自组织理论下微积分课程教学研究

蔡 伟

(南京审计大学金审学院 基础教学部,江苏 南京 210046)

微积分课程作为经管类专业必修的公共基础课,具有课程内容丰富、实用性强等特点,注重培养学生数学思维、合作探究能力等,是后续数学课程及专业学科课程学习与研究的理论基础,所以微积分的课程教学对于促进高质量应用型人才培养具有重要意义.然而目前微积分课程教学现状不容乐观,传统教学模式问题较多.学生普遍反映微积分内容多、难度大、公式定理复杂等问题,导致大多数基础薄弱学生学习兴趣低.教师没有及时与学生沟通交流,仍然采用传统的教学模式,忽视对学生学习兴趣的培养,不注重启发式教学,缺乏对学生探索创新能力的锻炼,导致微积分教学状态的恶性循环.

针对这种教学现状,国内外的学者进行了深入研究.贺金波[1]从历时与共时两个维度分析微积分教学引例的设计,丰富了课程内容,创新了讲授模式,引发学生积极性与好奇心的同时加深了学生对微积分概念的理解.荆科[2]研究了在微积分教学过程中如何引入“陷阱”式教学案例,通过引导学生发现问题,从而加深抽象概念、性质及定理的理解.程艺[3]、周西云等[4]、马小雪[5]分别从物理、化学、电子专业中的实际问题出发,结合专业课程与微积分之间的关系,探讨微积分教学改革,切实提高教学效果.周巧娟[6]、张荣辉[7]研究了概念图与思维导图在微积分教学中的重要作用,陈梅香等[8]、康志林等[9]、刘春红[10]将建模思想融入微积分教学设计与实践,将抽象的理论知识附着于生活中的实际问题,让学生在应用的背景中学习、理解微积分中的定义、定理等,提高学生学习兴趣.冯海星等[11]、王小玉[12]、温雅敏[13]分别探究了基于慕课、微课、翻转课堂与对分课堂的混合式微积分教学,旨在将新的教学模式与传统微积分教学相结合,弥补传统教学的不足,充分调动学生积极性,提高学习效果.这些研究都旨在培养学生学习微积分课程的兴趣,帮助学生构建知识体系,提高整体教学质量,但对如何提高学生的思维与创造能力、如何引导学生自我发展等方面研究较少.

近来学者们将自组织理论[14]应用于课程教学及数学教学,基于自组织理论的课程研究取得了一定的成果.母小勇等[15]通过研究高校课程的自组织作用机理,提出只有将课程本质从“学校课程”“国家课程”转变为“学生自己的课程”,才能真正实现课程的多样化价值和功能.高翔等[16]等研究表明自组织方法论为突破简单思维下的传统教学提供了新的方法论视角,有利于教学的整体性思维,构建教学的自组织机制.郭畅[17]研究表明高等数学教学系统是非线性的,符合自组织特征,基于自组织理论的高等数学教学改革是可行的.王佳秋等[18]将利用自组织理论分析学生的思维结构,根据自组织机制充分营造大学数学教学的“趣动课堂”.田仕琴[19]提出应将高等数学课程理解为达成个体经验转变的过程,倡导用自组织作为基本假设来设计非线性、开放性的课程,强调评价应成为共同背景之中以转变为目的的协调过程.李娟等[20]基于自组织特征,探讨了经管类专业线性代数课程教学内容的组织设计、组织形式和教学评价.李腾飞[21]通过探究性数学教学实践,论述了自组织理论应用于高职院校高等数学课程教学的必要性、有效性,并给出教学案例分析.

以上研究表明自组织理论应用于高校数学教学成果较少,尤其是微积分教学更是寥寥无几.本文针对微积分课程教学现状,探究自组织理论应用于微积分课程教学的可行性,给出基于自组织理论视角下教学案例的设计及教学评价的构建,真正通过启发式、探究式教学提高学生的思维能力、实践能力和探究能力.

1 自组织理论

自组织理论[14]于20世纪60年代初正式被提出,近些年来广泛应用于自然科学领域和诸多社会科学领域.自组织理论起初被用于研究复杂自组织系统的形成规律及发展机制问题,即在一定条件下系统如何自主地由混沌无序走向稳定有序,由低级有序走向高级有序.

首先,系统必须是开放的.开放的系统才能与外界进行物质、能量和信息交换,为系统有序发展创造条件.具体来说,系统向外界获取反应物,促使系统内部的有效能量不断增加,有序度不断提高,这是一个向内部输入负熵的过程;同时,系统向外部输出生成物,促使系统无效能量不断减少,这是一个向外部输出正熵的过程.一耗一散,使系统的熵值不断降低,为系统走向高级有序奠定基础.

其次,系统必须远离平衡态.非平衡是有序之源,只有远离平衡区域,系统才能朝着高级有序发展.相反,平衡态往往与封闭系统相关联,当系统与外界没有交流,系统也不可能得到发展.普利高津曾提出,系统只有脱离稳定态,进入非线性区域,系统才能形成有序结构,才能可持续发展.

再者,系统必须存在非线性作用机制.非线性作用指系统内部作用不是简单的线性关系,整体不等于部分简单叠加.各个子系统之间的交叉耦合作用是复杂的、非线性的,往往一个小的扰动,就会对系统整体产生巨大的能量和效果.在此机制下系统内部产生协同竞争与合作,促使系统从杂乱无章变成稳定有序.

最后,系统必须存在涨落.系统在非作用机制下离开平衡态,随着非线性作用力逐渐增强,系统终将远离平衡态,突破临界阈值产生涨落.涨落是一种启动力,为系统打破平衡,完成新有序的自组织过程提供力量.

2 自组织理论运用于微积分课程教学的可行性分析

微积分课程教学作为一个具体的教学系统本身就具备自组织特征,且蕴含着丰富的自组织理论.通过探索各要素间的自组织特征,研究教学过程中的各种自组织现象,将自组织特征融入课堂教学,构建自组织教学模式,促使微积分教学系统朝着有序、高级的方向不断发展.

2.1 开放性是微积分课程教学的重要前提

系统具有开放性是系统能够与外界环境进行物质、信息、能量交换的前提条件,也是系统自组织发展且形成有序结构的必要保证.微积分课程教学的开放性主要体现在以下几个方面.

首先,教学内容具有开放性.微积分课程作为财经类学生必修的公共基础课,表面看是教授同一门课程,实际教学涉及会计、审计、金融、经济、管理、信息等不同专业学生,那么需要教师将内容与不同专业相结合,不断吸收最新的学科专业研究成果,丰富学生的认知.

其次,学生系统具有开放性.大脑作为一个高度发达的自组织系统,所以学生的认知系统是动态的、开放的及多层次的.学生想要获得知识,进行科学创造,就必须要与外界环境进行物质、信息和能量的交换.

再次,教学环境具有开放性.当代大学生处在信息网络飞速发展的时代,传统的课堂教学不再是学生获取知识和技能的唯一途径,海量的学习资源、多渠道的学习路径使得整体环境是开放的.

最后,教学方式具有开放性.开放式的教学课堂必然离不开多样性的教学方式.相同的微积分内容教学,每个老师选择的教学方式不尽相同.教学也不局限于某一种或几种方式,尽可能的采用学生易于接受和理解的方式,才能让学生学得轻松、想得更多、理解得更深刻.

微积分课程教学的自组织发展首要前提就是教学系统的开放,教学内容、学生系统的开放是固有属性,配合上教学环境及教学方式的开放,才能构建该课程教学的完整开放体系.

2.2 远离平衡态是微积分课程教学的根本属性

比利时物理学家认为,非平衡是有序之源,并且只有远离稳定区域,系统才能朝更高层次的结构演化,所以它是系统达到有序的先决条件.反之,平衡态往往与封闭系统紧密相关,当系统与外界环境没有物质、信息、能量等交换,新的有序系统就无法达到,系统就得不到更好的发展.

美国心理学家布鲁纳认为,为了促使学生的思维处于非平衡状态,老师必须努力启发学生自由灵巧的思考问题.自组织理论下的微积分课程教学要求教师以培养学生探究性思维方法为目标,启发式的引导学生独立思考,让学生不要满足于现有知识与技能,养成学生不断质疑、开拓创新的精神,为后续课程、专业课程的学习打下坚实的数理基础.

2.3 非线性作用是微积分课程教学的必要特征

系统的自组织发展离不开非线性作用,非线性作用是自组织的根本机制,其相互作用不是简单的一次函数关系,微积分课程教学的非线性作用具体表现在以下两个方面.

其一,微积分课程教学过程中,教师和学生都需要与外界环境进行物质能量的交换,比如教师对学科最新科研成果的补充、学生将所学微积分知识与专业课程相结合、学生从网站获取教学资源等,这都属于教学系统与外界发生交互,这种信息交换本身就是非线性的,属于微积分课程教学系统外部交互的非线性.

再者,微积分课程教学中的每一个学生就是一个非线性系统,每一位学生的数学基础、学习方法、学习态度、接受能力等都是有差异的.然而微积分教学过程中系统内部各成员之间会在教师的启发引导下产生竞争与协同,在内部各成员间形成相互耦合,催生有效的同向动力,大大提升学生对微积分中问题的持续探究及集体研究能力,促使微积分课程教学更加有序发展.显然整体的发展并非由各成员的发展简单叠加而来,成员内部之间的良性竞争与有效协作属于微积分课程教学系统内部交互的非线性.

由此可见,微积分课程教学系统内部及外部的交互作用都是非线性的,非线性的内、外动力作用到整个微积分教学系统上时,微小的扰动通过非线性作用后带来的可能是巨大的变化,从而引起系统质变,导致系统走向非平衡,产生涨落现象,促使微积分课程教学系统走向更高级的有序.

2.4 随机涨落是促使微积分课程教学走向有序的关键动力

涨落是对系统平衡状态的偏离,出现这种偏离现象是随机的、普遍的.开放的系统会在内部或外部的扰动下产生非线性作用力离开平衡态产生涨落,随着作用力不断变强,最终系统会远离平衡态,突破临界阈值,从而转变为更高级的有序平衡.

微积分课程教学系统中的涨落主要体现在两个方面:一个是学生个体的单独涨落,另一个是教学系统的整体涨落.学生通过与外界的信息交换,例如:与他人讨论微积分难题、与教师沟通思路想法、网上学习微积分精品课程等,使得自己的知识技能体系、探究创新能力、情感意志品质等不断涨落,远离自己原有平衡状态,实现个体自组织发展.学生个体的涨落在非线性作用下必定对整个微积分教学系统产生影响产生涨落,随着作用被放大,这种强大的动力最终会破坏原有的教学系统平衡,为教学系统形成新的平衡创造条件.

然而涨落是柄双刃剑.例如,在微积分教学过程中有同学提出了一个“奇怪”的问题,以下两种做法会导致截然不同的结果.第一种是老师对于这位同学提出的问题让同学们适度交流讨论,让学生自己发现问题并解决问题,这种做法极大的锻炼了学生的思维、协作、探究能力,发挥了涨落的积极一面.另一种做法是对该学生的“奇怪”问题不闻不问,或者批评其是否在认真听讲等,这影响了学生学习微积分的兴趣,打击了学生提问思考的积极性,此时学生会产生失落与厌倦的情感,原本爱学数学的状态被打破,产生的涨落就是消极的,个体与班级整体最终都会走向学习微积分的低级平衡状态.所以微积分课程教学过程中,要发挥好涨落的积极一面,促使教学系统朝着“有序—无序—高级有序”的方向发展.

上述分析表明,微积分课程教学系统符合自组织系统的四大特征,微积分课程教学过程关键在于,如何用好这四条理论,推动学生个体系统和整体教学系统良好向上发展.

3 自组织理论下教学案例的设计与分析

3.1 教学案例设计的指导原则

自组织视角下的微积分课程教学是开放的、互动的和启发的,旨在培养学生发现、探究和解决问题的能力.那么,在微积分教学过程中,教师应创设有利于学生思维远离平衡状态的环境,让学生敢于质疑且发表自己的观点,形成创造性的思维模式.下面通过一则微积分教学案例——《无穷小量与无穷大量》,来说明如何在自组织视角下进行启发与探究式教学.

3.1.1 创设情境,引出问题,激发学生的学习兴趣

首先在PPT上展示出历史上三次数学危机,通过快速简单介绍三次数学危机,吸引学生注意力,激发学生学习兴趣,让学生体会数学的发展并非一帆风顺,三次数学危机深刻影响着数学的发展,从而引出本节课知识点“无穷小量”.由于此处是简单介绍,部分学生可能会课后对所感兴趣的内容继续查阅资料,与外界进行物质、能量交换,体现微积分教学的开放性.

3.1.2 举出实例,引发讨论,加深学生对概念的理解

引例：如何求解自由落体运动中t时刻的瞬时速度vt?

解：设t时刻物体处在A位置,想求此时瞬时速度,可以给t时刻一个非常微小的时间改变量Δt,那么物体就下落到B位置,由于时间非常短,可以近似的将这一段看成匀速直线运动,AB段的路程可以表示为

(1)

AB段的平均速度可以表示为

(2)

那么当Δt=0,B就是A,此时平均速度变为瞬时速度,所求vt=gt.但前后出现矛盾,Δt做了(2)式的分母,不能为0;然而若Δt≠0,(2)式后半部分消不掉,即B位置永远不是A,得不到瞬时速度的结果.

此时可以引导学生思考并分组讨论问题“Δt到底是否为0?”“可以通过所学的什么知识就能完美解决?”.讨论后归纳得出此处的Δt只需要趋于0即可,它与极限密不可分,就是无穷小量.

学生通过思考探究、合作讨论,得到无穷小量的概念、易错点,其实体现的是非线性作用机制中的竞争与协同,并且能够积极促使学生打破现有认知平衡,朝着学习微积分高级有序状态发展.

3.1.3 独立思考,类比探究,提高学生探究归纳能力

学生通过自主独立思考,在已有“无穷小量”概念的基础上,类比出“无穷大量”的概念,学生能够从已有知识类比归纳出新的概念理论,体现自组织理论中“交流获取—吸收消化—自我发展”的理念.

3.1.4 让学生勇于发问,“奇怪”的问题是涨落的关键

学生通过思考可能会有一些“奇怪”的问题,这些问题是涨落的关键,可以帮助学生打破现有平衡态,朝着高级有序方向发展.所以当有学生提出这些问题时,教师要给予肯定,积极引导,帮助学生实现自我发展.

3.2 教学案例分析

在讲授《无穷小量与无穷大量》这节内容时,有学生提出以下几个问题,针对以下几个问题及当时处理方法,可以促进学生打破现有平衡态,朝着学习微积分的高级有序发展.

问题1：学习完无穷小的性质后,学生提问这些性质对无穷大量是否仍然成立?

处理方法：先让学生思考讨论,然后举出一些例子引导学生发现以下结论.

反思：该问题是书上未曾介绍的内容,可视为一个涨落点,目前而言有些部分可以解决,有些则不能.通过探究该涨落点,学生可以充分认识到类比是学习新知识的一种好方法,但是数学是一门严谨的科学,看似差不多的内容类比后结果可能完全错误,所以需要具体问题具体分析.

问题2：定理“有限个无穷小的和仍然是无穷小”中的条件“有限个”换成“无限个”定理是否仍然成立?

处理方法：先让学生思考讨论,然后举出一些例子引导学生发现以下结论.

例:求下列极限

从以上三题不难发现,无限个无穷小的和可能是无穷小,可能是无穷大,其极限也可能是固定常数.

反思：该问题可以被视为一个涨落点,通过探究,得到的结论“无限个趋于0的量相加极限竟然可能变成无穷大”“科赫雪花曲线看似有头有尾,只不过弯弯曲曲,其长度却是无限”等,可能会颠覆学生的已有认知,打破学生现有平衡,对于学生知识体系的构建意义深远,必将促使学生朝着高级有序发展.

问题3：无穷大量是不是也可以作比较?

处理方法：通过引导思考该问题答案是必然的,原因在于无穷大与无穷小可以相互转换,“无穷大的阶”可类比得到,学生通过查阅资料,整理该内容的知识点,下次课请学生上台交流分享.

反思：该问题同样可以被视为一个涨落点,旨在锻炼学生查阅文献、归纳整理、合作探究、语言表达等能力,让微积分的学习为今后论文写作奠定基础.

4 自组织理论下教学评价的构建

教学评价是教学活动中不可或缺的环节,是依据教学目标对教学过程及教学结果做出价值判断的过程,并为今后的教学决策提供指导.后现代课程流派集大成者多尔曾指出,“评价的目的不是区分,而是旨在反馈,促进学生的发展”.那么就要求评价者在教学评价过程中,不能用统一的标准来评测每一位学生的发展,而应采用多元化、动态性的评价方式.

目前而言,微积分课程的教学评价的局限性表现在:评价主体唯一、评价内容固定、评价方式简单等.自组织理论下的微积分课程教学是开放的、互动的,注重平等的师生交流,关注的是如何引导学生思考探究,促进微积分的学习朝着高级有序发展.针对以上问题,教学评价应该做好以下几点.

4.1 评价主体多样性

自组织理论下的微积分课程教学评价主体应该是多元的,教师、学生自己、组内同学等均可参与其中.应采用教师评价、学生自我评价、合作小组成员评价等相结合的方式,多方面的评价每一位学生的发展.

4.2 评价内容多样性

自组织理论下的微积分课程教学注重的不仅是学生对书本知识技能的掌握,更要注重学生思维、能力的发展,评价者应该对学生的独立思考能力、逻辑分析能力、合作探究能力、语言表达能力等做出评价.

4.3 评价方式的多样性

自组织理论下的微积分课程教学评价不能单凭一份期末试卷检验学生对课程内容的自我转化与发展,教师可以采用以下方式与期末考试相结合,例如:阶段性对学生进行访谈,每一章内容结束后请学生做知识点串讲或概念图构建;布置课后小组研究课题,形成报告在班级分享、比赛等.

依据上述评价体系构建原则,给出具体的教学评价指标(表1):

表1 教学评价指标量化表

5 小结

本文从微积分课程教学系统的开放性、远离平衡态、非线性作用、随机涨落等特点,论述了自组织理论运用于微积分课程教学的必要性与可行性,并且探讨了兼顾专业知识理解应用与探究创新能力培养的教学案例设计,构建多元化、动态性的课程评价体系.基于自组织理论的微积分课程教学可以锻炼学生思维能力,提高学生自主学习能力和合作探究能力,促使学生朝着学习微积分的高级有序状态发展.