巧解“空瓶换水”问题

李艳锋

（山东省台儿庄区张山子镇侯孟中心小学）

小朋友，空瓶换水指的是规定若干个空瓶可以换一定瓶数的水，如某人已经买了若干瓶水，按规定用空瓶换水，最多可以喝到多少瓶水，或者某人需要一定数量的水，最少需要购买多少瓶水等类似的问题。这是一个古老的趣味数学问题，曾以“空瓶换酒”“废电池换新电池”等形式出现在不同国家的各种数学竞赛题中。如何解答这类问题呢？下面我们一起来看一下。

一、已知某人购买了若干瓶水，求最多可以喝到多少瓶水

例题1 朵朵和小伙伴们去商店买汽水，商店正在进行空瓶换汽水的活动。商店规定：每3个空瓶可以换1瓶汽水。朵朵买了10瓶汽水，如果把喝完的空瓶换成汽水，他们一共能喝到多少瓶汽水??

方法一：按照先喝后换的方法逐步分析。

第一步：朵朵买了10瓶汽水，把10瓶汽水都喝完后剩下10个空瓶。

第二步：每3个空瓶可以换1瓶汽水，因为10÷3＝3（瓶）……1（个），所以用10－1＝9（个）空瓶可以换3 瓶汽水。把换来的3 瓶汽水喝完，此时一共有3＋1＝4（个）空瓶。

第三步：因为4÷3＝1（瓶）……1（个），所以用4－1＝3（个）空瓶可以换1 瓶汽水。把换来的1 瓶汽水喝完，此时一共有1＋1＝2（个）空瓶。

第四步：剩下的2 个空瓶不够换1 瓶汽水，此时可以先向老板借1个空瓶凑够3个瓶子，用3个空瓶换1瓶汽水，把换来的1瓶汽水喝完，然后把1个空瓶还给老板。

他们一共能喝到10＋3＋1＋1＝15（瓶）汽水。

方法二：按照先喝后换的方法解决问题很烦琐，我们可以换个思路来思考。

如果先买2瓶汽水，喝完后向老板借来1个空瓶，然后用3个空瓶换1瓶汽水，把换来的1瓶汽水喝完，再把剩下的1个空瓶还给老板。按照这样的思路分析，相当于每买2 瓶汽水，就可以换1 瓶，一共能喝到3瓶汽水。

如果每买2瓶汽水换一次，朵朵一共买了10瓶汽水，可以换到10÷2＝5（瓶）汽水，他们一共可以喝到10＋5＝15（瓶）汽水。

方法三：先找出“买的瓶数”与“喝到的瓶数”之间的关系，根据关系式解答。

根据每买2 瓶汽水可以喝到3 瓶这个关系可知，“喝到的瓶数”是“买的瓶数”的。朵朵一共买了10 瓶汽水，一共可以喝到10×＝15（瓶）汽水。

例题2 学校正在开运动会，李老师在商店给同学们买了42瓶汽水。商店规定：每5 个空瓶可换到1 瓶汽水。请你算一算，如果把喝完的空瓶换汽水，同学们一共能喝到多少瓶汽水？

方法一：先买4 瓶汽水，喝完后向老板借来1 个空瓶，然后用5个空瓶换1瓶汽水，把换来的1瓶汽水喝完，再把剩下的1个空瓶还给老板。按照这样的思路分析，相当于每买4瓶汽水，就可以换1瓶，一共可以喝到5瓶汽水。

如果每买4 瓶换一次，李老师一共买了42 瓶汽水，42÷4＝10（瓶）……2（个），可以换到10 瓶汽水，剩下的2 个空瓶不够兑换，同学们一共能喝到42＋10＝52（瓶）汽水。

方法二：根据每买4瓶汽水可以喝到5瓶这个关系可知，“喝到的瓶数”是“买的瓶数”的5 4 。李老师一共买了42 瓶汽水，42×＝52.5（瓶），其中的0.5 瓶不够1 瓶，此时要用去尾法舍去尾数，同学们一共能喝到52瓶汽水。

已知某人购买水的瓶数，求最多可以喝到多少瓶水的问题，可以归纳总结出下面两种计算公式：

公式一：先算出“买的瓶数÷(瓶子可换购数－1)”的商和余数（整除时，余数为0），算出的商就是能换到的瓶数，最多可以喝到的瓶数＝买的瓶数＋换到的瓶数。

二、已知某人需要一定数量的水，求至少要买多少瓶水

例题3 有40 名同学去秋游，他们口渴了，班长欣欣去买矿泉水。商店规定：每4 个空瓶可以换1 瓶矿泉水。保证每人都能喝到1瓶水，欣欣至少要买多少瓶矿泉水？

方法一：如果先买3 瓶矿泉水，喝完后向老板借来1 个空瓶，用3＋1＝4（个）空瓶换1 瓶矿泉水，把换来的1 瓶矿泉水喝完，然后把剩下的空瓶还给老板。按照这样的思路分析，相当于每买3瓶矿泉水，就可以喝到4瓶。

一共有40名同学，每人喝1瓶矿泉水，一共要喝40瓶。因为每买3 瓶矿泉水，就可以喝到4 瓶，所以需要买40÷4＝10（次），欣欣至少要买10×3＝30（瓶）矿泉水。

方法二：根据每买3 瓶矿泉水可以喝到4 瓶这个关系可知，“买的瓶数”是“喝到的瓶数”的，他们一共要喝40 瓶矿泉水，欣欣至少要买40×＝30（瓶）矿泉水。

例题4 某校2名老师带领58名学生参加植树活动，由于天气比较热，王老师到商店给同学们买饮料。商店规定：每8个空饮料瓶可以换1 瓶饮料。保证每名师生都能喝到1 瓶饮料，王老师至少要买多少瓶饮料？

方法一：如果先买7 瓶饮料，喝完后向老板借来1 个空瓶，用7＋1＝8（个）空瓶换1瓶饮料，把换来的1瓶饮料喝完，然后把剩下的1个空瓶还给老板。按照这样的思路分析，相当于每买7瓶饮料，就可以喝到8瓶。

一共有58＋2＝60（名）师生，每人喝1 瓶饮料，一共要喝60瓶。因为每买7 瓶饮料，就可以喝到8 瓶，60÷8＝7（次）……4（瓶），所以王老师至少要买7×7＋4＝53（瓶）饮料。

方法二：根据每买7瓶饮料可以喝到8瓶这个关系可知“买的瓶数”是“喝到的瓶数”的7 8 ，师生一共要喝60 瓶饮料，60×＝52.5（瓶），此时不论算出的积的尾数是多少，都要用“进一法”把积保留整数，王老师至少要买52＋1＝53（瓶）饮料。

已知某人需要一定数量的水，求至少要买多少瓶水的问题，可以归纳总结出下面两种计算公式：

公式一：先算出“喝的瓶数÷瓶子可换购数”的商和余数（整除时，余数为0），至少要买的瓶数＝商×(瓶子可换购数－1)＋余数。

小朋友，你学会了吗？你在平时的学习中，如果遇到了按照常规思路分析比较复杂的问题时，也可以尝试转换思维方式，把题目化繁为简，从而解决问题。