者几何法得到动点的轨迹方程(即圆),再根据圆的几何性质求出向量数量积的最值.