问题链教学的实践与思考——以“三角形中的最值”为例

许荣好

(江苏省苏州工业园区星海实验中学 215124)

1 问题链的概念与内涵

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:“教师应准确把握课程目标、课程内容、学业质量要求……促进数学学科核心素养的提升及水平的达成[1]”.由于上述目标的达成不是一蹴而就的,具有阶段性、连续性、整合性等特点,因此教师要积极探索数学教学策略,优化课堂设计方案．

近年来,唐恒钧教授领衔的研究团队在系统研究“问题”与“问题解决”的基础上,提出了“问题链”的基本概念．唐教授指出,数学问题链是指教师在课外预设,并在课堂上以多种方式呈现给学生的、有序的主干问题序列,它既为学生提供了数学学习的骨架,又为学生发展高水平的思维提供了可能性[2]．其内涵主要包括以下五个方面:第一,问题链是由主干问题组成的;第二,问题链中的问题是有序的;第三,问题链是在课外预设的,但并非线性的、僵化的;第四,问题链教学倡导用主干问题驱动学生思考,为学生提供冷静思考的时间和充分表达的机会;第五,尽管问题链中的问题以教师课外预设为主,课堂上却是在师生交互作用下得以呈现的．

2 问题链设计的基本原则

问题链的本质是具有逻辑连贯性的“情境和问题”,引导学生体验数学知识发生发展过程,理解抽象学习活动中蕴含的思想方法．

(1)最近发展区原则

问题链设计中,要以学生的实际情况为准,要遵循最近发展区原则．教师在进行问题链设计时,既要参考学生现阶段的认知发展水平,又要考虑到学生可能达到的水平和能力,问题设计应合情合理,难度适中.这样既可以让学生有探索的欲望,又可以保证学生能够解决相关问题,保护学生信心不受挫,并提升学生的数学学习兴趣．

(2)循序渐进原则

问题链设计要遵循渐进的基本原则,这不仅符合学生的认知规律,也符合数学课程的基本规律．知识的建构应从简单到复杂、从浅到深,保证问题设计具有层次性,根据知识的难易程度循序渐进地设计问题,这样才能发挥问题链的引导价值和启发价值．

(3)趣味性原则

问题链设计要遵循趣味性原则,保证问题能吸引学生的注意力．问题探索以学生为主,在教师和问题的引导下让学生自主对课程进行探究,最终达到帮助学生理解知识、巩固知识、提升能力的目的．

3 问题链教学的实践

不管是数学概念的形成还是数学规律的建构,都离不开问题的引导．数学家哈尔莫斯曾指出,问题是数学的心脏．数学的发展过程可以看成:问题的提出→问题的解决→新问题的提出→新问题的解决．可见问题链对于数学研究至关重要．现以笔者执教的一节市级公开课“三角形中的最值”为例,谈谈自己的做法和思考．

三角形中的最值是高考考查的热点和难点问题,此类问题突出考查正余弦定理、三角形面积公式、三角函数性质以及基本不等式等．从关键能力层面上看,综合考查推理论证能力、运算求解能力和数学建模能力,同时渗透了数形结合、转化与化归、函数与方程等重要思想．

·环节1 通过问题链归纳最值问题的求解方法

师:的确,在求解三角形问题时,我们通常进行边角之间的互换．

图1

生:可以尝试以目标为导向,直接将BD的长看成变量(设BD=x),直接构建目标函数,并求其最小值．

师:很好!直接选取BD为变量,方法容易理解,求解过程也很清晰简洁,这也是此类问题的通性通法．

生:老师,这个方法可以再优化.

师:这位同学思维很活跃,我们一起来听听他的想法．

生:我们能观察到,题中的∠ADB是特殊角,所以可以考虑建系求出各点坐标,用解析几何的方法来求解此题．

师:数学家拉格朗日曾说过,如果代数与几何各自分开发展,那它的进步将十分缓慢,而且应用范围也很有限,但若两者互相结合而共同发展,则会相互加强,并以快速的步伐向着完美化的方向猛进．我们来尝试一下建系求解．

图2

师:“爪”形三角形的最值问题,其本质可以追溯到函数思想,即选择合适的变量,构建目标函数,将三角形中的最值问题转化成函数的最值问题．

设计意图例1是经典的解三角形问题,可以使用角元变量,而后选择三角函数、基本不等式加以处理．对于这类问题的分析学生是熟悉的,但对求解方法的不断优化、如何选用最恰当的变量则是比较薄弱的．因此,解决此类问题往往分两步走:一是在课上给学生充分表达的机会,让他们完整体验数据的计算,指导学生将思路形成文字,既达成课堂以学生为主体的目标,又为其指明了解决此类问题的常规方法;二是通过问题链,以师生互动的方式,逐一解决问题链上的一系列问题,形成对不同方法的欣赏和辨析,进而加深学生对此类问题的理解．

·环节2 通过问题链归纳寻找最值问题的最优解

师:通过前期方法的归纳,最值问题就是寻找恰当的变量,构建目标函数,进而求目标函数的最值.本题中可以选择哪些量作为变量?

生:选择角作为变量或者边作为变量．

师:若是用角,用哪个角作为变量?

师:此思路是当年高考不少考生都能想到的做法,但需要调用的知识较多,推理过程也比较麻烦,很多考生没有完整解答．是否可以选用其他角来求解?

图3

师:很好!能将已知条件进一步挖深,探究出边长之间的关系,根据我们的经验,能用角元处理的问题,我们也可以尝试用边元处理．那么你能看出哪条边长可以作为变量研究呢?

师:此方法求解过程清晰,相对来说也不麻烦,效率很高,说明要想寻找解题的最优解,那就一定要充分挖掘题目中的条件．

设计意图例2由高考题改编而来,教学的重点是让学生充分理解题意,感受到三角形中最值问题的灵活多变．学生处理问题时往往不能第一时间发现最优解,那就需要用问题链的形式,引导学生不断思考,直至找到最合适的解法．

4 问题链在教学过程中的有效性思考

(1)创设问题链需体现整体性

数学课堂教学一般会根据某条固定的结构线索展开,因此在开展问题链设计时,教师要能把握教学内容的结构线索,从整体的视角对教学内容进行设计．只有通过对教学内容的整体理解,并在问题链的设计中得以体现,才能最终实现数学教学的育人价值．

(2)创设问题链需体现主体性

问题链光靠教师设计还不足以实现问题链的有效性,学生亲历问题链的生成过程才是关键．创设问题链需要体现学生的主体性,需要有学生的积极思维参与,需要结合学生上课的实际情况不断地加以调整．

(3)创设问题链需体现发展性

新课标进一步明确了数学学科的核心素养,更新了数学的教学内容,增强了指导性．新课标明确地提出要学会用数学的眼光观察世界,用数学的思维分析世界,用数学的语言表达世界．因此,问题链的设计必须体现发展性,把握对学生的总体期望,将课程标准中的核心素养内涵具体化到问题链的每一个环节里．