谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用研究

陈晓莉

【摘要】化归与转化思想是一种将复杂问题转化成简单问题，将抽象问题转化成直观问题的数学思想，也是一种基础的思维策略.教师将化归与转化思想用于高中数学教学中，有利于开阔学生的数学学习视野，提升学生的数学思维水平.文章深入分析了化归与转化思想的内涵，同时结合高中数学教学实际案例对化归与转化思想的应用展开研究，指出教师可以在预习、教学、练习、复习过程中应用化归与转化思想，并建议教师可以应用化归与转化思想设计问题、布置任务，希望为进一步提升高中数学教学质量，促进学生综合素养持续提升提供教学参考.

【关键词】化归与转化思想；高中数学；教学应用

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）指出，现阶段的高中数学教学要以培养学生的数学学习关键能力为主.在此视域下，传统专注理论知识注入的教学模式不能满足学生能力发展、素养提升的学习需求，将数学思想与方法应用到课程教学中是非常有必要的.化归与转化思想是一种重要的数学思想.将其应用于高中数学教学课堂，有利于丰富教学课堂的内涵，培养学生多元分析、多元思考的学习习惯.教师只有认真研究化归与转化思想在高中数学教学中的应用策略，才能为学生的学习与发展创造更多可能性.

一、化归与转化思想的内涵分析

化归与转化思想是一种以快速解决问题为本质的思想，主要表现为学习者在研究数学问题、解决数学问题时采取某种方法将原问题转化为另外的数学问题，从而降低解题难度，达到快速解决问题的目的.在高中数学教学中，化归与转化思想具体体现为以下内容：

第一，正反之间的转化.在高中数学教学中，学生经常会遇见具有一定复杂性的数学问题，或给出的信息不完整的数学问题.如果学生在解决这种问题时应用常规思路，那么就很难解答问题.为此，学生可以采取正反转化的方式，由问题求解目的出发反向思考数学问题，从而在逆向推理的过程中快速找出解题切入点.

第二，特殊与一般之间的转化.在分析数学问题时，学生可以先分析问题是否为特殊问题，如果是特殊问题，观察问题中的特殊数量、特殊关系结构，并对其中蕴藏的数学知识、数学原理进行分析，通过“推广”的方式将特殊问题转化为一般问题，从而降低问题难度.

第三，相等与不等之间的转化.这一思想主要用于解不等式问题.在高中数学教学中，很多不等问题可以借助化归与转化思想转变成相等问题，比如将不等式问题转化为求值问题、将不等式问题转化为函数问题等.通过将不等式问题转化为等式问题、函数问题降低了不等式问题的抽象性，从而提高了学生的解题效率.

第四，数与形之间的转化.代数问题、几何问题是高中数学教学内容的主要构成部分.在部分学生的眼里，代数问题只能用代数方法解决，几何问题只能用几何方法解决.然而，这样的看法显然是不对的.针对一些过于抽象的数学问题，学生可以通过绘制解题示意图、建立数学模型的方式简化问题，从而快速求解问题答案；针对一些过于直观的几何问题，学生可以通过为几何要素赋值细节化问题，从而快速确定几何问题的求解方向.

二、化归与转化思想在高中数学教学中的应用策略

（一）在预习教学中应用思想，激活数学思维

预习即正式教学前的自主学习.将化归与转化思想用于高中数学预习教学中，有利于解决注入教学、灌输教学所造成的学生惯性思维的问题，使学生学会主动发现数学问题，主动理解数学知识.在实际教学中，教师可以根据化归与转化思想的内涵对课程教学内容进行分析，挖掘新课教学与过去教学内容的关联，并依据具体关联设计导学问题.借助简单问题引导学生回顾旧知，接着提出复杂问题驱动学生应用转化的思想方法将复杂问题转化成已了解的简单问题，由此激活学生的迁移思维，提高其预习学习的效率.

比如，在苏教版高一数学必修第一册“并集、交集”一课的预习教学中，教师可以根据过去教学内容设计回顾性问题：“你能说明子集、补集的概念吗？它们各涉及了几个集合？”通过提出这两个问题激发学生的迁移意识，使学生认识到过去教学内容与即将要学习的内容之间的关联.之后，教师再要求学生在自学过程中思考下面的问题：“已知集合A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？”这一问题较为新颖，在过去的教学中并未出现过.要让学生在课前解决问题，教师可以在此过程中渗透化归与转化思想，让学生将未知问题转化成已知问题解决.比如，教师可以在导学案中为学生提供解题思路：“抛开集合这一限制，1，3，5是什么？2，4，6是什么？1，2，3，4，5，6又是什么？”通过给予思路让学生感悟：1，3，5为奇数；2，4，6为偶数，1，2，3，4，5，6为正整数，奇数与偶数被包括在正整数的范围内.这样，将未知问题转化成已知问题，可以确定集合C是集合A、集合B兩个集合合在一起的结果.这样，学生能够在转化分析的过程中初步感受并集的内涵，为接下来的概念学习、性质学习以及并集与交集的深度学习做好准备.

这样，教师通过在预习教学中先后提出复习性问题、探究性问题激活学生的数学思维，使学生学会从转化的角度将未知数学难题转化为已知数学问题，从而达到培养学生迁移学习能力，增强学生自主学习效果的预习教学目的.

（二）在新知教学中应用思想，提高数学能力

高中数学教学内容具有一定的抽象性，且难度较高.如果教师只采取注入式教学方法为学生讲解数学概念、数学性质、数学方法，很容易造成学生的浅层学习问题，不利于学生分析、判断、应用、创新能力的形成与发展.为此，教师可以将化归与转化思想应用于新知教学的过程中，根据思想内涵设计教学问题，布置教学任务，由此驱动学生主动联想数学知识，深入分析数学问题，合作探究数学规律等，使学生在转化问题的过程中达到深度学习的状态.

1.应用思想设计问题，提高数学分析能力

高中数学教学内容虽然具有一定的难度，但各部分教学内容的安排具有较强的逻辑性，教学内容的难度也呈阶梯特征增加.这样的教学安排为化归与转化思想的有效应用提供了更多机会.在实际教学中，教师可以应用相关思想设计旧知回顾问题与新知探析问题，由问题引导学生从将未知转化为已知、将一般转化为特殊的角度出发分析新课教学内容，探究新课教学问题，同时提高学生的逻辑推理、数学抽象等数学分析能力.

比如，在苏教版高一数学必修第一册“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”一课的教学中，教师可以设计如下问题：

问题1：求不等式3x-2>0的解集？

这一问题涵盖的内容较多，包括二次函数图像的绘制方法、一元二次方程根的求解方法、一元二次不等式解集的求解方法等.教师通过提出此问题，能够使学生从“数”“形”两个角度出发分析数学问题，认识函数、方程与不等式三者之间的深度关联，进一步提高学生转化问题、简化问题的分析能力.

问题3：对于一个具体的一元二次不等式，我们会求解集，如果反过来，已知不等式的解集，你能求出这个不等式吗？已知关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为（-1，3），求实数b，c的值？

教师通过设计问题串引导学生进行未知与已知的转化学习、“数”与“形”的转化学习、“正”与“反”的转化学习，使学生在转化学习的过程中真正理解新课教学内容，达到内化吸收的深度学习状态.

2.应用思想布置任务，提高数学探究能力

任务教学是一种围绕具体教学任务展开新知讲解、对话问答、合作探究等多项教学活动的教学模式.将任务教学法用于高中数学课程教学中，有益于增强学生的课堂学习主体性，进一步加深其数学课堂的学习深度.应用化归与转化思想进行数学教学时，教师可以根据思想内涵设计探究任务，并组织学生围绕具体任务进行分析、思考、讨论、交流，由此驱动学生拆分任务、转化任务、解决任务，从而锻炼学生的转化能力与应用能力.

比如，在苏教版高一数学必修第二册“正弦定理”一课的教学中，教师可以基于化归与转化思想布置探究任务：

船从港口A航行到港口C，测得AC的距离为600米，船在港口C卸货后继续向港口B航行，由于船员的疏忽没有测得BC距离，如果船上有测角仪，是否能计算出A，B的距离？

基于此任务，教师可以组织学生讨论交流，引导学生将具体问题转化为解三角形问题的数学模型，再应用数学模型解决问题.

思路1：将任务问题转化为已知的三角形相似的数学问题.测量角A，C，测得角∠BAC=75°，∠ACB=45°，确定计算AB两地距离的解题目的.绘制三角形A′B′C′，使得B′C′为6厘米，∠B′A′C′=75°，∠A′C′B′=45°，量得A′B′距离约为4.9厘米，利用三角形相似性质可知AB约为490米.

由具體任务驱动学生将实际问题转化数学问题，将未知问题转化为已知问题，进一步锻炼学生迁移应用能力.在学生完成学习任务后，教师再通过追问引导学生将特殊问题转化为一般问题，进一步提高学生数学归纳、数学分析的能力.

（三）在练习教学中应用思想，丰富解题经验

练习教学是高中数学教学的重要构成部分，教师只有做好练习教学的工作，才能进一步巩固学生对相关知识的理解与记忆，进一步加强学生对具体数学方法的掌握程度.为进一步提高化归与转化思想在教学中的应用效果，教师可以在课堂教学过程中组织练习教学活动.通过出示典型练习题、拓展练习题等多种方式引导学生从转化的角度思考数学问题，进一步提升学生对化归与转化思想的认知水平，同时丰富学生应用化归与转化思想解决问题的学习经验.

上述练习题均蕴藏着较为丰富的化归与转化思想教学要素.教师通过组织学生分析、思考、建模解答，有助于加深学生对转化思想的体会，强化学生对转化方法的掌握，进一步提高学生的数学应用能力.

（四）在复习教学中应用思想，提升建构水平

复习教学具有巩固学生学习基础，提高学生记忆能力的功能.但是，传统的复习教学以抄写教学、作业教学为主，将教学重点放在学生对教学内容的识、记、用方面，忽略了对学生建构能力的培养.要想改善原有复习教学环境，教师需要将化归与转化思想用于复习教学中，根据思想设计综合性强的复习作业，由作业驱动学生在课后联想、课后分析、课后关联，进而提升学生的关联建构思维水平，强化复习教学的效果.

比如，在苏教版高二数学选择性必修第二册“计数原理”一章的复习教学中，教师可以设计复习作业：

作业1：三边长分别为整数，且最大边长为11的三角形的个数有多少？

作业2：5名成年人带2名小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，共有多少种排法？

这两项作业属于生活中常见的排列组合问题.教师通过布置上述作业，可以激发学生的数学应用意识，进一步锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力.同时，教师通过布置上述作业，可以进一步驱动学生回顾排列组合问题的解题途径（元素、位置等），解决排列组合问题的常见题型方法（相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、分排问题直排法、定序问题除法等）.

结 语

综上所述，将化归与转化思想用于高中数学教学中，对于拓宽教学课堂广度，加深课堂教学深度有着积极意义.要想在教学过程中真正发挥化归与转化思想的育人价值，教师需要确切掌握化归与转化思想的内涵，同时基于学生数学思维、数学能力的发展特点设计合理的教学方案，采取合理的教学方法，循序渐进地加深学生对化归与转化思想的认识.为此，教师应不断丰富自身知识储备，不断积累专业教学经验，在学习、实践、反思的过程中不断优化教学课堂，从而不断提高化归与转化思想在高中数学课堂教学中的应用效率.

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