“做中学”视阈下问题链的设计与思考——“数格点 算面积——发现皮克公式”教学设计与反思*

孙海锋

(江苏省江阴市敔山湾实验学校 214401)

2023年3月20日,江苏省基础教育前瞻性教学改革重大项目——“做数学:义务教育数学学科育人的创新实践”第五次项目研究推进活动在江阴市开展.笔者在活动中开设了研究课“数格点 算面积——发现皮克公式”.课后研讨由华东师范大学数学科学学院教授、博士生导师鲍建生和江苏省著名特级教师、正高级教师赵维坤点评.下面将个人经验与思考整理成文,供读者参考.

1 学情分析与目标设定

授课班级的学生整体数学素养较高,对数学有着浓厚的学习兴趣,有一定的探究意识与探究能力,敢于主动表达自己的观点,数学基本功扎实,有较好的数学运算能力、推理能力以及归纳能力.但受年龄、知识结构等因素的制约,学生在推理的严谨性、表达的规范性、思维的深刻性等诸多方面还有待加强.

本节课探讨的话题在苏科版小学数学五年级上册教材“综合实践”部分“钉子板上的多边形”中已做了研究.学生又经历了两年多的成长,在思维能力、知识结构等方面已有较大的进步.笔者从学生的知识结构、心理特征、认知差异等维度进行分析,最终将教学目标确定为:①通过真实问题情境,让学生在经历发现问题、提出问题、分析问题以及解决问题的过程中,培养学生的“三会”意识;②利用画图、列表等方法,经历分析数据、寻找规律的过程,发现并验证皮克公式,体会从特殊到一般的数学思想方法,并发展符号意识.

2 实验工具的准备与介绍

笔者给学生准备了网格纸、钉板、橡皮筋若干.网格纸是学生熟悉的一种探究工具,给学生的实验开展提供了便利,但也有不能重复使用的缺点.用橡皮筋在钉板上围格点多边形,既能直观呈现图形,又能动态调整图形,从而将抽象思维显性化.这两类工具提供给学生,让学生自由选择,感受实验工具的必要性及工具选择的便利性.

3 教学过程与设计意图

做中学,即以“做”为支架,学生运用相关实验工具,通过实际操作、提出猜想、验证结论,理解数学知识的思维活动[1].笔者以现实问题为情境、问题链为驱动、学生动手实验与小组合作为组织形式、发展学生高阶思维为目标设计了这节课.

3.1 创设情境,发现问题

问题1如图1,一片排列整齐的水杉树林中,水杉之间行距和列距相同,其中一大片水杉生长在水域中.如何估测这一片水域的面积?

图1 图2

生1:如果把每棵水杉都看成一个点,那么水域部分的面积可近似看成网格中多边形的面积,只要用“割补法”求出这个多边形的面积即可.

师:他将水杉所在行、列分别看成直线,将每一棵水杉看成是一个点,行距和列距都视为单位1,从而将实际问题转化成数学问题“如何求网格中多边形面积”.这就是数学的观察,他的回答非常精彩.同学们,如图2,行列所在直线的交点称为格点,若多边形的顶点都在格点上,则将该多边形称为格点多边形.如果延续刚才这位同学的思考,有便捷的方法求格点多边形的面积吗?

生2:网格中可观察的量只有格点数,我们是否可以通过数格点来计算这个多边形的面积呢?

师:在这个问题中,通过两位同学的分析,发现了很有意思的数学问题.

设计意图(1)引导学生将生活问题抽象成数学问题,考虑到学生的数学表达能力,教师用规范的数学表达作示范,提升学生数学表达的严谨性.同时,向学生介绍基本的数学术语,明晰研究对象,培养学生用数学语言进行表述的良好习惯.(2)对提出的数学问题进一步分析,从找寻最优策略的角度,将问题进一步聚焦,发现与本节课研究目标相关的问题.

3.2 初步尝试,提出问题

问题2请画一个格点多边形,使得多边形内部有4个格点,边上有5个格点,并计算出这个多边形的面积.

师:该问题中需要大家完成几个具体任务?

生3:两个,先画出符合条件的格点多边形,再求出该格点多边形的面积.

(学生独立操作并计算;如图3,学生展示自己画的图形,并说出所画格点多边形的面积.)

图3 图4

师:有没有哪位画出了符合条件且面积不等于5.5的格点多边形?

生4:我画出的格点多边形面积是6.(图4)

师:请你展示一下格点多边形,说说计算过程.(生4回答略)

师:你们认同吗?

生(众):不同意,他画的图形是正确的,但面积计算错误.

师:请大家小组合作、共同探寻,能否发现符合条件且面积不等于5.5的格点多边形呢?

……

生5:老师,我们组将内部4个格点分为一行4个格点、两行且每行2个格点、两行且第一行 1个格点第二行3个格点等情形,画出符合条件的格点多边形并计算其面积,发现所画格点多边形的面积都等于5.5.

师:为便于大家研究格点多边形,我为同学们准备了两种工具——方格纸若干、钉板与皮筋.你们小组选用哪种实验工具?为什么会选择这种工具呢?

生5:我们小组选用的工具是钉板与皮筋.在操作过程中我们发现,在方格纸中操作,若画出的格点多边形不符合条件,则重新修正很麻烦.但若用钉板与皮筋,修正起来就非常方便.

师:工欲善其事,必先利其器,数学实验同样如此.在该环节的整个探究活动中大家有何发现?

生6:可能内部格点数、边上格点数都确定,格点多边形的面积就确定了.

师(问生4):根据你原先的计算,能得出这样的猜想吗?

生4:不可能,错误的计算会对实验结果的猜测产生很大的困扰.

师:是的,准确的运算是获得正确实验结果的前提.

设计意图(1)通过给定内部格点数、边上格点数画图并计算格点多边形的面积,发现面积是一定值,从而引导学生提出本节课的核心任务,即是否可以通过数格点得到格点多边形的面积,同时激发学生主动探究的欲望;(2)通过几个关键性细节引导学生主动感受良好学习习惯的重要性,譬如审题时须厘清条件与要求、运算须准确等;(3)在数学实验中,选择合适的数学工具能更好地帮助我们进行数学探究.

3.3 合作探究,分析问题

问题3小组讨论,代表展示:设计一个实验方案,探究格点多边形内部格点数、边上格点数以及多边形面积之间的关系.

小组1:任意画格点多边形,数出内部格点数、边上格点数,并计算该多边形的面积.多列举一些数据,发现三者之间的关系.

小组2:小组1的方案实施难度较大,因为任意三个变量,即便有很多组数据,也很难发现三者之间的关系.不如先让其中一个量不变,以内部格点数为例,发现面积与边上格点数之间的关系.然后再改变内部格点数,探寻三者之间的关系.

小组3:小组2的操作方案是可行的,但通过问题2的探究,猜想三者之间有某种关系.不妨设格点多边形的面积为S、内部格点数为N、边上格点数为L,那么可以设S=aN+bL+c.取三组值代入该关系式,得到一个三元一次方程组,解该方程组得到a,b,c的值,从而求出S的面积.

师:目前有三种方案,请各小组再次讨论,评价三种方案的可行性及优越性.

生7:将第一、第二种方案比较,明显第二种方案更好.第三种方案好像行不通,为什么S与N、L之间一定是这样的关系呢?为什么不是S=aN2+bL2+c这一关系式或者其他关系式呢?

师:小组3能给出答复吗?

小组3:确实考虑欠佳,认同小组2的方案.

师:目前第二个方案有了基本方向,可否设计一个完整、细致可行的操作流程呢?

小组2:我们可以选择确定N不变,由于格点多边形内部格点数最少可以为0,根据从特殊到一般的数学思想,我们不妨从N=0时开始探究,从而设计了如下方案.

第一步:探索N为0时,格点多边形S与L之间的关系.

(1)多画几个N为0的格点多边形,填表:

图形序号SL①②③…

(2)当N为0时,如何用含有L的代数式表示S?

第二步:探索N为1时,格点多边形S与L之间的关系(表格省略).

第三步:探索N为2时,格点多边形S与L之间的关系(表格省略).

第四步:根据前面的探究,猜想格点多边形的面积、内部格点数、边上格点数三者之间的关系.

第五步:任意取N≥3的格点多边形,验证三者之间关系是否满足前面的猜想.

师:小组2的方案中,研究三个量之间的关系,先确定其中一个量不变,研究另两个量之间的关系,称为控制变量法.将该实验分为5个步骤进行,下面请大家根据该方案开展探究活动.

设计意图(1)小组合作商讨、制定研究方案,由成员分享本小组设计方案,让全体学生甄别、评价,使学生的思维在宽松、自主的氛围中逐步深入,从而形成大家认可的研究方案;(2)在本环节中向学生介绍控制变量法,其本质与从特殊到一般的数学思想方法一致,即将复杂问题简单化后进行研究;(3)让学生感受数学符号语言的优越性,促进学生对字母表示数的深度理解.

3.4 动手实验,解决问题

本环节由学生根据上述方案动手实验,从而发现格点多边形面积与边上格点数、内部格点数之间的关系,教师向大家介绍皮克公式的历史,渗透数学文化.

3.5 回顾反思,凝练升华

问题4回顾本节课的探究过程,谈谈你的收获.(教师最后归纳总结,形成如图5的基本框架.)

图5 基本框架

4 教学反思

“做中学”即学习者在具身操作的过程中,大脑对事物的认知在逐渐深入,结合已有的认知结构,对体验到的信息进行再加工,从而建构新的知识体系.“做中学”视阈下的问题链则承担驱动有序“做”、深入“学”的功能,促进认知深维建构.

4.1 真实情境为问题链的起点

史宁中教授提出,数学教学中一方面需保持“双基教学”合理的内核,另一方面又能创设合适的教学情境,让学生感悟基本思想,积累基本活动经验,形成发展学科的核心素养[2].与学生已有经验相联系的真实的问题情境有较强的代入感,引导学生自发地走入情境,寻找解决问题的策略及问题的答案,从而激发学生的求知欲,这是引起学生自主实验探究的前提,让自发的“做”变为学生的精神需求.尤其是,当问题情境让学生感受其解决的必要性及社会价值时,能激发学生的学习责任,促使他们形成高度的责任意识与社会担当,确保他们在“做”的过程中不轻易因受挫而放弃,从而让“做”在连续的活动中持续向深度探究.

4.2 驱动活动为问题链的任务

本课例用4个主问题驱动教学活动的开展:问题1以生活情境为背景,引导学生提出问题;问题2通过数学实验得到一个基本研究方向,即“如果格点多边形内部格点数、边上格点数确定,则可能格点多边形的面积就确定”;问题3设计并操作实验,寻找格点多边形的面积与内部格点数、边上格点数之间的关系,并验证发现的关系;问题4对整节课进行总结与回顾.4个问题形成问题链,每个问题承担各自功能,形成如图6的课堂流程.整个问题链驱动数学实验的开展,从而让学生在有序的“做”中探究、学习.

4.3 思维进阶为问题链的内核

“做中学”的“做”是活动方式,“学”是目的,通过具身体验让学生充分体验,从活动经历中抽象出具体经验,为后继活动的开展埋下伏笔.学生在“做”的过程中,从具象的操作到抽象的分析与综合、活动评价等,思维从低阶走向高阶,从而实现通过“做中学”达到启智增慧的育人目标.

本课例中,学生尝试解决问题1时能发现新问题;借助问题2的数学实验提出问题;问题3在充分分析问题的基础上,设计数学实验解决问题;问题4引导学生在回顾总结的过程中,归纳出重要思想与方法.在问题链搭建的支架中,思维进阶式发展,学生的数学核心素养得以落实.

5 结束语

“做中学”视阈下积极发挥问题链的功能,“用问题链驱动学习活动接续,推动学生经验条理化;借问题链推进探究过程深入,促使思维路径阶序化”[3],从而体现数学学科的育人价值.