数学问题解答

2023年7月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2731在△ABC中，求证：

(陕西省咸阳师范学院教育科学学院 安振平 712000)

证明对△ABC的三内角A，B，C，由三角公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

并应用柯西不等式，得

sin2(A+B)

=(sinAcosB+sinBcosA)2

≤(sin2A+sin2B)(cos2B+cos2A)，

变形，得

同理

将这三个不等式相加，便得

2732在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AI，BI分别平分∠BAC，∠ABC，且∠ACB=60°，∠ABC=2∠BAC，求证：CI2=a2+c2-b2.

(山西省临县一中 李有贵 033200)

证明由∠ABC=2∠BAC得

因为a≠c，所以b2=a(a+c).

由∠ACB=60°得c2=a2+b2-ab.

所以(a2+c2-b2)-CI2

=0，

即CI2=a2+c2-b2.

2733设a，b，c>0，且a+b+c=1，证明：

(1+a)(1+b)(1+c)

(广东省中山纪念中学 邓启龙 528454)

证明设x=a+b，y=b+c，z=c+a.

∑x∑xy=∏(x+y)+xyz

所以

∏(1+a)=∏[(a+b)+(a+c)]

(江苏省兴化市教师发展中心教研室 张俊 225700)

所以x2=x3，y2=-y3，

所以若C(x3，y3)，则B(x3，-y3)，

(x3-1)y4=-y3(x4-1)，

即x3y4+x4y3=y3+y4，

=4y4-4y3，

则(x3-4)y4=(x4-4)y3，

所以直线CD过定点(4，0).

2735设△ABC的三条边，三个旁切圆半径，三条高线，面积和半周长分别为a，b，c，ra，rb，rc，ha，hb，hc，Δ，p，则

(天津港职工培训中心 黄兆麟 300456)

以上三个等式相加整理即得

由不等式(1)的完全对称性，

不妨设a≥b≥c，则有3a≥2p且3c≤2p，

那么此时设不等式(1)的左右之差为M，

则利用(2)就有

即不等式(1)成立.

2023年8月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2736已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，2AC=BC，点D1在CB的延长线上，点D2在BC的延长线上，BD1=CD2，过点C作垂直于AB的直线，垂足为M，与AD1交于点E1，与D2A的延长线交于点E2.求证：

图

(北京师范大学附属实验中学 白玉娟 100032；北京市朝阳区郎各庄村21号 郭璋 100121)

2737设ai≥1，证明：

当且仅当n个ai中至少有n-1个为1时，等号成立.

(深圳市龙华区教育科学研究院附属外国语学校 钟文体 518109)

(湖北省南漳县建设工程质量监督站 刘光清 441500)

2739已知实数a，b，c满足a

(安徽省南陵县城东实验学校 邹守文 242400)

(浙江省慈溪实验中学 华漫天 315300)