挖掘课本“阅读材料”教学潜能的着力点初探——以人教A版高中数学必修教材的教学为例

徐长中

(江苏省射阳中学 224300)

为体现《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出的“学生发展为本,立德树人,提升素养”[1]2的基本理念,各种版本的高中数学教材都融入了“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”“文献阅读与数学写作”等集知识性、思想性、科学性、趣味性、教育性于一体的“阅读材料”,这些“阅读材料”在激发学生学习兴趣、拓宽学生知识视野、引领学生探究学习、发展学生核心素养、开发学生学习潜能等方面有着极其重要、不可低估的作用．但在实际教学中,“阅读材料”并未引起一线教师应有的重视,甚至成为一个被遗忘的角落．挖掘教材中“阅读材料”的教学潜能,将其巧妙地整合到日常教学活动之中,充分发挥其应有的教育和教学的价值,成为一个值得高度关注、需要认真研究的课题[2]．下面以人教A版高中数学必修教材的教学为例,谈谈笔者的一些做法和体会．

1 利用“阅读材料”渗透数学文化、激发学习兴趣

教材中呈现的“阅读材料”,常常涉及丰富的数学史料、精彩的趣闻轶事、巧妙的数学方法和深厚的文化内涵等,利用这些“阅读材料”创设教学情境,向学生介绍数学知识发生、发展的过程,讲述历代数学家们刻苦勤奋、不懈探究数学理论的故事和取得的灿烂辉煌的成就,展现数学与自然现象、社会生产、日常生活、科学技术、军事活动、环境资源等的紧密联系,将枯燥、抽象的数学概念、公式、法则变得丰富多彩、智慧灵动,不仅可以有效地激发学生的学习兴趣,调动他们的学习热情,焕发起学生学习新知的主动性,而且在再现积淀的数学文化的过程中,让学生接受数学精神、数学思想和数学品质的熏陶,有效地发挥出数学学科的育人功能[3]．

案例1“余弦定理、正弦定理的习题课”的教学片断.

师:我们前面学习了余弦定理和正弦定理,已经初步了解了这两个定理的一些应用．今天这节课,我们就此问题作进一步的研究．请大家先看来自南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中的一个问题:“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步,欲知为田几何?”你能用数学语言表述这一问题吗?

生1:这个问题的实质就是已知三角形的三边,求其面积．可用数学语言表述为:“在△ABC中,a=13,b=14,c=15,求三角形的面积S△ABC．”

师:怎么解决这一问题呢?

师:有同学知道秦九韶是怎么解决这一问题的吗?请大家看一段阅读材料——“海伦和秦九韶”(见教材必修2第55～56页)．(投影显示,略)

学生阅读,教师给出下列问题,供学生思考、讨论和交流．

问题1 什么是海伦公式?其主要特点是什么?

问题2 什么是秦九韶公式?其主要特点又是什么?

问题4 谈谈你学习了这一段“阅读材料”后的体会和感受．

案例分析海伦公式和秦九韶公式虽然形式不同,但本质却是相同的,两者完全等价,可以互相转化．它们都是用三角形的三边长表示三角形面积的重要公式,与正弦定理、余弦定理等类似,在研究三角形的边角关系时可以发挥重要的作用．在余弦定理、正弦定理的教学活动中,融入阅读材料“海伦和秦九韶”,指导学生阅读和思考、探索与研究,不仅可以很好地深化学生对余弦定理、正弦定理的认识和理解,有效地激发学生的学习兴趣,唤起学生学习的内驱力,使学生在愉悦的情境中获取知识、内化方法、提升能力、发展素养,而且在数学史料和数学文化的渗透中,让学生充分感受我国古代的先哲们在数学领域中的巨大成就和数学在服务生活需要、促进社会发展的过程中所发挥的巨大作用,体味中外数学家不断追求真理、勇于探索创新的科学精神,树立民族自信心和自豪感,达成文化浸润,产生思想共鸣,有效升华数学的教育功能．

2 借助“阅读材料”拓展知识视野、完善认知结构

教材中的部分“阅读材料”与所学章节中相应的知识内容往往是息息相关、紧密联系的,有的是对教材中正文内容的横向拓展,也有的是对教材正文内容的纵向延伸,还有一些符合学生认知特点、具有高等数学背景的知识,对教材的正文内容作出有益的补充和必要的衔接,弥补教材按模块编排造成的缺陷,体现教材的系统性和完整性[4]．组织好这些“阅读材料”的探究和学习,利用好这些宝贵的课程资源,将其融入到课堂教学活动之中,可以有效地帮助学生了解数学知识发生和发展的过程,促进和深化学生对教材中的重点内容和难点知识的理解,使学生能够站在系统和整体的高度认识数学的知识、思想和方法的来龙去脉、内涵外延,牢固地掌握数学知识的本质特征,深刻体会研究和解决数学问题的一般方法与基本套路,拓宽学生的知识视野,完善学生的认知结构,帮助学生形成牢固的知识体系,达成学生的深度学习．

案例2“对数函数的图象和性质”的教学片断.

师:刚才我们学习了对数函数的图象和性质,了解了对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)是有联系的.事实上,它们互为反函数,那么什么是反函数?互为反函数的两个函数之间具有怎样的关系呢?

请大家结合下面的阅读提纲,看一段阅读材料——“互为反函数的两个函数图象间的关系”(见教材必修1第135页)．(投影显示,略)

(2)函数y=2x与y=log2x的定义域和值域有着怎样的关系?它们的图象间又具有怎样的关系?它们的单调性之间的关系如何?

(3)(2)中的结论对一般的指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与它的反函数y=logax(a>0,且a≠1)也成立吗?说说你的理由．

(4)上述研究过程运用的基本方法是什么?你从上述研究过程中受到哪些启发?

(5)一般地,怎样的两个函数互为反函数?你能求出一个函数的反函数吗?如何求?

(6)给出互为反函数的两个函数,你能说出它们的定义域和值域、图象、单调性之间的关系吗?

(7)若方程2x+x-4=0的根是m,方程 log2x(a>0,且a≠1)的根是n,你能求出m+n的值吗?

案例分析反函数是函数学习中的一个重要内容,函数及其反函数之间有着紧密联系和许多重要性质,这些重要性质在数学解题中有着广泛的应用,对进一步研究高等数学也有一定的帮助．教材的正文限于课时和篇幅等方面的原因,只是通过一个具体的对数函数给出了反函数的概念,指出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,一般学生很难对其形成正确的认识和深刻的理解,更不能满足一些优等生深入研究的欲望．教学中,借助“阅读材料”组织学生开展探究学习活动,让学生体会数学探究的方法,尝试从特殊到一般抽象出反函数的定义,概括总结出互为反函数的两个函数的定义域、值域、图象及单调性之间的关系,了解函数存在反函数的条件,掌握求函数的反函数的方法及反函数基本性质的应用,拓宽了学生的知识视野,完善了学生对反函数的认知,满足了不同层次学生的学习需求．

3 依托“阅读材料”引领探究学习、促进深度理解

《普通高中数学课程标准(2017年版》中指出:“教师要把教学活动的中心放在促进学生学会学习上,积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式,不仅限于讲授与练习,也应包括引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等．”“数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中阶段数学课程的重要内容．”[1]35对于学生来说,掌握数学的知识并能在解决具体问题中熟练地运用固然不容忽视,但领悟数学家思考问题的方法和探究问题的途径、学会自主探索、提高自学能力则显得更为重要．教材中的一些“阅读材料”有着丰富的知识背景和思想内涵,课堂教学中要善于依托这些“阅读材料”引领学生开展探究活动,让学生重温前人对数学知识的探索过程,或者尝试用前人的方法去解决一些问题,培养学生探究、发现的能力,促进学生的深度学习．

案例3“简单几何体的表面积和体积的习题课”的教学片断.

师:我们前面研究了简单几何体的表面积和体积,大家能很快地说出柱体、锥体、台体和球体的体积公式吗?

生1:V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高);

师:很好!这些公式同学们在小学和初中时就熟悉了,但是公式是怎样来的,有同学知道吗?下面,我们一起来欣赏教材中的阅读材料——“祖暅原理与柱体、锥体的体积”(见教材必修2第 121～122页)．(投影显示,略)

探究1 请大家将20本数学必修2课本堆放在桌面上组成一个几何体,使其倾斜一个角度,这时几何体的形状发生了改变,得到了另一个几何体(图1).多做几次这样的试验,观察结果,你能得出怎样的结论?

图1 图2

探究2 夹在两个平行平面间的几何体(它们的形状可以不同),被平行于这两个平面的任何一个平面所截(图2),如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积具有什么关系?

探究3 你能运用祖暅原理推导出柱体的体积公式吗?如何推导?

探究4 试用祖暅原理和柱体的体积公式推导出锥体的体积公式．

4 凭藉“阅读材料”提炼思想方法、训练理性思维

数学是思维的科学,数学的思想方法是数学的灵魂和核心．日本数学教育家米山国藏曾经说过:多数学生进入社会后,几乎没有机会应用他们在学校学到的数学知识,因而这种作为知识的数学,通常在学生毕业后不到一两年就忘掉了,然而不管他们从事什么工作,那种铭刻于大脑的数学精神和数学思想方法却长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用[5]．因此,数学教学不仅要指导学生学好数学知识,更要关注数学思想方法的提炼和渗透,帮助学生学会数学思考,提高理性思维的能力,培养学生的数学精神,给学生更多有价值的、能够终身受益的东西．教材中融入了不少再现数学知识的发现过程、揭示数学知识的本质特征的“阅读材料”,其中蕴含着丰富的数学思想方法和数学精神,是不容忽视的教学资源．教学中,对这些“阅读材料”要充分加以利用,努力使隐藏在数学知识背后的数学思想方法和数学精神大放异彩．

案例4“对数的概念”的教学片断.

师:同学们,在学习指数函数时,我们研究过下面的问题:某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,这种物质剩留的质量是原来的84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．

我们知道,若设该物质最初的质量是1,则经过x年,该物质的剩留量为y=0.84x．建立了这个函数关系式,可以实现计算预测的功能,只要知道时间x就可以计算剩留量y．比如,经过3年,剩留量是多少?

生1:经过3年,剩留量为0.843=0．592 704．

师:这是一个指数运算的问题,可列表表示如下:

问题简述经过了3年,剩留量是多少?数学语言0.843=0.592 704.运算类型指数运算ab=N(已知底数a和指数b,求幂值N).

如果测得了剩留量y,怎么求出所经过的时间x呢?比如若测得剩留量为0．23,则经过了多少年?

生2:假设经过了x年,剩留量为0．23,则有0.84x=0.23,只要从中求出x,问题就解决了．

师:将这个问题列表如下:

问题简述剩留量为0.23,则经过多少年?数学语言0.84x=0.23,则x=?.运算类型已知底数a和幂值N,求指数b(一种新运算).

怎么求x呢?一般地“已知底数和幂值,怎么求指数”是一种新运算,这就是我们下面要研究的问题——对数．

师:什么是对数?对数是怎么发明的?下面,先来看一段阅读材料——“对数的发明”(见教材必修1第128～129页)．(投影显示,略)

阅读提纲

(1)对数是基于什么背景、在什么时候、由哪一位数学家最先发明的?

(2)发明对数,主要作用是什么?解决了天文、航海、工程、贸易和军事中的什么问题?

(3)对数是如何发明的?定义对数运算的关键是什么?

(4)数学家在发明对数的过程中运用了哪些数学思想方法?体现了怎样的数学精神?

案例分析对数产生于17世纪初叶,随着天文、航海、工程、贸易以及军事等行业的快速发展,面对大量繁杂数据的处理,急需找到简化大数运算的有效工具,由此产生了对数．对数的发明在17世纪数学史上是一个伟大的创举,对推动社会生产、科学技术的发展作出了巨大贡献．在学习对数伊始,将阅读材料“对数的发明”展示给学生,让学生从中了解对数产生的背景和过程,感悟在对数发明过程中数学家运用的“符号化”“对应与映射”“化归与转化”等数学思想方法和为科学研究献身的精神,对于激励学生的数学学习、训练学生的理性思维、培养学生的科学精神等有着不容忽视和无法替代的功用．

5 通过“阅读材料”培养应用意识、提升实践能力

数学作为一种语言和工具,几乎渗透到了每一个领域及生活的方方面面,在社会发展中发挥着无可替代的作用．掌握数学的知识、形成数学的技能、获得数学的经验只是数学学习的目标之一,培养数学应用的意识、提升数学应用的能力、发展数学应用的素养才是数学学习的更高追求．现行教材中,融入了许多与社会生活、生产实际、科学技术等息息相关、紧密相联的“阅读材料”,在进行数学教学时,通过这些“阅读材料”开展实践活动,引导学生学会从数学的视角观察生活、借数学的思维分析问题、用数学的语言表达结果,让学生体验数学与日常生活以及其他学科知识之间的联系,感悟数学的应用价值,体会数学的工具作用,使学生形成数学应用的意识,提高数学应用的能力．

案例5“用样本估计总体的习题课”的教学片断.

师:马克思曾经说过:“一门科学只有成功地应用了数学时,才算真正达到了完善的地步．”生活中充满着数学,人们的吃、穿、住、行都与数学有关．前面,我们学习了总体取值规律的估计、总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计等统计学的有关知识,已经初步感受了统计知识的广泛应用性,今天,上一节习题课,对统计知识的应用作进一步的研究．

请大家先来看一看教材中的阅读材料——“统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题”(见教材必修2第208～209页)．(投影显示,略)

师:大家在阅读时请结合下列问题进行思考,同桌间可进行讨论．

问题1 情报的收集与分析工作对于战争的胜负无疑是十分重要的．在第二次世界大战期间,为了解德军坦克的生产能力,以实现“知己知彼方能百战百胜”的目的,统计学家是运用怎样的方法实现了对德军每个月生产坦克的数量做出精确估计的?

问题2 这种估计方法的统计学原理是什么?你还能想出其他估计德军每月生产坦克数的方法吗?

问题3 如果用样本编号的平均数作为每月生产坦克编号的平均数,与前面的方法相比,哪种方法更合理?

问题4 这种估计方法有什么现实应用?试列举出一个具体的事例来加以说明．

问题5 通过对阅读材料“统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题”的学习,你有什么收获?

案例分析数学不但是科学发展的基础,与我们的日常生活密切相关,她对于航海、军事等方面的影响更为深远．“二战时德国坦克总量的估计问题”就是一个十分典型的案例．早在远古时代,人们就能巧妙地运用数学知识赢得战争,公元1053年,我国北宋名将狄青奉命征讨南方侬智高叛乱,为了鼓舞士气,振兴军心,运用了数学中概率的知识,成了千古佳话．通过教材中“阅读材料”将这些生动精彩的事例融入到数学教学活动之中,引领学生阅读、思考、分析、探究、讨论、交流,开展操作、实践活动,将数学的理论与生活的实践结合起来,使学生在兴致勃勃、趣味盎然的状态下,尝试从生活现象中抽象出数学问题,学会用数学的知识、思想、方法分析和解决实际应用中的问题,让学生体验数学与科学研究、日常生活以及其他学科知识之间的紧密联系,感受数学的应用价值,欣赏数学的无尽魅力,从而提升数学应用的意识和能力．

总而言之,作为教材中的重要内容,“阅读材料”有着诸多不容忽视的教学功能,是一座急待开发的“金矿”．作为学生学习的指导者和引路人的教师,我们要积极杜绝功利化的做法,本着对学生的终身发展和可持续发展负责的态度,充分发挥自身的教学智慧和创造力,结合学生的具体情况和教学内容的特点,采取灵活多样、生动活泼的教学策略,将“阅读材料”与教材中的正文内容有机地结合起来,使学生学到真正有价值的数学,给课堂带来勃勃生机,让教学更加本真高效．