基于学科素养的高中数学概念教学实践研究①

程仕然

(江苏省黄埭中学 215143)

1 引言

数学概念是根植于数学研究对象本质属性的思维产物.数学概念的教学是数学教学的根本，直接关系到学生对数学问题本质的理解和对数学基本思想的领悟，是形成数学学科素养的基础.

然而，笔者在高中数学概念教学实践中发现许多教师只是为了“教概念”而教概念，缺少从学科素养的视角进行教学设计，没有立足于学科素养培养进行概念教学.大体存在如下情况：问题情境设置无效、虚假、为情境而情境，不能帮助学生从情境中提出确切的问题，更不要说提出数学问题，研究数学的本质；简单介绍概念，列出若干注意，之后就开始大量刷题，学生的知识与技能的形成缺乏过程，学生的概念学习全无体验而言，更无学习的乐趣；概念教学呆板单调，缺少探究，全程听老师讲概念、讲例题、学生只是记概念、记笔记，没有表达的机会，更谈不上思维的形成；在概念的后继学习过程中，缺少持续的概念化跟进，缺少认识过程中的概念性理解.

为解决这些问题，我们需要对学科素养培养视角下的高中数学概念教学进行深入的思考和研究，并在教学实践中不断调整与改进，给出较为有效的教学策略.

2 基于学科素养的高中数学概念教学研究

2.1 基于学科素养的高中数学概念教学认知

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(下面简称“课标”)指出体现数学学科素养的四个方面：情境与问题、知识与技能、思维与表达和交流与反思[1].因此，基于学科素养的概念教学应从上述四个维度出发，让学生从情境中提出问题，以问题激发思考，在思考中形成思维，在思维的基础上形成概念，在问题解决中形成技能，在问题表达中进行交流，在交流中进行体验，在体验中反思内化概念知识、形成学科素养.

2.2 基于学科素养的高中数学概念教学理解

基于学科素养的概念教学应该落实于情境与问题、知识与技能、思维与表达和交流与反思这四个维度，从单纯的“为了概念的教学”转变为“通过概念教学走向素养的教学”，切实优化学生基于学科素养的概念学习，深化数学学科本质的概念理解水平，提升学生基于学科素养的概念化能力.

(1)情境与问题基于理解，发于兴趣

有效的情境问题有助于概念的引入和建构.恰当的现实情境、数学情境、科学情境有助于学生从中发现问题，提出数学问题.不熟悉的情境问题会加重学生的认知负荷，让学生不理解的情境问题会影响知识的迁移和创新，对情境问题不感兴趣也会影响概念理解的正确率.没有深刻理解的概念，容易被忘记，即使记住，也不容易转化到新情境中去.所以，情境与问题应基于学生理解，从学生兴趣出发，改善学习状态，提升概念学习质量，提高概念的有效教学.

(2)知识与技能基于探究，蕴于活动

以学生生活联系密切的现实问题为切入点，围绕具体数学问题设置核心活动，开展探究，在问题解决中形成知识与技能，有利于概念的形成和深入研究.让学生在活动中提出问题，在自主探究中获得概念、定义、性质、法则等知识，熟练进行有关的运算和代数推理，在问题解决与应用中锻炼学科技能，达成思维迁移与创造.所以，知识与技能应基于学生自主探究，让概念学习蕴于活动之中，在活动实践中形成技能，提高概念的思辨能力，形成结构优良的概念知识.

(3)思维与表达基于内化，显于形象

思维与表达是反映学生思维品质和表述能力，具体体现是思维的严谨性和表述的准确性.一个数学概念可能有许多现实原型，一个现实问题可能有不同数学模型，多角度开发现实原型，让学生学会提出问题，学会数学地表达，在数学语言和思维层面进行交流，将“抽象”变“形象”，让概念的形成可视化，促进概念内化，帮助思维进阶.所以，思维与表达应基于帮助学生内化概念，引导学生通过表达与交流让思维外显于形象.

(4)交流与反思基于深化，源于本质

交流与反思是在教学中用数学语言直观地解释和交流数学概念、结论、应用和思想方法，并进行反思和总结.数学课堂教学就是师生间的一场对话，通过对话进行交流互动，倾听并引导学生去主动地发表对问题的见解，帮助学生把不成熟、不正规的解释向规范的数学表达过渡，进行评价、总结和拓展.让学生自己提出问题，在问题本质探究中进行深入交流，在问题解决中进行反思，在反思中深化概念，加深理解，形成优秀思维品质.所以，交流与反思应基于帮助学生深化概念，探源概念的本质.

3 基于学科素养的高中数学概念教学策略

3.1 优化单元结构，整体设计基于学科素养的概念教学

无论是单元目标还是课时目标，在教学目标设计时，首先要思考下列问题，然后再具体拟定目标：确定与本课相关的主要核心素养；确定各核心素养应当达到的具体水平；解析与本课相关的数学文化元素；梳理知识的来龙去脉[2].所以，概念教学应当向课标寻向，由教材找路，从素养出发，优化单元结构，整体设计基于学科素养的概念教学.

(1)向课标寻向，明确概念教学的课标要求

课标把高中数学课程分成了若干个主题，每个主题都对相关概念的内容要求、教学要求及学业要求做了具体的规定和指导，在学业质量水平方面对学科素养水平也给出详尽描述.这些是概念教学的落脚点，在此基础上建立起来的概念教学才能够紧密关联概念与主题，体现教师对主题的认识和思考，推动主题教学的深入.明确概念所在的主题，研究和领会课标对相关概念的内容要求、教学提示及学业要求，把握概念教学的方向.

(2)由教材找路，理清概念教学的知识结构

布鲁纳曾指出：无论教师教授哪类学科，一定要使学生理解该学科的基本结构，有助于学生解决课堂内外所遇到的各类问题.掌握事物的基本结构，就是以允许许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它，学习这种基本结构就是学习事物之间是怎样相互关联起来的[3].新课程提倡进行“主题——主线——单元”整体设计，重视整体性、结构性和序列性.所以，理清单元知识结构是实施概念教学的基础，理清概念形成和发展的脉络，为学生呈现最佳的知识结构，有效设计概念教学.

案例1 三角函数单元知识结构梳理(人教版高中数学必修一)

三角函数单元是以单位圆模型为研究对象，在单位圆模型统领下，从具体事实的探究出发，建构相关概念，在不同的研究主题内研究三角函数，形成概念联系.单元知识脉络是“自然界中各种周而复始现象→点的圆周运动模型→单位圆数学模型→三角函数的概念→几何直观研究单位圆模型上三角函数图象、诱导公式、恒等变形等性质→研究和解决三角函数问题→拓展探究数学中复杂问题”.

本例是从单元整体视角对概念结构进行梳理，通过分析教材，理清基本事实，理顺研究微主题，明确研究主线，由研究对象相关的基本事实出发，抽象出研究对象的一般规律，在具体事实的研究或者发现基础上建立概念，形成由事实性实例支撑的概念性理解，进而形成思维链，在不同的研究主题内体现概念间的联系，帮助学生掌握知识的基本结构.

(3)从素养出发，架构概念教学的四个维度

教师在概念教学设计时要明确体现学科素养的四个维度的研究内容、达成的素养目标.从这四个维度来解析教学内容：厘清问题提出的情境背景；明确概念形成所需的知识与技能目标；落实概念产生历程中的思维与表达的要点和环节；形成深化概念理解的交流与反思路径.

案例2 基本不等式教学内容四维架构

维度内 容核心素养情境与问题现实情境:探究物体质量M;数学情境:判断两个正数a,b的算术平均数a+b2 与几何平均数ab的大小关系;科学情境:杠杆原理,数据分析;问题:数据a+b2和ab之间有什么样的数量关系?数学建模数学抽象知识与技能构建a+b2与ab间的基本不等关系,进行简单的应用:基本不等式解决简单的最大值或最小值.数据分析数学计算思维与表达基本不等式的严格证明,深刻理解基本不等式;用自然语言和符号语言表达基本不等式的内容;逻辑推理数学抽象交流与反思基本不等式几何解释;基本不等式变形,深化基本不等式基本思想和基本方法.直观想象数学抽象

上面案例从四个维度对基本不等式教学内容进行了架构，由现实情境、科学情境与数学情境等情境背景提出问题，由问题开展数学建模和数据分析等探究活动；由数学计算和数学抽象进行概念建构，达成知识与技能目标；由思维与表达辨析概念；由交流与反思深化概念.明晰素养，架构教学目标的四维，是开展概念教学的起点.

3.2 贯穿核心概念，持续深化基于学科本质的概念学习

数学核心概念能够反映数学对象的本质，贯穿概念体系，起着引领和联系作用，是数学定理、公式和法则的基础，也是学生获得系统数学知识的根源．围绕核心概念梳理教材，从数学的视角理解核心概念，分析概念核心及其相关概念构成的网络体系，找出核心概念的核心所在，立足核心概念的基本特征，着眼于概念的核心，组织单元教学．发挥核心概念在各自章节和模块学习中的纲领性作用，加强模块内容的纵横联系，帮助学生建立结构功能优良，迁移能力强的数学认知结构，体会数学的思维方式，引领和辐射其他相关概念的学习，提高对数学的整体认识.

案例3 函数概念贯穿高中数学概念体系

函数是高中数学的核心概念，贯穿整个高中数学课程.函数是最基本的数学语言与工具，是连接和支撑其他知识的主干．从函数视角来看：数列是任意一个自然数与唯一一个实数的一个对应；随机事件概率是任意随机事件与区间[0，1]上的唯一的数相对应；任意复数都与唯一一个有序数对对应；任意角都与唯一一个实数对应，三角函数是实数集到实数集的对应等等，说明函数概念具有广泛联系性．函数概念还是现代数学最根本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，函数思想是众多现实问题解决的出发点．函数概念是高中阶段初等函数及性质研究的生长点，函数概念的“任意-唯一”的描述方式在后面学习的单调性、奇偶性、周期性、最值、三角函数定义、向量基本定理等内容的表述中都有体现．另外，函数的性质研究内容及过程也可以类比到其他模块概念的研究.比如，研究概率P(A)的单调情况：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)类比函数的单调性(任意x1，x2∈D，当x1

案例4 函数概念的持续深化

问题：想通过简单随机抽样的方法，了解一下某校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎么做？

面对上述实际问题，我们看到问题中的函数特征，从函数的视角思考问题，建立视力调查的分段函数数学模型，解决了实际问题，体现了函数学习的价值，是函数概念学习的实践活动，是函数思维的外显，将学科认识和实践逐渐转化为个体对所处世界不断概念化的工具，这就是对函数的概念性理解.

3.3 建设场域课堂，逐步内化基于学科素养的概念理解

课堂教学是教与学的互动，是作为学习主体的人与现实世界互动的过程中建构知识的活动.场域课堂建设就是在概念教学活动中把问题融入到基于学生认知范围的现实情境中去，在核心活动中探究问题，构建相应概念；把知识融入到技能中去，在知识与技能的习得中去深刻理解数学概念的本质；把思维融入到表达中去，探讨概念与其他概念的联系，深化概念；把交流融入到反思中去，在交流与反思中辨析概念、内化概念.

(1)建设有现实气息的问题与情境场域，促进概念探究

指向素养的学习必须是真实学习，真实学习必须要有真实情境与任务的介入.只有在真实情境下运用某种或多种知识完成特定的任务，才能评估关键能力、必备品格与价值观念[4].从社会生活、科学、学生已有数学经验入手，选择贴近学生生活经验、符合学生认知水平的素材，让学生处身于感兴趣的真实有效的问题与情境场域中，探索问题，促进概念的探究.

案例2从探究物体质量的实际问题出发，在微建模探究中让学生获得基本活动经验.强调数学与生活以及其他学科的联系，让学生感受到学习的意义与快乐，提升数学建模和数学抽象素养，提高学科融合能力.教学活动的重心放在学生动手实践、自主探索、合作交流.利用信息技术探寻研究对象的变化规律，让学生进行独立思考，增强基于数据表达现实问题的意识，从感性上认识和理解基本不等式.从探究活动中让学生提出更一般的数学问题，形成概念的雏形.

(2)建设有深度研究的知识与技能场域，帮助概念重塑

弗赖登塔尔认为：“数学教育是数学的‘再创造’”．所以说，数学课堂教学就是在问题与核心活动中引导学生经历知识与技能的产生与发展，构建数学知识体系[5].选择有研究深度的问题，让学生深入体验概念的生发过程，在探究中重塑概念.

在讲授锥体体积公式的时候，先让两位同学演示三份锥体容器内部的液体恰好可以灌满一个同底等高的柱体容器(从感性上认识)，然后用祖暅原理从理论上证明同底等高的三棱锥体积是三棱柱体积的三分之一(从理性上推导).在研究对象的可视化前提下，通过数学实验核心活动，让学生观察数学实验现象，动手操作，动脑思考，动口总结，由具体问题研究形成一般理论，重塑锥体体积公式产生的历程，提升数学抽象、逻辑推理等素养.在严格的数学证明活动中，体会逻辑推理、数学表述的严谨性和逻辑性，培养数学表达能力，提升思维品质.让学生感受数学问题感性认识和理性认识的不同，从具体的知识与技能上升到思维层面，帮助学生更好地理解数学概念的本质.

(3)建设递进有向的思维与表达场域，深化概念理解

数学教学应该是一种慢艺术.缺乏探究的教学，必然导致缺乏思维空间的学习，正如缺乏空气，缺乏水分的植物，哪会有郁郁葱葱的景色[6].从情境中挖掘和提炼出问题让学生去思考和表达，在探究的过程中师生之间、生生之间的语言交流与思维碰撞，促进学生从本质上深刻理解概念.

由核心活动提出问题，分析问题，获得研究对象的一般性结论，进而再研究这一结论的科学性，深化问题本质.在问题探究的过程中进行思维表达，在递进有向的思维进阶过程中理解概念的本质.学生任务活动的设置要与发展学生数学思维素养相适应，要基于数学思维培养的阶段性特点．在认识数学对象来源阶段，提供直观感知、模型想象等思维活动的情境或素材，发展学生的直观想象素养；在数学知识对象抽象阶段，探究活动与问题设计要立足学生认知水平和认知规律，充分展示知识的生成过程，在促使知识的内化过程中，形成相应的数学方法与思想，培养学生的抽象能力，形成数学的思维方式，增强学生解决新问题的能力，这对于促进学生可持续发展具有重要的实践价值和现实意义.

4 基于学科素养的高中数学概念教学反思

数学概念教学的理想状态是让概念生发自然、理解到位，内化深刻.教学活动应当锚定四个维度的着力点，让学生在概念建构、探究、内化、深化的过程中深刻理解数学的基本概念和基本思想方法，形成素养.另外，在概念教学中，少有教师能够及时将数学概念与数学思想、数学观念相联系，少有老师用数学概念解释身边的生活现象，发挥数学概念教学的学科育人的作用就更少了.

格物方能致知，在概念教学上，格物即为探究数学对象的本质属性，致知即为掌握事物规律，形成思维.构建基于理解，发于兴趣的概念课堂教学，在有现实气息的生活场中由情境引发问题，在有深度研究的思维场中由知识生发技能，在有温度的情感场由思维触碰表达，在有活力的生命场由交流产生反思，形成以素养为核心的“四维一核心”的概念课堂教学新形态，这也许就是基于学科素养的数学概念课堂教学建设之道.